哥德巴赫猜想的初等证明（再发一遍）
本帖最后由 ysr 于 2024-1-22 23:25 编辑一、几个概念
1，素数：我们把像 2，3，5，7，……，这样除了 1 和本身不能被其他数整除的整数叫素数，
又叫质数。
2，哥德巴赫猜想：大于等于 4 的偶数都可以表示为两个素数的和，这就是猜想的内容，也
叫偶数哥德巴赫猜想。是德国数学家哥德巴赫 1742 年发现的。简称哥猜。
3，孪生素数猜想：差为 2 的一对素数叫孪生素数，如 3 和 5，5 和 7，等等。孪生素数有无
穷多，这就是猜想的内容。简称孪猜。
4，素数有无穷多的证明：
首先，看看欧几里得反证法如何证明素数有无穷多的：
素数无穷多的证明，这里给出欧几里得的证法（欧几里得之前是否有人已用过不知道）：
证明：假设素数是有限的，假设素数只有有限的 n 个，最大的一个素数是 p。
设 q 为所有素数之积加上 1，那么，q=（ 2×3×5×…×p ）+1 不是素数。
那么，q 可以被 2、3、…、p 中的数整除。而 q 被这 2、3、…、p 中任意一个整除都会余 1，
与之矛盾。要么 q 是素数，要么 q 能被大于 p 的新素因子整除。
所以，素数是无限的。
扩展资料：
（1）质数 p 的约数只有两个：1 和 p。
（2）所有大于 10 的质数中，个位数只有 1,3,7,9。
（3）初等数学基本定理：任一大于 1 的自然数，要么本身是质数，要么可以分解为几个质
数之积，且这种分解是唯一的。
素数无穷多还有其他证明方法，如利用欧拉函数的代数数论法，利用了欧拉乘积公式的
解析数论法，等等。
谁穷尽了初等数论的证明方法？我的证法你知道吗？用过吗？
用我的证法来证明素数有无穷多，是这样：
证明：自然数列中每连续 2 个数必有 1 个能被 2
整除，每连续 3 个必有 1 个能被 3 整除，……，一个素数因子 p 在自然数中在其周期 p
内只占有一个位置，只要相邻素数的差出现大于等于 2 的，就会出现无穷多不能被旧素因子
占位的循环过程，出现无穷多新素数，为啥呢？
如下是进一步的论证：
在奇素数 p 第一次出现时，除了本身占位外，(周期从 1 算起到 p 结束)它的次一位(挨
着它的那个就是 p-1)必然是偶数，各素因子的第一次出现都是作为素数出现在这个周期内，
就是说这是各素因子占位最多的情况，各素因子各自周期不同，由于节拍错位，下一个周期
必然有重复占位的，则下一个周期必然有至少一个新素数的位置。
这是因为必然有奇素数因子会重复占位而造成空缺位置的，把 p 的周期的初相两位两位
向前移动（就是周期的开始点不再是 1 了），周期整体移动，相当于把下一个周期的起始点
两位两位地增长，初相变了，各素因子的节拍都变了，就是节拍错位，最多移动次数不超过
p 内的素数的个数，必然就会有奇素因子重复占位，就会产生新的空缺，此时该周期内，各
素因子占位情况比开始少了一个，此时就产生新素数。由于移动次数小于 p(据判定定理甚
至是小于 4+√p 的一半，因为是两位两位移动的，移动次数的 2 倍就是相邻素数的差，相邻
素数的差是小于 4+√p，为啥要加 4 呢，就是不让等号成立而保证界限大于实际而使不等号
绝对成立，没有反例，而 4+√p 是相邻素数的最大间距的粗略上界，书后面章节已经给出了
更精确的上界)，则新素数仍然在 p 的下一个周期内，所以，p 的下一个周期内必然产生新
素数，而且新素数与 p 的差等于移动次数的 2 倍(因为每次移动都是两位)，此时上一个周期
末尾就是新素数。(把 P 内的素数用常规判定法求出来，从 p 开始向后逐个递推）
比如 89 就是这样，移动了 4 次就得到新素数 97。此时的相邻素数的差又会等于 2 甚至
大于 2，素因子就不可能占完位置。比如差为 2，自身占一个还剩余 1 个是偶数，在下一个
周期就必然有一个新素数位置。出现了新素数而与其相邻素数的差又大于等于 2，则在新素
数的下一个周期又会有新位置不能被素因子占位，若下一个素数与该素数的差大于 2，则素
数间距变大素数变稀，周期变更长新增位置更多，所以此过程无穷多，所以素数是无穷的。
相邻素因子的差若大于 2、3、5、……、p，新增位置则会被 2、3、5、……、p 继续占位，
所以素数的位置不会是连续的，是分散的，是越来越稀的，但由于过程是无限的，位置是占
不完的，故素数是无穷多的，虽然越来越稀。
此法不仅能证明素数有无穷多，还证明了素数是越来越稀的。由于有节拍不同步（节拍
错位），必然有不同的素因子重复占位，这样就节约位置产生的素数多，此处素数稠密，故
还能证明素数不仅仅是越来越稀，还有稠密和稀疏相间的分布特点。啥是节拍错位呢？小素
因子的位置在大素因子波动周期中的位置是不固定的，这就是节拍错位。
例:设 P1<P2，素因子 P1 在其一个周期内位置(周期从 p1 开始)占第一项，而在 P2 的第
一个周期内（周期从 p2 开始算）占第二项，在 P2 的第二个周期内可能是占第三项……，这
就是节拍错位。
这样，我们就得到一个定理：
命题 1（产生素数的定理）:设 p1 和 p2 是相邻素数，若相邻素数的差 p2-p1>＝2，则在 p2+2
与 3*p2（或2*p2+1） 之间必然会有新的素数产生，新的素数的间距又是大于等于 2 的，所以此过程是无穷的，故，
只要有一对相邻素数的差为 2 则新的素数就会无穷无尽出现。
证：
奇素因子 p 第一次出现时本身是个素数，第一次出现就是在第一个周期内，所以，各素因子的第一个
周期是其占位最多的情况，而每一个素因子在其一个周期内只能占一个位置，若相邻素数的差
p2-p1>＝2，由于各素因子周期不同，节拍错位，在 p2 的第二个周期内必然有重复占位的，比如
3p2 就是 3 和 p2 重复占位了（比如2p2 就是 2 和 p2 重复占位了），则在 p2+2 与 3p2（或2p2+1） 之间必有一个空缺位置，就是旧素因子不能占位
了，必然会产生一个新素数。这是必然的。
而新素数和 p2 的差是从 2 到该数内的理论最大值（比如小于 p 或者小于√p，精确的理论值目
前还没有人确定）之间的某个值，所以，该间距又是大于等于 2 的。
因此，下一个周期就又会必然产生新的素数，过程是无穷的，所以，素数是无穷的。
随着素数 p 的增大理论上的某数内的最大间距是不断增长的，所以，素数会越来越稀。而一旦出现了
一次理论上的某数内的最大间距，则在下一个周期内又会出现一个小的间距甚至会出现多个素数，这
是必然的，所以，素数又是疏密相间的。命题 1 成立，证毕。
例如：3 和 5 是相邻素数，5-3=2，在 5+2=7 与 3*5=15 （或2*5+1=11）之间，必有新素数（至少一个），7~15
之间的素数有 7，11，13（而7~11之间有7,11），7~3*3=9 之间有一个素数是 7. 而 7-5=2，所以，后面此过程是无穷的，
新素数就是无穷多的。
教课书中对素数分布越来越稀的证明：从素数表可以看出:在 1 到 100 中间有 25 个素数, 在 1 到 1000 中间有 168 个素数,在 1000 到 2000 中间有 135 个素数, 在 2000 到 3000 中间有
127 个素数，在 3000 到 4000 中间有 120 个素数,在 4000 到 5000 中间有 119 个素数,在 5000
到 10000 中间有 560 个素数。由此可看出，素数的分布越往上越稀少。
素数具有许多独特的性质：
除了前面的“扩展资料”叙述的 3 条加上（4）素数无穷多这一条，还有如下两条：
（5）质数的个数公式π（n）是不减函数。
（6）若 n 为正整数，在 n 的 2 次方到（n+1）的 2 次方 之间至少有一个质数。
素数定理可以给出第 n 个素数 p(n)的渐近估计：
它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于 n 的自然数随机选一个，它是素数的概率
大约是 1/ln n。对正实数 x，定义π(x)为素数计数函数，亦即不大于 x 的素数个数。数学
家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。pi(x)≈x/ln x, 其中
ln x 为 x 的自然对数。后来被证明这个公式是素数个数的下限公式（有的书上把这个公式
叫素数定理），这个公式的证明过程已经证明了素数分布是越来越稀的。
二、孪生素数猜想的证明和哥德巴赫猜想的证明
下面来证明孪生素数有无穷多：
证明方法一：
证明： 请看如下两个数列：
2n+1: 3，5，7，……，
2n+3: 5，7，9，……，
对应项差为 2，若对应项均为素数则为孪生素数对。比如 3 和 5,5 和 7，……。
由于这是两个奇数数列，所以，素因子都是大于等于 3 的，且 相邻素因子的差存在无
穷多大于 2 的差。
正是由于这两条原因，孪生素数对就是无穷多的.
(我们可以得到多种差为 2 的不同数列如等差数列或抛物线数列等，如果不同的数列算
不同种证明方法，则证明方法几乎是无穷的)
这个简述不明白的话，再详述一点如下：（是奇数数列含有全体奇素数不重复证明了）
每个数列都含有无穷素数，这个证明除了用前面的欧几里得反证法外，还有其他证明。
(啥是相邻素因子呢？相邻素数指全体素数中的相邻的素数，中间没有其它素数的两个素数，
而相邻素因子不一定包含全体素数的，可能只是部分素数，这两个数列中包含了除了 2 以
外的全体素数，所以这里的素因子等于全体大于 2 的素数，而后面用的抛物线数列中的素
因子不是全体素数，缺少很多，所以这里必须用相邻素因子，二者概念不同)
这两个数列包含了全体奇素数，所以，无需再证明，其中的素数都是无穷多的。此法不
仅能证明素数有无穷多，还证明了素数是越来越稀的。由于有节拍错位，必然有不同的素因
子重复占位，这样就节约位置产生的素数多，此处素数稠密，故还能证明素数不仅仅是越来
越稀，还有稠密和稀疏相间的分布特点。
素数对产生的原因也仅以下两条:
1，两个数列中的素因子必须大于 2，都是奇数，这个满足。
2，由于两数列中相同的素因子在同一个周期内最多可占对应项的 2 个位置，故相邻素
因子的差必须≥4，偶尔有等于 2 的不影响结果，这条也满足。
这个充分条件就是个定理，定理：前两个数列中只要出现大于 2 的相邻素数对的差（或
者说是相邻素因子的差）就必然产生孪生素数对。（产生 2 生素数对即差为 2m 的素数对的
充分条件也是这个，就是只要存在大于等于 4 的相邻素数对就必然产生）
证明：前面两个数列中，若相邻素数 p2-p1>=4,则在 p2 的下一个周期由于节拍错位，
必有至少一对素因子重复占位，如 3p2,就是 3 和 p2 重复占位了。则比前一个周期多出一个
空缺位置，就是素数对的位置，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两
个位置。如 11-7=4>2，在 11 的下一个周期的 33 就是 3 和 11 重复占位了，次位的 31 和对
应项 29 构成孪生素数对。而 17-13=4，也大于 2 了，在 17 的下一个周期最大的数是 3*17=51，
在这个周期内有 43，41 一对，与 51 是不接近不是次一位，而 13 和 11 不在这个周期，因为
是从 19 开始到 51 结束的。而 19 和 17 又是一对孪生素数对。为啥素数 p2 的下一个周期最
大的必然是 3p2 呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是
其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有 2 倍数了，所以下一次
就必然是 3 倍数，所以必然是 3p2。3 和 p2 必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了
一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且
是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！
由于，素数越来越稀，大于等于 4 的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷
多。(这个是多年研究才弄明白的，这个是产生素数的本质原因，也是产生素数对的本质原
因)
而要产生4生素数组呢？充分条件就是只要存在大于等于6的相邻素数差就必然会产生
4 生素数组(当然要有前提条件，就是有个必要条件)。
下面就看利用欧几里得的证明方法：
证明方法二：
证明：前面两个数列中把对应项都是素数的，看作一个素数，把素数对看作一个素数，而把
合数对和半对子都看作合数，因为合数对和半对子都含有素因子。
这样就是看作一个数列了。由于是奇数数列，不含有素因子 2 的，且公差是 2。
用欧几里得的方法:
假设素数（素数对）是有限的，假设素数只有有限的 n 个，最大的一个素数是 p。
设 q 为所有素数之积(除了 2 的)加上 2，那么，q=（ 3×5×…×p ）+2 不是素数。
那么，q 可以被 3、5、…、p 中的数整除。
而 q 被这 3、5、…、p 中任意一个整除都会余 2，不能整除 q，与假设矛盾。
所以，素数（素数对）是无限的。
则差为 2 的素数对是无限的，就是孪生素数对是无限的，证毕！
下面来证明差为 4 的素数对有无穷多。
请看如下两个数列：
2n+1: 3,5,7,……，
2n+5: 7,9,11,……，
对应项差为 4，而 3 和 7，7 和 11 就是素数对。是差为 4 的素数对，是否有无穷多？
下面证明：
证明：前面两个数列中的对应项都是素数的，就看作一个素数，把素数对看作一个素数，而
把合数对和半对子都看作合数，因为合数对和半对子都含有素因子。
这样就是看作一个数列了。由于是奇数数列，不含有素因子 2 的，且公差是 2。
用欧几里得的方法，
假设素数（素数对）是有限的，假设素数只有有限的 n 个，最大的一个素数是 p。
设 q 为所有素数之积(除了 2 的)加上 2，那么，q=（ 3×5×…×p ）+2 不是素数。
那么，q 可以被 3、5、…、p 中的数整除。
而 q 被这 3、5、…、p 中任意一个整除都会余 2，不能整除 q，与假设矛盾。
所以，素数（素数对）是无限的。
则差为 4 的素数对是无限的，证毕！
同理，我们可以得到和证明：差为 6， 8，10，……，2n 的素数对都是无穷多的。
从而得到差定理：任意两个奇素数的差（包括自身相减）可以表示全体偶数。
3， 差定理和和定理的证明：
差定理：任意两个奇素数的差（包括自身相减）可以表示全体偶数。
差定理的证明：
比如如下数列：
2n+1： 3，5，7，……
2n+2m+1：3+2m，5+2m，7+2m，……
对应项差为 2m，可以严格证明（我可以用多种方法证明，比如用欧几里得反证法）这两个
数列中含有无穷多对素数对，而 2m 为全体偶数，m 可以等于 0，这就是差定理。2m 就是所
有，就是全体偶数。下面用欧几里得法证明：
证明：把前面两个数列中的素数对当做素数，其他数对当做合数，则变为一个奇数数列，设
数列中素数是有限的（据证法 1 的原理，只要相邻素数存在大于 2 的差就不会没有素数对，
所以，不用设定没有素数对的情况）或者从 q 后面没有素数(就是没有素数对)，设
q=3*5*7*……*p+2，则该项除以 p 内的奇素数余数都是 2，不能被 p 内的素数整除，与假设
矛盾，所以，q 要么是素数要么能被大于 p 的素数整除，新素数的第一次出现是作为素数出
现在该数列中的，所以，该数列中素数是无限的，就是素数对是无限的，差定理得证。
从而推导和证明和定理（就是哥德巴赫猜想）：任意两个奇素数的和可以表示大于等于 4 的全
体偶数。
证明：
设 p3>=p2>=p1>=3，由差定理知 p2-p1={0，2，4，……}，则有 p2=p1+{0，2，4，……}（等
式含义:等式左边为素数，显然右边不是≥3 的全体奇数，那些偶数是与不同的 P2 对应的特
殊偶数集合，如 3+0，2，4 为素，7+(4，6)为素，……，与 3，7 等等对应的，这些特殊的
偶数集合的并集为全体偶数，即(0，2，4)U(4，6)U……=全体偶数）。由于 p1，p2，p3 各
自集合无区别，则有 p2+p3=2p1+{0，2，4，……}（这里的 0，2，4，……已是打破特殊集
合界线的一个大集合即全体偶数，就是相当于在子集的并集组成的大集合中任意选两个相加
包括自己相加，如一个选 0，另一个遍历 0～2n 的全体偶数得到还是全体偶数），又因为
2p1>=6，4=2+2.故，命题成立。
证毕！（和定理就是哥德巴赫猜想）则哥德巴赫猜想得证！
欧几里得（英文：Euclid；希腊文：Ευκλειδηs,约公元前 330 年—公元前 275
年），古希腊人，数学家，被称为“几何之父”。他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学
的基础，提出五大公设，欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得
也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
欧几里得是 2 千多年前的人物，所以，此方法 2 千多年前就发现了，故哥德巴赫猜想和孪生
素数猜想都不是难题。
哥德巴赫猜想和孪生素数猜想是简单的。很容易证明。
不仅差为 2，4，6，8，……，2n 的素数对都有无穷多，而且差为 2，4，6，8，……，2n
的相邻素数对都有无穷多（这一点在后文证明），这个是已经证明的定理！证明我早已经发
表在数学中国论坛了！
有了这个定理就可以推导证明出下面两个定理：
1..两两奇素数的差可以表示全体偶数。
2..两两奇素数的和可以表示大于等于 4 的全体偶数（这就是哥德巴赫猜想）。
孪生素数对是差 2 的素数对，除了 3，5，7 这一组外，孪生素数对的间距都是大于等于 4
以至无穷，没有上限，而间距为 4 的孪生素数对也是直到无穷大都存在的，有无穷多的。这
两点并不矛盾。
本帖最后由 ysr 于 2024-2-19 22:48 编辑
如下文档就是第三次出版的文稿，是我最后修改的定稿文档，已经发给出版社编辑，比前两版增加了许多数据。
主要修改如下两个方面：
（1），中英文混用的标点符号，统一为中文状态下的标点符号。
（2），错别字，不合适的词语，不通顺的语句，进行了修改。图片按顺序编号，不清楚的图片进行了替换。
《数论探秘》总第三版即将出版书店可以发行，到今天（2024.01.27）是在印刷前的审核阶段，如下为这次修订稿的底稿：
1..两两素数的差可以表示全体偶数。
2..两两素数的和可以表示大于等于 4 的全体偶数（这就是哥德巴赫猜想）。
这里的任意两个素数是指任意两个奇素数，就是除了2以外的素数！
否则，比如2和3的和咋也不会得到偶数。 本帖最后由 ysr 于 2024-2-2 07:00 编辑
哥德巴赫猜想是很容易证明的，下面再发一下这个初等证明的文档：
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