如何理解拉格朗日乘子法的本质
如何理解拉格朗日乘子法的本质作者：爱科普
来源：数学经纬网
拉格朗日乘子法作为求条件极值的经典算法，被广泛地运用于数值计算当中。拉格朗日乘子法是一种求函数 f(x1,x2,…) 在 g(x1,x2,…)=0 的约束条件下的极值的方法。它的主要思想是引入一个新的参数 λ（即拉格朗日乘子），将约束条件函数与原函数联系到一起，使能配成与变量数量相等的等式方程，从而求出得到原函数极值的各个变量的解。本文力求展示给读者一种对拉格朗日乘子法的直观理解，体会数学的精妙。
01什么是拉格朗日乘子法
在日常生活中我们会面临各种各样的寻求极值的问题。例如，寻求在定义域内函数 f(x) 的极值的问题，在这里我们就需要求得导数为零的点。到了多元情形中，就需要考虑函数 f(x1,x2,…) 对各个分量的偏导数为零的点。现在的问题是，如何“在一定的限制条件下”，寻求目标函数的极值。比如说，我们要寻求 f(x,y) 在约束条件 g(x,y)=0 下的极值。
一般的想法那就是，我们把 g(x,y)=0 中的 y（或是 x）用 x（或是 y）来显式表达，得到函数 y=h(x)（或是 x=h(y)）代回到函数 f(x,y) 中得到函数 F(x)=f(x,h(x))（或是F(y)=f(h(y),y）,然后根据一元函数的求解极值的方法，也就是求得导数为零的点来计算极值。现在的问题是，万一 g(x,y)=0 中的 x 或是 y 不可以显式表达，问题该如何解决呢？
拉格朗日乘子法给出了解决这个问题的办法，这正是数学家拉格朗日的伟大创造。
02拉格朗日乘子法的原理
读者可能不禁会产生疑问：凭什么引入一个 λ ，定义一个拉格朗日函数，求得拉格朗日函数的极值，就可以求得 f(x,y) 的极值了呢？这背后的原理是什么？
理解数学背后的原理的一种好的方式，就是打开直观感受。
在下图中，假设我们的目标函数 f(x,y) 与限制函数 g(x,y) 都在区域 G 上定义。自然而然地，拉格朗日函数是目标函数与限制函数的线性组合，其也是在区域 G 上定义。其中红色的曲线是代表满足 g(x,y)=0 的点的集合。点 M(x0,y0) 是拉格朗日函数在区域 G 上的极值点。现在我们来阐明这其中的原理。
拉格朗日乘子法示意图
读者肯定会疑惑，为什么拉格朗日函数的极值点会落在曲线 g(x,y)=0 上？它就不会落在区域 G 的别的地方上吗？那是因为我们在拉格朗日函数对参数 λ 求导的时候，得到的函数恰好是 g(x,y)=0 ，有了这个条件，求得的极值点 M(x0,y0) 一定满足 g(x0,y0)=0 ，所以它一定会落在曲线 g(x,y)=0 上。
其次是为什么拉格朗日函数的极值点一定是 f(x,y) 的极值点呢？首先我们注意到，拉格朗日函数 L=f+λg 在 g=0 的时候，L=f ，也就是拉格朗日函数与目标函数在曲线 g(x,y)=0 的那条线上是相等的。既然如此，拉格朗日函数在 M(x0,y0) 取得极值，也就是在 M(x0,y0) 的局部领域中取得极值，曲线的一小段包含在这局部领域中，也就是说拉格朗日函数在曲线 g(x,y)=0 上取得极值，而在曲线 g(x,y)=0 上拉格朗日函数与目标函数相等，那么，也就是目标函数在曲线 g(x,y)=0 上取得极值。
这就是隐藏在拉格朗日乘子法背后的本质意义。解决某一类数学问题，固然有它的类似电脑程序一样的解决步骤，但能够进一步去理解这样或是那样的解决步骤的本质含义，数学的学习就充满了乐趣。
拉格朗日乘子法这样的巧妙的发明，它的巧妙来源于哪里？笔者认为，该方法巧妙在拉格朗日函数的构造上，它引入参数 λ ，并把限制函数包含进去，把问题“升维”一次，然后在升维的基础上求得问题的解，然后再进行“降维”，抛弃参数λ的值，仅关注 (x0,y0) 的值，这个降维刚刚就降在限制函数所限定的范围内，这一升一降，就恰巧解决了条件极值的问题。妙哉！
爱科普 数学经纬网 2023-11-03 22:00 发表于北京
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