请 jzkyllcjl:\((\prod_{k=1}^{n}(kn)^{(1/(n+k))})^{1/\ln n}\to ?(n\to\infty)\)
题: 计算 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\bigg(\prod_{k=1}^{n}(kn)^{\frac{1}{n+k}}\bigg)^{\frac{1}{\ln n}}\) 本帖最后由 elim 于 2024-1-1 02:48 编辑本来是请 jzkyllcjl 解的. 但他告别论坛。所以贴出我的解，供讨论。
题：求\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n,\text{ 其中}\,a_n=\bigg(\prod_{k=1}^{n}(kn)^{\frac{1}{n+k}}\bigg)_{\dot\,}^{\frac{1}{\ln n}}\)
解： \(\because\;\ln a_n=\displaystyle\sum_{k=1}^n\frac{\ln\frac{k}{n}+2\ln n}{(k+n)\ln n}={\small\frac{1}{\ln n}\frac{1}{n}}\sum_{k=1}^n\frac{\ln\frac{k}{n}}{1+\frac{k}{n}}+2\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\)
\(\qquad\quad\small\displaystyle\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{|\ln\frac{k}{n}|}{1+\frac{k}{n}}\to \int_0^1\frac{|\ln x|}{1+x}dx < \int_0^1|\ln x| dx =1,\;\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{2}{k}\to 2\ln 2\)
\(\qquad\therefore\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n = \exp(2\ln 2)=4.\quad\square\)
注记： \(\lim_n(\sum_1^{2n}k^{-1}-\sum_1^n k^{-1})=\lim_n(\ln 2n-\ln n)=\ln 2;\)
\(\qquad\quad\displaystyle\int_0^1\frac{\ln x}{1+x}dx=-\frac{\pi^2}{12};\)
\(\qquad\quad\ln a_n -2\ln 2=o(n).\) jzkyllcjl 似乎仍然在指点数学江山，那么请说说对楼上分析的看法。极限有没有达到极限？
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