x^3+2x^2+3=0 的三根为 α,β,γ，求 ｜(1／α-1／β)(1／β-1／γ)(1／γ-1／α)｜
本帖最后由 wintex 于 2024-3-20 16:26 编辑\((u-v)^2(v-w)^2(w-u)^2=\small-\dfrac{113}{27}\) 是负数因而
\((u-v)(v-w)(w-u)\) 是纯虚数！ 题：x^3+2x^2+3=0 的三根为 α,β,γ，求 ｜(1／α-1／β)(1／β-1／γ)(1／γ-1／α)｜。
思路：显然x≠0，故原问题可转化为3x^3+2x+1=0 的三根为a，b ，c，求｜(a-b)(b-c)(c-a)｜。
故a+b+c=0，ab+bc+ca=2/3，abc=-1/3。
又3a^3+2a+1=0，3b^3+2b+1=0，3c^3+2c+1=0，
故a^2+ab+b^2=-2/3，即(a-b)^2=-(3ab+2/3)。同理(b-c)^2=-(3bc+2/3)，(c-a)^2=-(3ca+2/3)。
故｜(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2｜=｜-(3ab+2/3)(3bc+2/3)(3ca+2/3)｜
=｜｜=113/27，
即｜(a-b)(b-c)(c-a)｜=√(113/27)。
f(x)=3x^3+2x的fˊ(x)=9x^2+2＞0，f(x)严格递增，故仅一个实数m，使f(m)=3m^3+2m=-1，
即3x^3+2x+1=0仅有一个实数根。 設\(f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)=x^3+2x^2+3,~f'(x)=3x^2+4x\)
\(f'(\alpha)=(\alpha-\beta)(\alpha-\gamma)\)
\(f'(\beta)=(\beta-\alpha)(\beta-\gamma)\)
\(f'(\gamma)=(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\)
\(f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)=(-1)^3 (\beta-\alpha)^2 (\gamma-\beta)^2 (\alpha-\gamma)^2\)
\(f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)=\prod (3x^2+4x)=3^3 \prod x \prod \left(-\dfrac{4}{3}-x\right)\)
\(=3^3(-3)(-1)^3 f(-\dfrac{4}{3})=-64\times 3+32\times 3^2+3^5=339\)
\(\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)^2
\left(\dfrac{1}{\beta}-\dfrac{1}{\gamma}\right)^2
\left(\dfrac{1}{\gamma}-\dfrac{1}{\alpha}\right)^2
=\dfrac{(-1)^3 f'(\alpha)f'(\beta)f'(\gamma)}{(\alpha \beta \gamma)^4}=\dfrac{-113}{27}\)
\(\left|\left(\dfrac{1}{\alpha}-\dfrac{1}{\beta}\right)
\left(\dfrac{1}{\beta}-\dfrac{1}{\gamma}\right)
\left(\dfrac{1}{\gamma}-\dfrac{1}{\alpha}\right)\right|
=\sqrt{\dfrac{113}{27}}\) 楼上 fungarwai 的解答很好！已收藏。
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