已知实数 a,b,c,d 满足 a^2+b^2=1，(c-3)^2+(d-4)^2=4 ，问：下列选项是否正确？
本帖最后由 波斯猫猫 于 2024-2-10 20:20 编辑
思路(向量法)：因实数 a,b,c,d 满足 a^2+b^2=1，(c-3)^2+(d-4)^2=4 ，
故可取向量OA=(a，b)，OB=(c-3，d-4)，OC=(3，4)，其模分别为1，2，5。
(1)a(c-3)+b(d-4)=(a，b).(c-3，d-4)=｜(a，b)｜.｜(c-3，d-4)｜cosθ=2cosθ≤2。
(2)ac+bd=(a，b).(c-3，d-4)+(a，b).(3，4)=2cosθ+｜(a，b)｜.｜(3，4)｜cosα=2cosθ+5cosα≤7。
显然，θ=α=0(相应每组向量同向)时取得最大值7，即仅有一组a，b，b，d，使得ac+bd之值最大。
(3)ad-bc=(a，-b).(d-4，c-3)+(a，-b).(4，3)=2cosβ+｜(a，-b)｜.｜(4，3)｜cosγ=2cosβ+5cosγ≤7。
显然，β=γ=0(相应每组向量同向)时取得最大值7，即仅有一组a，b，b，d，使得ac+bd之值最大。
故，(1)(3)(4)(5)正确，(2)不正确。
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