100 多年前的这位，是公认继数学王子高斯之后的最后一位数学全才！
100 多年前的这位，是公认继数学王子高斯之后的最后一位数学全才！原创 Masir123 科学羊 2024-01-15 07:22 发表于广东
大家好，我是科学羊，这里是数学专栏第 2 季第 12 篇。
今天我们继续聊一位大师！
亨利·庞加莱（Henri Poincaré），1854 年 4 月 29 日出生于法国南锡，1912 年 7 月 17 日逝世于巴黎，是一位杰出的法国数学家、理论物理学家以及科学哲学家。
他在数学和物理学领域都有重大的贡献，被认为是晚期 19 世纪到 20 世纪初最具影响力的科学家之一。
庞加莱
在数学方面，庞加莱的成就尤为突出。
他是拓扑学（一种研究几何体在连续变形下的性质的学科）的奠基人之一，特别是在代数拓扑和微分拓扑方面。
他的工作预示了现代混沌理论的发展，特别是通过对天体力学系统的研究，发展了定性理论，这在数学物理中是一个重要的分支。
庞加莱还在数学物理领域有显著的贡献。
他对天体力学的研究，特别是对三体问题的研究，是非常有名的。他的研究表明，在某些情况下，天体运动的轨迹是高度复杂和不可预测的，这是混沌理论的一个早期例证，关于这个问题我们在物理学专栏专门聊过！
他还在电磁理论、光学和量子理论等领域做出了重要贡献。
此外，庞加莱在科学哲学领域也有着深远的影响。他对科学方法、科学和数学之间的关系进行了深入的探讨，强调了创造力和直觉在科学发现中的作用。
庞加莱的工作对后来的科学和数学产生了深远的影响，特别是在相对论和量子力学的发展中，他的观点和理论发挥了重要作用。
他被广泛认为是数学物理领域的一个重要的里程碑式人物。
好，废话不说，我们今天看一个重点——
1900 年德国数学家大卫·希尔伯特提出了 23 个历史性的数学难题，经过 100 年，大约有 17 个难题得到了解决，或者已被部分解决，它们对科学的发展帮助极大。
2000 年，美国克雷数学研究所（Clay Mathematics Institute）公布了当今的七道数学难题，作为对 100 年前希尔伯特的回应。
这七个里面其中之一是——庞加莱猜想。
01 庞加莱猜想
什么是庞加莱猜想？
这是一个拓扑学问题。
庞加莱猜想，这一数学界的难题，是关于三维空间的深刻探索。
它的本质是讨论一个单连通、封闭的三维形体是否都可以转化为一个标准的三维球体。
这里的“单连通”意味着形体内部没有空洞，就像我们日常生活中见到的各种实心物体，比如苹果、水杯（没有把手的）、棒球棒等。
而像甜甜圈或者麻花状的物体则不符合这个定义，因为它们中间有空洞。
拓扑学的简单图示，洞的多少决定拓扑的分层，图片来自 X-MOL
庞加莱猜想的提出，可以说是对我们对三维空间认知的一次挑战。
尽管在直觉上我们认为这个猜想是正确的，但在严谨的数学领域中，每个结论都必须经过严密的证明。
就像许多数学大师们所体验的那样，有时候最直观的结论反而是最难以证明的。
历经数十年，这个猜想终于被一步步解开。
首先，美国数学家斯梅尔在 20 世纪 60 年代解决了这个问题的高维变种，虽然相对简单，但为后续的研究提供了重要的线索。
斯梅尔因此荣获了 1966 年的菲尔兹奖和沃尔夫奖。
随后，1983 年，弗里德曼证明了 4 维版本的庞加莱猜想，并同样获得了菲尔兹奖。
这些证明过程中，还涌现出许多杰出的数学家，他们的贡献对数学界产生了深远的影响。
庞加莱猜想：作为对比，图中环面上两个上色的圆均无法连续地收紧成一点。因此环面并不与球面同胚。
然而，庞加莱猜想的终极证明出现在 2003 年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼的身上。
佩雷尔曼以其独特的生活方式和数学才华，成为了数学界的一道亮丽风景线。他在俄罗斯接受教育，后来在美国做博士后研究，攒下了足够的资金后选择回国，专注于研究庞加莱猜想。
他在一个普通的福利公寓里，用极其节俭的生活支撑起对数学的无尽热情。
俄罗斯数学家：格里戈里·雅柯夫列维奇·佩雷尔曼
佩雷尔曼在 arXiv 网站上发布了庞加莱猜想的完整证明，这一举动震动了整个数学界。
虽然他的证明极为简洁，但足够深刻，数学界花了近三年的时间来验证其正确性。
虽然有质疑声音出现，但佩雷尔曼从不屈服于外界的压力，坚持自己的观点，这也导致了一些数学家最终离开了数学界。
由于他对这一百年数学难题的巨大贡献，佩雷尔曼被授予菲尔兹奖，但他却拒绝了这一荣誉。
甚至在 2010 年 3 月 18 日，当千禧年大奖颁发给他时，他依然坚持拒绝接受克雷数学研究所提供的百万奖金。
他认为，美国数学家理查德·汉密尔顿对这一问题的贡献不亚于自己，因此不愿意独自享有这份荣誉。
庞加莱猜想的解决，不仅是数学领域的一大飞跃，更为我们理解三维世界提供了新的视角。
它帮助我们从一个全新的角度来看待和理解我们所生活的世界。例如，它可以帮助我们在不实际探索外太空的情况下，更好地理解和证明地球的形状。
此外，庞加莱猜想的解决为拓扑学的发展奠定了重要基石，使得在这一基础之上能够建立起更加宏伟的数学理论建筑。
最终，佩雷尔曼的天赋、成就和独特的人格特质，使他成为了数学界一个不可复制的传奇人物。
他的故事告诉我们，对于一个真正热爱数学的人来说，解决难题本身的意义远远超过任何奖项和金钱。
庞加莱猜想的故事，不仅是数学史上的一个里程碑，更是人类智慧和勇气的一次精彩展示。
好，接下来我们再谈谈庞加莱，关于拓扑的细节我们前文有谈过，后期还会补充。
02 庞加莱的生平
朱尔·亨利·庞加莱
庞加莱，数学界的泰斗，可谓是最后一位全面掌握纯粹数学和应用数学双领域的巨人。
今天，要找到能同时精通数学的四大支柱——算术、代数、几何、分析——中至少两个的人已是难上加难，更不用说在天文学和数理物理学上也有深刻理解了。
即便是在 19 世纪 80 年代，当庞加莱的辉煌职业生涯刚刚起步时，人们已普遍认为高斯是最后一个数学全才。
但这并不意味着未来不会再出现一个像庞加莱那样的全才，横跨整个数学领域。
数学的发展就像勒梅特宇宙模型中描述的宇宙一样，既有膨胀也有收缩。
现代数学正经历爆炸式的膨胀，使得想要全面了解自 1900 年以来涌现的新数学概念几乎成为不可能的任务。
然而，我们也看到了某些领域的收缩，如代数学通过采用公理化方法变得更为抽象、普遍、连贯。这种普遍性使得一些现在看似有价值的特殊和复杂知识可能最终被更广泛、更简单的原则所取代。
一个显著的例子就是相对论，它通过简化复杂的数学，改变了经典数理物理学的面貌。
在数学的膨胀与收缩之间，我们还看到了向量分析向张量分析的快速发展，表明了更广泛的应用和更深的集中。
虽然这种变革最初可能难以为年长的学者所接受，但它们通常被认为在本质上更为简单、易于掌握。
当数学家们说张量分析等概念相对容易时，他们不是在炫耀或保持神秘，而是在表达一个每个学生都能验证的有价值的事实。庞加莱的大量著作就体现了这种广泛的普遍性。
然而，抽象和普遍性的优点也带来了一些缺点，尤其是对那些关注细节的人。比如，一个正在工作的物理学家可能知道他所面临的特定微分方程是可解的，但如果这个解决方案无法应用到具体问题上，那么这个理论证明对他们有什么用呢？
庞加莱在他最有创新性的工作领域中，尝试解决了一些关键问题，比如围绕一个轴旋转的均匀、不可压缩流体在何种条件下运动是稳定的。
他尝试用直观而非严格数学的方法确定梨形体的稳定性，但最终证明这种方法不适用于数值计算。
后来的研究者，包括著名的 G·H·达尔文，在得出最终结论之前，没有被复杂的代数和算术障碍所阻挡。
庞加莱的普遍性不仅体现在他对数学的掌握上，还体现在他对单复变量函数理论的全面理解上，这使得他能够揭示以前未被注意到的、与当时数学主流相距甚远的新分支。
庞加莱还因其在数学普及方面的努力而闻名，他能够深入浅出地向大众解释数学的重要性。
庞加莱的一生充满了对数学创造心理的探索。他试图解释数学家是如何进行发现的，虽然他没有找到创造力的“秘诀”，但他的工作表明，这种创造性并非完全神秘，可能在人类理解自身智力时被发现。
庞加莱的背景同样值得关注。他出生于一个显赫的家庭，他的祖父曾在拿破仑战争中服役，而他的堂兄弟雷蒙·庞加莱后来成为法国大佬。
尽管庞加莱天生就具有数学天赋，他在童年时期却表现出对社会游戏的兴趣，这可能是他在管理领域缺乏天赋的早期迹象。
庞加莱的智力得益于他的家庭背景。尽管他在幼年时因病体弱，但他的阅读能力和记忆力异常出众，能够精确回忆阅读过的内容。
他的记忆力和视力的特殊性使他在数学学习中更依赖于听觉而非视觉。
尽管他的身体协调能力不佳，阻碍了他在实验方面的发展，他仍然成为了 20 世纪初最杰出的数学家之一。
庞加莱不仅是数学界的巨星，还因其在数学普及和哲学上的贡献而闻名。他的作品被翻译成多种语言，影响了全球的读者。
尽管他的风格在翻译中有所损失，但他对数学和科学普及的热情并未减弱。
庞加莱的成就不仅在数学界受到认可，他甚至被授予了法兰西学院文学部院士的荣誉，这是对他在数学和文学上贡献的肯定。
在 20 世纪初的十年里，亨利·庞加莱成为了公认的数学大师，尤其在法国，他的名声如日中天。
庞加莱不仅在数学领域，甚至在社会和伦理学等领域也有着独到见解，他的观点通常直接而明确，被广泛接受为权威性结论。
就像许多伟人一样，庞加莱去世后的十年间，他的声望似乎不公平地黯淡了一些，但他对未来趋势的敏锐直觉已开始为自己辩护。
例如，庞加莱强烈反对认为所有数学都可以用经典逻辑的基本符号来重写的理论。他认为，数学之所以形成今天的样子，是由于某种超越逻辑的元素。
虽然他没有完全走向直觉主义那样极端的道路，但他也相信至少有些数学概念是先于逻辑概念的，并且如果二者之间存在因果关系，那么逻辑一定源于数学，而非反之。
这一观点是否为终极真理尚待探讨，但从目前看来，庞加莱所批评的理论——尽管它们有自身的优点——似乎并不是最终的解释。
庞加莱的生活在最后四年中，尽管饱受疾病之苦，但整体上是平静且幸福的。
他从世界各地的主要学术团体获得了无数荣誉，1906 年 52 岁那年，他获得了法国科学家可能获得的最高荣誉——法兰西科学院院长。
这些成就并未让庞加莱自负，他始终保持着真正的谦逊和纯朴，不事张扬。
他深知自己在壮年时期无人能及，但也谦虚地说，与他所需知道的知识相比，自己所知甚少。
庞加莱的婚姻幸福，有一子三女，家庭生活给了他许多快乐，尤其是在孩子们年幼时。他的妻子是著名比较解剖学者圣伊莱尔的后代。
庞加莱还有一个爱好，那就是交响乐。
1908 年在罗马的国际数学大会上，庞加莱因病未能宣读他那激动人心的演讲《数理物理学的未来》。
他患有前列腺增大，经过意大利外科医生的手术治疗后症状得到缓解，似乎痊愈。
回到巴黎后，他继续保持高效的工作状态。
但 1911 年，他感到自己可能不会长寿，12 月 9 日，他写信给一本数学杂志的编辑，询问能否接受一篇尚未完成的论文，探讨他认为极为重要的问题。
庞加莱在信中写道：“鉴于我的年龄，我可能无法解决这个问题，但我所得到的结果或许能引导研究者们走向新的、意想不到的道路。
尽管这些道路曾多次欺骗我，但我认为它们极具前景，我愿意将它们献出。”庞加莱在过去两年中极力克服这个难题，但最终未能成功。
他所预测的定理，若得以证明，将在三体问题上取得巨大进展，特别是证明在比之前研究的情形更为广泛的条件下存在无限多个周期解。
这一期待中的证明，在庞加莱去世后不久，由年轻的美国数学家乔治·戴维·伯克霍夫完成，为庞加莱的“未完成交响曲”谱写了完美的终章。
1912 年春，庞加莱再次病倒，并在 7 月 9 日接受了第二次手术。
手术本身成功，但不幸的是，在 7 月 17 日穿衣时，他因栓塞猝死。庞加莱那时 59 岁，正处于他的智力巅峰。
正如潘勒韦所言，他是“活着的理性科学之脑”。庞加莱的一生，不仅在数学领域留下了深刻的印记，他的生活态度和哲学思想，同样激励着后世。
总的来说，庞加莱的生平和成就揭示了一个多面的数学巨人，他不仅在数学上有深刻的洞察，还在哲学和文学上有着广泛的影响。
他的故事激励了无数追求数学和科学真理的人。
祝幸福～
参考文献：
. 《数学大师》
. https://www.dedao.cn/course/article?id=oWZdeMxN5Y4DJl1123XjB62zrR8Obl&source=search
科学羊 2024/01/15
庞加莱(Henri Poincare)论美：
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“The scientist does not study nature because it is useful to do so. He studies it because he takes pleasure in it, and he takes pleasure in it because it is beautiful. If nature were not beautiful it would not be worth knowing, and life would not be worth living. I am not speaking, of course, of the beauty which strikes the senses, of the beauty of qualities and appearances. I am far from despising this, but it has nothing to do with science. What I mean is that more intimate beauty which comes from the harmonious order of its parts, and which a pure intelligence can grasp.”
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科学家研究自然，并非因为它有用处；他研究它，是因为他喜欢它，他之所以喜欢它，是因为它是美的。如果自然不美，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生命也就不值得活着。当然，我在这里所说的美，不是打动感官的美，也不是质地美和外观美；并非我小看这样的美，完全不是，而是它与科学无关；我意指那种比较深奥的美，这种美来自各部分的和谐秩序，并且纯粹的理智能够把握它。
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