\(\large\textbf{集合族与德摩根}\text{(De Morgan)}\textbf{定理}\)
本帖最后由 elim 于 2024-1-31 13:39 编辑设集合 \(\Omega,\;I\) 非空, 称映射\(I\ni i\longmapsto A_i\subset\Omega\)
为集族, 记作 \(\{A_i\}_{i\in I}\).
显然集列\(A_1,A_2,\ldots\)是\(\scriptsize I=\mathbb{N}^+\)时的集族. 记\(E^c=\Omega-E(E\subset\Omega)\).
以下德摩根(De Morgan)定理是布尔代数的同名定理的集合论表述.
定理：\(\displaystyle{\small\bigcup_{i\in I}}\,A_i = \big({\small\bigcap_{i\in I}}\,A_i^c\big)^c,\;\;\;{\small\bigcap_{i\in I}}\,A_i=\big({\small\bigcup_{i\in I}}\,A_i ^c\big)^c.\)
证明概述思想，证明等式两边互相包含：
\(\quad x\in\displaystyle{\small\bigcup_{i\in I}}A_i\iff\exists i_0{\small\in I\,(x\in A_{i_0})}\iff x\not\in{\small\bigcap_{i\in I}}A_i^c\iff x\in\big({\small\bigcap_{i\in I}}A_i^c\big)^c\)
\(\quad\)同理可证第二式.
例 对 \(\small\Omega=\mathbb{N}^+,\,A_k=\{m\in\mathbb{N}^+: k< m\},\; A_k^c=\{m\in\mathbb{N}^+: m\le k\}\)
\(\quad\)据德摩根定理, \(\small\displaystyle\bigcap_{k=1}^\infty A_k=\big(\bigcup_{k=1}^\infty\{1,\ldots,k\}\big)^c=(\mathbb{N}^+)^c=\varnothing.\)
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