世界各地古代的数学
世界各地古代的数学作者 | 莫宗坚 黄苹
来源 | 《数学传播》2023 年第 47 卷第 3 期（187）
人类的文明史始于两河流域，人类的数学史也始于两河流域。本文将讨论两河流域、埃及、印度、希腊、伊朗及中国的数学古史。在叙述各文明圈的数学史之前，我们会介绍一下该文明圈的简史，给读者大致的历史背景，避免在虚空中说事。
我们对各文明圈的数学之探讨，集中在数字系统和一些重要的数字如圆周率 π 、2 的平方根等，以及重要的毕氏定理的知识与证明。希腊人毕达哥拉斯（公元前 580 年，早于孔子）首先发明了毕氏定理，他被公认为世界上第一位重要的数学家。令直角三角形的两矩长分别为 a, b ，弦长为 c ，则毕氏定理有 a^2+b^2=c^2 。应用毕氏定理于边长为 1 的正方形，我们得出其对角线的长度为 √2 。可见，√2 是一个自然出现的数。√2 的数值很有意义，近代的古建筑学家梁思成和林徽因认为古代中国用 √2于建筑。类似的，古希腊有“黄金分割数” Golden mean 。令 a＞b＞0 , 如果 a/b=(a+b)/a ，则两数的比 a/b 被称为黄金分割数，约等于 1.618 。古希腊人在建筑上常用到它，认为此数呈现了一种数学的美。譬如窗子的高度为 a+b ，宽度为 a ，规定 (a+b)/a 等于黄金分割数。除了数位系统和重要的数字以及毕氏定理，我们还探讨方程式的解法、面积与体积的公式等，以及数学的内部问题。
一、两河流域
人类古史始于公元前 6000 或 5000 年（距今 8000 或 7000 年）的两河流域 Mesopotamia 。按照 《圣经·旧约》和古希腊文献及近代考古研究，两河流域的南端是一块水草丰沛、百兽繁衍的福地，但也时有洪水涛天之祸。在这福地，人类得以聚集力量; 又因为灾难，人类必须克服困难。人类最初的文明孕育在这福祸并存之地，是由一群有创造力的人建立的（这些人可能是移民与原居民混血的后人）。公元前 5500 年，这里的人发明了象形文字。公元前 3400 年，两河流域人改用音节文字 logo-syllabic 的楔形文字 Cuneiform ; 人们把楔形文字写在软泥上，经过日晒或火烧成为硬版，千年不坏。公元前 5400 年，两河流域人建筑了 Eridu 城。公元前 4500 年，他们又建筑了 Uruk 城。从此，在广阔的两河流域的下游平原上，出现了星星点点的城郭，如 Nippur ，Lagash ，Kish 以及 Ur 。公元前 3200 年，这里的人开始了青铜时期。至此，两河流域的人拥有文字、城郭和青铜，形成了人类的第一个文明。
谈到文字系统，人类至少有过七次创造：（1）公元前 5500 年，两河流域的象形文字 Sumerian script（部分可读），（2）之后他们创造的楔形文字 Cuneiform（可读），（3）公元前 3200 年，埃及的象形文字 Hierographia（意为神语。可读），（4）公元前~前 2800 年，伊朗的原始埃兰时期的象形文字 Proto-Elamites tablets（部分可读），（5）公元前 3000 年，已进入青铜时代的印度河流域，有数千字的象形文字 Harappan script（未解），（6）公元前 1300 年，晚商的好几千字的象形甲骨文（可读），（7）公元前九 ~ 前六世纪，美洲墨西哥的印第安文明的文字系统 Maya glyphs（可读）。而以下这些，则不被列入人类的七次文字创造：譬如，有些零散的符号，可能是装饰符号而不是文字; 有些非原创的文字，例如人类首次用的字母文字，是居住在埃及附近的地中海岸的腓尼基人 Phoenician ，在公元前十一世纪用埃及的象形文字制作的; 又如日文的音节文字之片假名及平假名，也是利用中国的象形文字制作的。据史学家张光直的见解，两河流域的数千年争战，大部分是 “闪族”的内争，就像中国商、周之间的争战一样。所谓闪族 Semitism ，指的是《旧约·创世纪》中诺亚方舟之主角诺亚的儿子 “闪” Shem 的子孙，即两河流域的人民。我们略过这些内争不提。
公元前 609 年，北部闪族的新亚速帝国 New Assyrian Empire 被伊朗族的米地帝国 Median Empire 与新巴比仑帝国所灭。新巴比仑帝国在《圣经·旧约》上被称为迦勒底帝国 Chaldean ，而迦勒底人原住两河流域的南部。公元后，亚速人改信基督教。他们在公元五世纪后，信仰基督教之景教派 Nestorian ，于唐代初年传景教于中国（此事可见“大秦景教流行中国碑”的碑文）。
公元前 550 年，居鲁士大帝 Cyrus the Great 在伊朗创立了阿契亚美尼帝国 Achaemenid Empire，信仰拜火教。在薛西斯一世 Xerxes I 时，其帝国包括埃兰、埃及、两河流域（这是两河流域的闪族人第一次亡国）、伊朗、小亚细亚、印度河上流、中亚、希腊中部和北部及巴尔干，人口逾五千万（中国在以后的公元二世纪的东汉后期，人口达五千万），是当时空前的大帝国。在公元前 331 年，波斯帝国为亚历山大大帝 Alexander the Great 所灭。
亚历山大大帝逝世于公元前 323 年，以后塞琉古 Seleucid 王朝继承了他的部分江山，包括中东、伊朗及埃兰。北面草原上的伊朗族中的安息人 Parthia（也称 Arsacid ，故张骞译为安息）逐步夺取伊朗与埃兰。公元前 64 年，塞琉古王朝在罗马帝国和安息帝国夹击下亡国，之后两帝国竞逐于中东。后来伊朗的苏珊帝国 Sasanid Empire 取代了安息帝国。公元七世纪时，闪族的阿拉伯人的伊斯兰教兴起，灭了苏珊王朝，致使中东受制于各伊斯兰帝国。公元十三至十五世纪，伊朗与中东的一部分，又被蒙古人的伊儿汗国 Ilkhanate 及以后的帖木兰 Tamerlane 汗国统治。公元十六至二十世纪，伊朗与东罗马帝国的继承者奥图曼帝国 Ottoman Empire 争战。公元 1918 年，第一次世界大战结束，奥图曼帝国败亡，遂改名土耳其。同时中东各国独立。
现在我们来谈两河流域的数学史。
（1）数字的标记法
原始人因为计物而发现了自然数，后来数目越来越大，于是人们把要数的物品按照约定的数目成堆，先计堆数，再计堆剩的余数。堆数多了，又约定每若干堆放一起成为大堆，之后先计大堆，再计小堆，如此人类就发明了进位法。大约公元前4000年，两河流域的人发明了更高级的数字进位法，即个位数用十进制，而十位数则用六进制，然后每六十个又换成用十进制，之后交替的用六进制与十进制。公元前 3000 年，人们发明了六十进位的数字系统，即把十进制与六进制组成六十进制，但在六十进制之内，仍保留十进制。直至今日，时间的计量仍然沿用这个系统。不仅六十个单位可以合并成一个大单位，一个单位也可划分为六十个小单位; 例如，六十分钟可算作一个小时，而一分钟也可分成六十秒。当我们说骑马从 A 地到 B 地耗时 3 小时 25 分钟 54 秒，这里的分钟与秒各自是以十进制计量的。两河流域的人在计量角度时，把正三角形的内角称作一个大单位角。我们知道它是 60 度，这里的度是一个小单位。因为这个大单位角无甚用途，久而久之就被人遗忘了。任取平面上的一点，它的周围可以紧密地排上六个正三角形的内角，因此圆周角是 6×60=360 度。这种计算时间与计量角度的系统一直沿用到今天。另一方面，中国古代观察到一年为 365 又 1/4 日，规定圆周角为 365（1/4）度。
这种数字标记法有下面的问题：其一，只有数字，没有单位的记号。例如，古人计算羊数，以十只羊进制成小群，以百只羊进制成大群。若只写下 1 ，则不知是 1 只，还是 1 小群，抑或是 1 大群。其二，改变单位时，同一数量会有不同的数字表示，譬如，六十进制法中的 1，60，60^2 容易混淆; 给一个数量，用一种单位计算是 1 ，用次小的单位计算是 60 ，用更小的单位计算是 60^2 ，就像 1 小时 = 60 分钟 = 3600 秒。又譬如方程式 5x=2 的解，可以是2/5，也可是 (2/5)×60=24 ，即可以是 2/5 小时，也可是 24 分钟。为了解决这两大问题，埃及采用不同的数字来表示个位数、十位数、百位数等等，给予它们不同的画法。中国古代也有类似的办法。最后，印度创造的数字系统，即今日世界通用的“阿拉伯数字”，才解决了以上的问题。
让我们用现代的数学记号来讨论古代数学，例如用 3;25,54 来表达 3 小时 25 分钟 54 秒。我们来讨论一些重要的数字，例如圆周率、2 的平方根 √2 等。在两河流域，圆周率 π 的值采用 25/8=3.125 。对于 2 的平方根 ，我们用刚才提到的记号来表达两河流域的六十位数目法：
1;21,51,10 = 1 + 24/60 + 51/60^2 + 10/60^3 = 1.41421296…
可见两河流域使用的 2 之平方根的值，与近代 √2 的精确值 1.41421356… ，仅差在小数点下第六位。
（2）配方法
公元前 1900 年，两河流域的人就用配方法解一般的二次式：把二次式 改写成 ，然后两边开平方根。三千年后在中国的宋、元时代，数学家们还在为 “带从开平方”（见《四元玉鉴》，即解二次式）而伤脑筋。
（3）毕氏三阵列
公元前 1850 ~ 前 580 年，两河流域的人用楔形文字写下了多个适合毕氏定理的三阵列 triads ，即符合 a^2+b^2=c^2 的（a,b,c）。其中有一组是数值很大的 (12709,13500,18541)，不像是碰巧生成的。我们猜古人或是用下面的公式，设 p＞q , (p^2-q^2)^2+(2pq)^2=(p^2+q^2)^2 得出三阵列 (a,b,c)=(p^2-q^2,2pq,p^2+q^2) 。在这里，令 p=125 ，q=54 ，即得出上面那个很大的三阵列 (12709,13500,18541) 。令 p=2 ，q=1 ，则得出 (3,4,5) 。这表示两河流域可能已经了解毕氏定理的真义，并且有生成毕氏三阵列的公式。中国在公元一世纪的《周髀算经》里也记载了毕氏定理，特别是故禹之所以治天下的 (3,4,5) 。
二、埃及
根据岩画，公元前一万年的埃及已有游猎打鱼的智人 Homo sapiens 。公元前 8000 年，由于气候变化，埃及大部分地区沙漠化。当地的人因此移入尼罗河流域，开始从事农业。虽然埃及的古史可追溯到公元前 4000 年，但其文明却始于公元前 3150 年（一个文明必须有城郭、文字及青铜。古史有文字即可，故而早于文明）。其时，埃及的第一王朝统一了上埃及和下埃及。上埃及指的是埃及南部，即开罗之南（尼罗河在开罗分流进入地中海），直到阿斯旺 Aswan 。埃及以农业为主，故各地皆有植物徽章。上埃及的植物徽章是莲花（世界上第一个显花植物是莲花，最早的莲花化石存于西班牙）。下埃及指的是埃及北部，即开罗之北的尼罗河三角洲。下埃及的植物徽章是芦苇。埃及文明是仅迟于两河流域的人类文明。
埃及人失国在公元前六世纪，当时波斯帝国侵占了埃及。公元前四世纪，亚历山大大帝击破波斯军，进入埃及并领有其地，他过世之后成为希腊人占有的托勒密王朝。公元前 30 年，罗马帝国灭托勒密王朝，统治埃及至公元 423 年。以后罗马帝国分成东、西两部分，公元 423 ~ 641 年，埃及属于东罗马帝国。到了公元 641 年，埃及则属于伊斯兰帝国，之后辗转于不同的伊斯兰帝国。十八世纪埃及成了英国的殖民地，二十世纪埃及独立。
埃及的古数学始于公元前 3000 年，延续到公元前 300 年，彼时亚历山大大帝征服了埃及。埃及古数学记载在纸草纸 papyrus 上。这种纸的制作，是用一种称为纸草或莎草的植物，截取草茎并展开成片，然后横直黏在一起成为平面（传说古埃及治健忘症之法，就是把要记之事写在纸草纸上，然后冲水令患者服下）。虽然纸草纸可以保存三、四千年，但这些写在纸草纸上的著作，历经兵火及自然朽烂，丧失很多，生存不易。相较之下，近世用机器生产的短纤维酸性纸，在垃圾堆里约五个月后即分解，回归自然。若善加保护，近世的纸或许可以留存两百年。中国古代的纸是长纤维碱性纸，最早的西汉的《灞桥纸》留存了二千年，宋版书维持了一千年。若用近代的电脑芯片作为记忆载体，因其格式二三十年一变，几代以后或不可辨识，这个时代的文明如何传承下去是个问题。
现在我们来谈埃及的数学史。
（1）数字的标记法
大约公元前 3000 年，古埃及的个位数是用直槓的数目表示的，十位数则用牛脚轭的数目表示，以后每进一位就换一物：百位用绳索，千位用莲花，万位用手指，十万用青蛙，百万用举双手的神像，这样的数字系统很可能源自非洲本土。这是十进制，不是位值制 place-value system 。
十进位的数字系统影响深远。在时间长度的定义方面，一小时等于六十分钟传自两河流域，而一天有二十四小时，则源于古埃及。按照十进制，古埃及人规定日色大明十个小时，加上凌晨一小时、黄昏一小时，故白天有十二小时。同理黑夜也有十二小时。所以，一昼夜是二十四小时。
整数的加法是自然数的合并计算。在古埃及，十个同样的数目就进到下一位数目。整数的乘法用古埃及的数字系统则很复杂，一般用加倍法来代替乘法：例如求 41×59 ，先算 41 的 1，2，4，8，16，32 的倍数：把 41 自数相加得两倍数，把两倍数相加得四倍数，以此类推。然后把 59 表达成 59=32+16+8+2+1 ，加倍法的原理其实就是近代 “两位数制” binary number system 。
在以下加倍算式中，我们勾出 32，16，8，2，1 的项：
用左行对应于右行勾出项的资料相加，即得出 41×59 = 41×(1+2+8+16+32) = 41+82+328+656+1312 = 2419 。
在古埃及的分数表示式里，人们只能择用整数及下列分数,并且各项最多只能用一次。为了操作方便，人们先准备了2/n 的表。例如要表达 2424/41，古埃及人先从上述的 41 的倍数表中获得最接近 2424 的 1312 ，记下对应之整数 32 ; 接着从 2424 中拿掉 1312 得到 1112 ，找到最接近它的 656 ，记下整数 16 ; …… 如此依次操作，最后余 5，于是有：
2424/41 = 32+16+8+…+1+5/41 = 59+(4/41+1/41) = 59+(2(2/41))+1/41 。
然后查 2/n 的表，获得 2/41 的表达式，最终有：
2424/41 = 59+(2(1/24+1/246+1/328))+1/41 = 59+1/12+1/123+1/164+1/41 。
（2）二次方程式
柏林纸草纸 The Berlin Papyrus（公元前 1990 ~ 前 1649 年的遗物）记载了两个二次式的题目，其中一题是：一个大正方形的面积为 100 ，是另外两个正方形的面积之和，其中一个正方形的边长是另一个的边长的 1/2+1/4 ，求解。这个题目表示作者可能有一些毕氏定理的知识。我们用现代数学来解此题。令两个正方形中的一个的边长为 x ，另一个的边长为 y ，则 x^2+y^2=100 ，x=(1/2+1/4)y ，代入前式得 (3y/4)^2+y^2=10^2 ，解得 y=8 ，x=6 。
可见埃及古数学已能够处理一些二次方程式。
（3）面积及体积
从 Rhind 纸草纸（约公元前 1550 年的遗物，由苏格兰古董商人 Rhind 捐赠）的内容，我们知道埃及人为了工程需要，计算了一些三维物体的表面积及体积。Rhind 纸草纸记录了九十一道题，其中的第 41 题给出了圆面积的近似值，从那儿可导出圆周率 π 的值为 256/81=3.16049383 。
Berlin 纸草纸、Rhind 纸草纸、Moscow 纸草纸以及纽约的布鲁克林 Brooklyn 博物馆的纸草纸都是有名的遗物。
三、印度
大约九千年前，有智人从阿富汗下行到印度河的平原地区梅赫尔格尔 Mahrgarh 。约公元前 6500 年，今巴基斯坦的印度河流域及西印度平原，有深肤色的印度人 Dravidian 聚集，形成村落。这些人可能是两河流域人的亲戚。约公元前 4000 年，他们建筑了有高大砖墙的城市。
公元前 3000 年，印度河流域进入了青铜时代，此时当地已有象形文字（未能解）。约公元前 1900年（略相当于中国传说的夏代），由于地球向东自转，促使了自北向南的印度河往西移动。印度河流域是农耕文明，当印度河西移后，农田就没了水，导致居民四散、印度河文明消亡。约公元前 1500 年，或许由于中亚气候变冷，在里海北岸牧马的印欧人（可能是以前从印度迁徙到中亚的移民的子孙）南下通过阿富汗，进入北印度，带来新的民族与文明。
公元前五世纪，佛陀出世，印度的古世纪开始。公元前四世纪时，亚历山大大帝东征到达印度河，与月护王 Chandragupta 率领的印度象军对垒。大帝退兵后，月护王回国成立孔雀王朝（传说月护王以前靠养孔雀为生，那时孔雀是家禽）。孔雀王朝在几代之后消亡，印度的中世纪开始了。在公元一世纪，阿富汗的贵霜帝国 Kushan Empire 侵入印度北部。在公元三世纪，笈多王朝 Gupta dynasty 逐渐发展并控制了印度北部，它消亡于公元五、六世纪。到了公元七世纪，戒日王 Harshavardhana（唐玄装的东道主）占领印度北部。戒日王忽然死去而又无嗣，北印度因此大乱。之后印度进入了它的中世纪的后期，列国分治延续了九百年。在这期间，中亚的伊斯兰教徒曾在公元 1206 年入侵印度，建立了德里苏丹国 Delhi Sultanate 。大约同时，伊斯兰教还入侵了孟加拉、西印度（今巴基斯坦）、马来亚和印尼。
印度的近代史始于公元十六世纪。当时中亚的蒙古人 Mughals 侵入，建立莫卧儿帝国 Mughal Empire ，控制了大部分印度。其时，印度的纺织业和造船业都是世界有名的，它的 GDP 约占世界的 1/4 ，超过了欧洲。
公元 1511 年，葡萄牙人占领马来半岛的马六甲 Malacca ，开始了欧洲人在南亚的殖民。公元 1641 年，荷兰人占领了整个马来半岛。公元十七世纪，欧洲人在南亚从事香料贸易。公元十八世纪中叶，英国通过“东印度公司” 开始经营印度。公元 1757 年，英国用武力取得孟加拉，将其有名的纺织业和造船业全部搬到英国。公元1857年，英国取代莫卧儿帝国，统治大部分印度。
第二次世界大战之后，英国国力大衰。约 1947 年印度独立成两国：印度教的印度和伊斯兰教的巴基斯坦。印度的独立领袖圣雄甘地 Mahatma Gandhi ，因支持巴基斯坦独立建国，被狂热的印度教徒刺杀。
现在我们来谈印度的数学史。
（1）零与位值制
新的印欧民族带来了自己的数学，传说印度数字最早来源于波罗米 Brahmi 文字（形成于公元前八 ~ 前七世纪）。以后在印度的寺庙的墙壁和石碑以及遗留的铜片上，发现了大量阿育王 Ashoka（公元前三世纪）时期的波罗米数字。波罗米数字里的一二三与中文相同，这或许不是偶然，虽然其中的关联未知。当时的印度数字、之前的埃及数字和中国甲骨文数字，都是十进位，而不是位值制。
中国汉代用数字后面加空位来表示位值，这个办法在算筹上虽然清晰，但书写在纸上则会造成混淆，因为有多少个空位并不容易分辨。大约在公元 350 年，北美的马雅人 Mayans 用画的蚌壳来表示数字位值。现在的史学家认为蚌壳并未参与运算（这或许是因为我们不知道马雅人如何运算的），所以它不能被当成数字零的符号。马雅人采用二十进制。
公元 650 年，印度数学家 Brahmagupta 用数字下面加点来表示位值：加一点表示十位，加两点表示百位，依此类推。以后，他把这些点移到数字的右边，相信当于现在的零记号。在计算时，先固定单位，采取十进制，一十写成 1· ; ，一百写成 1·· ; ,依此类推。唐代《开元占经》提到印度数字“每空位恒安一点”，指的就是这种点记号。Brahmagupta 把表示零的点记号，当作数字参与了四则运算。又因为这个点记号也被用来表示位值，故而我们说 Brahmagupta 发明了有数字零的位值制。
印度的数字零传入中国后，唐人并不重视。以后印度的记数法传入阿拉伯世界。中亚有花剌子模 Khwarezmia 国，在里海东北岸上、咸海（古称雷翥海）之南。大约公元 773 年，花剌子模国有一位数学家阿尔·花剌子模 Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi ，其名字的最后一段，被英文翻译成 algorathm ，中文继而译之为 “算法”，他也被人称为代数学之父。阿尔·花剌子模把印度表示零的点，改成现在通用的 0 。中国数学家在元代才接受零的记号，用一正圆表示零。经阿尔·花剌子模修改后的印度数字，以后传入欧洲。可见现在通称的阿拉伯数字，其实是印度数字。
（2）毕氏定理及圆周率
公元前 800 ~ 前 740 年，印度数学已发展到能够了解图形与数字的关系。数学家 Baudhayana 是印度阐述毕氏定理之第一人，他知道边长是 1 的正方形的对角线长度是 √2 ，继而要找 √2 的值，他得到
√2 = 1+1/3+1/3×1/4-1/3×1/4×1/34 = 1.414216…
精确到小数点下第五位。以后两河流域的毕氏三阵列传入，印度也有了毕氏三阵列的表。
印度人计算的 π 的值为 339/108=3.13888889 。以后的一位印度数学家 Aryabhatta ，在公元 499 年得出 π 的值为 3.1416 。
（3）三角函数的幂级数
在三角函数方面，古希腊数学仅知道 “弦长”（用现代数学来叙述它与 sin A 的关系是：给一个单位圆上夹角为 2A 的弧，则其对应的 “弦长”= 2 sinA ）。三角函数起源于相似三角形的硏究，主要用于天文学，彼时已传入印度。公元 499 年，Aryabhata 的书《Aryabhatiya》记载了精确的弦长表。公元八、九世纪，伊朗数学家哈巴什 Habash 定义了三角函数 sine ，cosine ，tangent 及 cotangent 。
公元十四世纪，印度西南岸的 Kerala 邦有了著名的 Madvaha 数学学派，其研究包括三角函数的幂级数 Power series ，例如 sin(x),cos(x),tan(x),arctan(x) 的无穷级数展开式。Madvaha 应用
arctan(x) = x-x^3/3+x^5/5+…+(-1)^n x^(2n+1)/(2n+1)+… ，
令 x=1 得出，π/4 = arctan(1) = 1-1/3+1/5-1/7+… 。所以，圆周率 π = 4/1-4/3+4/6-4/7+4/9-4/11+… ，得出π 的 9 位近似值为 π=3.141592653⋯ 。至此，Madvaha 写出了千古奇文。后世误以为这是公元十七世纪的欧洲大数学家、微积分学的创造人之一的莱布尼茨 Leibniz 首先发现的，故称之为莱布尼茨公式，现已改称为 Madvaha-Leibniz 公式。理论上，Madvaha 学派的方法可计算出圆周率的任意精确度的近似值。现代人使用最基本的电脑和无穷级数 arctan 公式，可以毫不费力地算出圆周率的千位小数値; 使用超级计算机及其它无穷级数，人类已算出圆周率的 62.8 兆（兆=百万×百万）位的小数值。
Madvaha 学派的微积分学的研究也早于欧洲 300 年。此地的数学家十分出色，但似乎没有把他们的数学传播到印度的其他地方。
四、希腊
一般认为古希腊文明大约始于公元前 3000 年的青铜时代，是在希腊本土东南部及爱琴海诸岛的基克拉泽斯文明Cycladic civilization 。但它没有文字，故其实并不合通常关于文明的定义。它早于公元前 2700 年的克里特岛 Crete 的迈罗安文明 Minoan civilization 。这个文明有“线性 A” Linear A 文字（大部分可解读）及类似于埃及的象形文字（尚未解读），又有城墙及诸多大理石雕像传世。中国传说的黄帝在公元前 2600 年、传说的大禹在公元前 2000 年，并且这两个传说的时代都没有文字，可见希腊文明比中国更早。之后的公元前 1750 ~ 前 1050 年，迈锡尼文明 Mycenaean civilization 是古希腊青铜时期的最后阶段，以其富丽堂皇的城市构筑及艺术作品闻世。以后，海民 Sea people 出现（史学家至今未能确定这些人是谁，只知道他们在东地中海引起大乱），持铁器侵入希腊，从此希腊进入了三百年的黑暗时期。公元前 750 年，希腊复兴并改用腓尼基字母作为希腊字母，从此开启了它的古典时期。
公元前 420 ~ 前 146 年的这段时间是泛希腊时期 Pan-Hellenistic 。亚历山大大帝东征，破波斯军，占领埃及、中东、伊朗、中亚及印度河流域。公元前 323 年，大帝逝世后，其领地分为三国。公元前 146 年，罗马帝国兴起，攻占希腊，以后又占领埃及与小亚细亚（今土耳其）。公元 423 年，罗马帝国分裂成东、西罗马帝国，希腊则归属东罗马。东罗马帝国又称为拜占庭帝国 Byzantine Empire（Byzantine 本是希腊一古国的首都，后称为君士坦丁堡 Constantinople ，现称作 Istanbul ），当时东罗马帝国流行希腊文化。公元 1453 年，奥特曼帝国 Ottoman Empire（今土耳其）攻占了东罗马帝国的大部分国土（包括希腊），遂灭东罗马帝国。英国浪漫诗人拜伦 Lord Byron 写下 “哀希腊” The Isles of Greece ，鼓动希腊独立。拜伦唱道，“他们（古代的英魂）回答：‘只要有一个活人登高一呼，我们就来，就来！’噫！倒只是活人不理不睬”（查良铮之译文）。公元 1824 年，拜伦为希腊独立而战死。公元 1832 年，希腊从奥特曼帝国独立。
近代用钻齿的方法硏究古人的 DNA ，发现自新石器时代（约七千年前）以来，62%-86% 的希腊古人是来自小亚细亚（今土耳其）的农人。青铜时代（约五千年前）之后，9%-17% 的遗骨来自高加索山区 Caucasus mountains 或伊朗。现代希腊人是公元前 1750 ~ 前 1050 年的迈锡尼文明的后人。
现在我们来谈希腊的数学史。
在古希腊，数学 máthēma 原意是学术的意思，非若后世专指数学。一般认为，希腊靠近两河流域与埃及，故深受其文明的濡染。古希腊用埃及的纸草纸来记录，然而历经战火及自然朽败，已无遗物。现代流传的古希腊最初的数学史，来源于公元前四世纪学者的追记及后世阿拉伯语的翻译书籍。近代数学继承并发展了古希腊的数学。
（1）希腊数字
从上图可见，古希腊人用字母表示数字。现代数学仍继承着这个传统，例如用 π 表示圆周率、e 表示自然对数的底。至今，希腊人与世界的科技界还是用字母来表示序数 ordinal ，例如第一是 α 、第二是 β 等等。
（2）泰勒斯
希腊最早的数学家是泰勒斯 Thales（约公元前 624 ~ 前 548 年，早于孔子），他访问过两河流域及埃及，提出并证明了泰勒斯定理： “取圆之直径的两个端点及圆上任一点构成三角形，则圆上那个点的内角是直角”。泰勒斯也是著名的哲学家，他的名言是： “你不能插足于同一河流两次”（因为水在不停地流淌，瞬间之后这个河流已不是原先的河流）。
（3）毕达格拉斯
世界上最重要的古代数学家当属毕达格拉斯 Pythagoras（约公元前 580 ~ 前 500 年，早于孔子），他也访问过两河流域及埃及，成立了一个以他为名的社团。这个社团有很多重要的数学成果，譬如数学的抽象化、毕氏定理的证明。我们知道在二维空间里，正多边形是对称的凸多边形、且其各边长相同，平面上存在无穷多个正多边形。相应的在三维空间里，正多面体是对称的凸多面体、且其各面是相同的正多边形、立体夹角全等。毕达格拉斯社团证明了三维空间里有、且只有五个正多面体（后世称为柏拉图 Plato 的五个正多面体）：表面为正三角形的四面体 tetrahedron 、八面体 octahedron 、二十面体 icosahedron ；表面为正方形的六面体 cube ；以及表面为正五边形的十二面体 dodecahedron 。欧几里德的《几何原本》中有约半数的定理来自这个团体，无人知晓哪些是毕达格拉斯的成果、哪些是他学生的结果。
（4）分数与实数
最初的数是自然数。后来有了分数，也称作比数 ratio-nal（中文误译为 “有理数”）。比数通过四则运算，仍得比数，用现代数学术语即是：所有比数构成比数域 rational field 。再以后有了几何测量，如测量长度或面积，得出许多连续的量，又称作实数。实数通过四则运算，仍得实数，用现代数学术语即是：所有实数构成实数域 real field 。数与量的来源不同。人们起初用比数来度量，曾错误地认为所有的量都是比数。非比数 irratio-nal 的量之存在，是毕达格拉斯的学生希巴苏斯 Hippasus 发现的。按照毕达格拉斯定理，边长为 1 的正方形的对角线，其长度是 2 的平方根。希巴苏斯证明了这个量 √2 不是一个比数，其证明如下：任一比数 a/b 的分子 a 与分母 b 的辗转相除，在有限步骤后必会停止。换言之，a/b 的连分数表示式（等价于分母和分子的辗转相除）是有限位的，但 √2 的连分数表示式却是无限位的：
上式可用循环式 √2-1=1/(2+√2-1) 导出。这是希腊人按他们的趣味，运用连分数所得的证明。后世的亚里斯多德 Aristotle 则用“反证法”求证：设 √2 是比数，即令 √2=a/b ，规定整数 a,b 没有公因子，故而 a,b 中最多只有一个偶数。上式等同于 √2 b=a ，得出 2b^2=a^2 ，因此 a 必然是偶数，把它写成 2c 。代入前等式，则得 b^2=2c^2 ，显见 b 也是偶数，这与 “a,b 中最多只有一个偶数”不合，所以 √2 不是比数。
传说毕达格拉斯在知晓其学生希巴苏斯证明了 “存在有非比数的实数”后，勃然大怒，因他自己正在宣传 “万物皆数”（由于当时的认知是所有的量都是比数，所以他的宣传即是 “万物皆比数”）。毕达格拉斯认为希巴苏斯泄漏了天机，故沉希巴苏斯于海。这只是传说，或许并无此事。约一千八百年后的十三世纪，中国数学家秦九韶也主张 “夫物莫不有数”，见其著作《数书九章·序》。
希腊人受困于由自然数导出的比数与由测量导出的非比数之间的异同。这在现代数学中，用戴德金切割 Dedekind cut 或柯西数列 Cauchy sequence 才得以解决。
（5）柏拉图与亚里斯多德
柏拉图（公元前 427 ~ 前347年，早于孟子）成立了有校园、老师及学生的雅典学院 Athen academy 。该学院一直延续到公元 592 年（相当于中国隋朝开皇十二年），在维持了约九百年之后被教皇关闭。柏拉图提倡数学的抽象化。纯数学千年不坏、万古长青。
亚里斯多德（公元前 384 ~ 前 322 年，早于孟子）曾受教于柏拉图，其百科全书式的著作遍及所有学科。他发扬光大了逻辑学与数学的演绎法证明。亚里斯多德后来成为亚历山大大帝的老师。大帝战败伊朗军，被阿拉伯人视为民族解放者，昵称为“双角人” Dhul-Qarnayn 。中世纪的阿拉伯人尊祟亚里斯多德的学问，尊称他为 “逻辑学的作者”。更有逸闻传颂亚历山大大帝在东征途中，曾派人回希腊向他求教如何处理占领地的难题。
亚里斯多德是一个伟大的博学家。当然博学家难免言多必失，他也有许多谬论。其中最有名的是他认为地面上的物质与天体上的不同，天体是以太 Ether 构成的。其实，地面上的我们看星球在天上，相对而言，从星球上看地面则认为我们在天上。天上地下的物质都是由所知的原子构成的。亚里斯多德还说过男人的牙齿比女人的多。中国古语有“圣人之失，有如日月之蚀，人皆见之”，故而我们知道了这位伟人的一些瑕不掩瑜的言论。
（6）亚历山大城时代
（i）欧几里德
当马其顿王国 Macedonia 兴起（现代有一个北马其顿国 North Macedonia ，它是后世的斯拉夫人之国，非古代希腊人的马其顿国），它征服了希腊各城邦，导致希腊文明进入转折点。紧接着，马其顿王国的亚历山大大帝东征波斯帝国大胜，在埃及建立亚历山大城为希腊帝国中心。亚历山大大帝要求异民族通婚，实行民族融合政策。亚历山大城空前繁荣，兴建缪斯神庙 Museum（中文译为博物馆）及图书馆。古希腊数学也从此移入亚历山大城。
当时希腊最重要的数学家是欧几里德 Euclid ，他生活在埃及的亚历山大城。时约公元前 300 年（秦朝始于公元前 221 年），正值希腊统治埃及的托勒密一世时代。欧几里德的生命史是后人传说的，不知是否可靠。在希腊时，他是柏拉图学院派的一员。他继承并发展了古希腊人为数学建立的公理演绎法，留下深远的影响。后来顺着亚历山大大帝带来的泛希腊主义 Alexander's Pan-Hellenic Campaign 潮流，欧几里德移民埃及。他的著作丰富，传遍世界; 其《几何原本》 Elements 十三册在明末传入中国。《四库全书》的 “提要”中写：“欧逻巴 Europa 之学，其先有欧几里德者，按三角方圆，推明各数之理，作书十三卷，名曰《几何原本》。按：后利玛窦 Matteo Ricci 之师丁氏（即，克拉维斯 Christopher Clavius ，其姓的拉丁文意为钉）续为二卷，共十五卷。自是之后凡学算者，必先熟习其书”。据说《几何原本》在西方是仅次于《圣经》的版本最多的书籍。中文版的前六卷由利玛窦与徐光启（明末重要的政治家、思想家和科学家，天主教徒，官至内阁大学士。公元 2011 年，罗马教会封他为圣徒）翻译，后九卷由晚清的数学家李善兰（公元 1811 ~ 1882 年）翻译。欧几里德的《几何原本》以公理、公设开篇，有严谨的证明，包括毕氏定理的证明（这可能是毕达格拉斯社团的结果），也有关于自然数分解为素数乘积的定理。直到十九世纪，才有非欧几何 non-Euclidean Geometry 的兴起。欧几里德的数学理论在世界上通行了二千年，近世数学宗于他所授。可谓 “匹夫为百代师，一言为天下法”，真是千古豪杰。
（ii）艾拉托斯特尼
与欧几里德同时代的 Eratosthenes（约公元前 276 ~ 前 195 或是 194 年，略早于秦始皇）是第一个计算地球半径的人。两河流域的天文学家早已知道：人居日、月之间，才见全月，而月蚀发生在全月之夜。通过观察月蚀之地影，两河流域人发现了地面是球形的。以后的希腊人观察到：远航的船只会渐渐没入海平面之下，因此推导出海平面是弯曲的、大地是球形的。所以测量地球半径是一个有意义的事情。
艾拉托斯特尼被有些人称为古代最有学问的人，他是亚历山大城图书馆的馆长。他晚年因失明而自杀身亡。他测量到夏至日的正午，在亚历山大城的日影为 7.2 度。同时他知道在夏至日正午，太阳在南方的 Seyne（今阿斯旺 Aswan）照入深井。假定日光平行（即日球与地球的距离无限大），两城之距离是 800 公里，日影差为 7.2 度（即圆周角 360 度的 1/50），则 800 公里的 50 倍（即四万公里）就是地球的周长。艾拉托斯特尼然后用圆周率计算得出地球的半径。在公元 1798 年的法国大革命后，法国政府规定：子午线从北极通过巴黎到赤道，这个距离是一万公里（显见，整条子午线的长度是四万公里），由此来规定一公里的长度。现代物理学家用光线定义公里的长度，与此大致相同。
公元一世纪的《周髀算经》也利用两地的日影差来作计算：中国古人假定地面是平的（即地球半径无限大。人们之所以看不到远处，不是因为地面弯曲，而是被山与树木遮住了，恰如南宋词人辛弃疾在《菩萨蛮·书江西造口壁》里写的“西北望长安，可怜无数山”），得出日高（即日、地距离）八万里（即四万公里）。这与日和地的实际距离是三亿里差得太多了。
公元九世纪的伊朗数学家哈巴什 Habash 受命于哈里发 el-Mamun ，用与埃拉托斯特尼同样的方法测量地球半径，得到相似的结果。公元十世纪的马苏第 Masudi 的《黄金草原》第八章里，用北极星光测量，假设北极星光平行（北极星比太阳远，故而北极星光比日光更接近平行线），得出地球之半径与埃拉托斯特尼的值相近。
（iii）阿波罗尼
亚历山大城的另一位希腊数学家是阿波罗尼 Apollonius of Perga（约公元前二世纪），属于欧几里德学派，是一位达到古希腊数学高峰的几何学家。他著有《圆锥曲线》Conic sections 共八册，可惜只有前四册得以完整保存，五、六、七册的希腊文本已佚，流传下来的是它们的阿拉伯译文，而第八册则无从知晓。传说他还做过关于正十二面体 dodecahedron 及正二十面体 icosahedron 的讨论。
古希腊数学把圆锥曲线划分成 parabola（公元十六世纪，伽利略 Galileo 建构古典物理学时，通过实验，发现抛射物体的轨迹是 parabola 。中文因此把 parabola 译成抛物线。但讨论公元十六世纪以前的古希腊数学时，则不能作此翻译。应该用拉丁文原意，作“比较曲线”）、椭圆 ellipse 及双曲线 hyperbola 。阿波罗尼对它们作了精细的讨论，给后世物理学家牛顿 Newton 的万有引力定律的应用，开了方便之门。牛顿得以用椭圆表示行星或回归彗星在万有引力定律下的运动轨迹，用双曲线表示某些灵光一现永不回归的彗星的轨迹。另一方面，给定一个圆锥曲线后，阿波罗尼用其对称轴及一条与该轴垂直的直线作为坐标系，再用文字表达的二次方程来定义这个曲线，开启了笛卡儿的解析几何。
古典物理学家应用一千八百年前的古希腊数学，经天纬地，如鱼得水，真是奇妙！物理学家用数学来帮助他们的研究，这优秀的传统在爱因斯坦 Einstein 创造广义相对论 General Relativity 时得以再现，其理论物理构建于半世纪前的黎曼几何 Riemannian Geometry 之天地中。
（7）阿基米德
阿基米德 Archimedes（约公元前 287 ~ 前 212 年，略早于秦始皇是居住在南意大利西西里岛的 Syracuse 的希腊移民，他在亚历山大城学习数学，之后回到 Syracuse。阿基米德博学多能，以发明物体的浮力定律而著名，当时他激动得光着身子从浴缸跑到街上大喊：“我找到它了 Eureka”！
阿基米德用圆的内接正多边形及外切正多边形的面积，求得圆周率 π 的近似值：
3(10/71)＜π＜3(1/7) = 3.142…
他又用趋近法求得多种面积与体积的公式。例如设 r 是球半径，则球面积是 4πr^2 ，球体积是 (4/3)πr^3 。中国的祖冲之父子在公元五世纪时，也得出同样的公式。
在第二次罗马与伽太基的百年战争中，西西里岛的 Syracuse 与伽太基结盟。阿基米德在罗马兵攻占 Syracuse 时遇害。
（8）希腊的落日余晖
公元前三世纪，罗马帝国崛起。罗马人重视应用科技，对纯数学及纯科学少有贡献。罗马靠军力征服四方：公元前 146 年，罗马兵团征服希腊。公元前 48 ~ 前 47 年，凯撒 Caesar 率军进攻埃及的亚历山大城，放火烧港内的埃及战舰。大火延及亚历山大城内，烧着了著名的大图书馆。许多珍品遭毁，幸而以前溢出的图书存在寺庙里。大火之后，图书馆取回溢书。当时亚历山大城出产纸草纸，因而它是书籍的集散地。图书馆依靠逐渐搜寻、收购书籍而得以恢复。公元前 30 年，罗马征服埃及，灭了托勒密王朝。
公元 395 年，东西罗马分裂，埃及归属东罗马。公元 476 年（时值中国的南北朝; 北朝是北魏，南朝是刘宋），西罗马帝国毁于日耳曼人。国家瓦解，欧洲进入黑暗时期。公元 641 年（唐太宗贞观十五年），伊斯兰教的军队占领了亚历山大城。哈里发奥玛 Caliph Omar 下令焚烧大图书馆，他说：“如果这些藏书与《可兰经》一致，那么读《可兰经》就够了。如果与《可兰经》不同，那么读它无用”。但百年之后的公元 754 年（相当于中国唐代天宝年间），回教徒的阿拔斯王朝 Abbasid dynasty（即黑衣大食，他们穿黑衣、打黑旗）在巴格达成立了 “智慧宫” House of Wisdom ，也称“巴格达大图书馆”。它收藏阿拉伯文书籍，也聚集希腊典籍的阿拉伯文译注本，例如欧几里得的《几何原本》、亚里斯多德的典籍、托勒密的大天文书 Almagest 等等。它还收集了很多印度的数学及科学书籍。图书馆收藏的是用纸草纸、羊皮纸 parchment 、犊皮纸 vellum 为载体的书籍。
虽然欧洲进入了黑暗时期，但天不灭斯文。除了阿拉伯人在其统治区成立图书馆褒扬文化，罗马天主教会也应运而生，他们读圣经、各处传教、建修道院。这样过了六百年，到公元 1088 年（即北宋元祐三年），意大利北部的教会仿照修道院的方式，成立了以硏究神学为主的博洛尼亚大学 the University of Bologna 。它以后也开始研究数学、哲学与科学。“一鸟高飞，众鸟随之”，巴黎大学、牛津大学等也陆续成立了。牛津大学的最早纪录是公元 1167 年（即南宋孝宗乾道三年）。这些大学的兴起，彻底改变了欧洲的面貌。
虽然最早的大学是公元 859 年摩洛哥的宗教性的卡鲁因大学 University of Al-Qarawiyyin ，但它其实是个修道院。公元 1963 年，它并入摩洛哥国立大学。当然，希腊有维持了九百年的柏拉图的“雅典学院”，中国汉代有 “国子监学”，唐、宋代也有“国子监”，并设有 “算学科”。但元祐元年时，政府认为 “建学之后，养士设科，徒有烦费，实于国事无补”。通常维持 “算学科”几个月或几年，就废弃了。南宋以后，全部废除算学科。“国子监学”则是政府的一部分，主要传授孔孟之道。每次改朝换代，就从头再来。它与自由思考、自由创造、与政治独立的近代世界大学很不同。
在公元十三世纪以后，基督教与伊斯兰教之间，发生激烈的斗争。公元 1224 年，基督教军灭了南意大利的西西里岛的回教国。公元 1453 年，东罗马帝国被伊斯兰教的奥特曼帝国（今土耳其）所灭。公元 1492 年，基督徒攻陷了西班牙的回教国的首都格那纳达 Granada 。在这两次灭掉回教国的事件里，欧洲人都取得了阿拉伯语的希腊典籍。在东罗马帝国被灭后，许多学者带着希腊文的书籍逃到意大利，触发了意大利的文艺复兴运动。希腊数学传布全世界并得到巨大发展，从此数学史进入了现代史。
五、伊朗
考古学家发现伊朗的中心地区在十万年前已有人类痕迹。古伊朗西南部的劄格罗山区 Zagros ，是人类最早的种植牧畜区之一。东南沿海的原始埃兰 Elam ，地处如今伊朗的 Khuzestan 及 Ilam 省，位于波斯湾沿岸。那儿的苏萨 Susa 是古代大城，后为埃兰的首都。根据放射性定年，苏萨建立于公元前 4395 年。原始埃兰在公元前 3500 ~ 前 2800 年（早于传说中黄帝的公元前 2600 年），略晚于苏美尔城邦。当时它已有象形文字 Proto-Elamite script ，考古学家部分解读。公元前 3000 ~ 前 400 年，埃兰人改用楔形文字，这些文字现在已可解读。在公元前 2900 ~ 前 2000 年，埃兰进入青铜时代。具备了文字、城郭及青铜，埃兰进入了文明世界。公元前 600 年，波斯帝国兼并了埃兰国，从此埃兰的楔形文字被用作波斯帝国的官方文字。
建立波斯帝国的是印欧族白种人，他们原居于中亚的里海北岸，牧畜牛羊及驯养马匹。公元前 2200 年，他们发明了势如奔雷的马战车。公元前 2000 年（相当于中国传说的大禹时代），印欧族人开始四处扩展。
公元前十七世纪，中东的希克索斯人 Hyksos 驾马战车突入埃及的尼罗河三角洲区，建立了他们的王朝。公元前 1595 ~ 前 1155 年，使用马战车的两河流域的军事民族加塞特人 Kassite ，接管了巴比仑帝国，成立中期的巴比仑帝国。公元前十六世纪，马战车传入中国成为商代王室的神兵利器，号令中原，莫敢不服。古希腊人也驾马战车。因为马车可以行远途，从而打破了各文明圈的孤立自持，联络旧大陆的各地逐渐形成一体。
印欧人分成三大族。第一大族通过阿富汗，进入印度，成为白种印度人，这族也进入中国南疆。
第二大族移居到帕米尔高原 Pamir 及附近，后来被称为伊朗人。现今占据帕米尔高原的塔吉克斯坦 Tajikistan 即是伊朗遗民建立的。这大族又分成四族：有三族人进入伊朗高原，他们是米地 Media 、波斯 Persis 、安息 Parthia（或作 Arsacid），这三族建立了各自族名的帝国; 第四族是留在中亚的粟特 Sogdia（或称东伊朗族）。在唐代，粟特人从事丝路贸易，其中不少人移入中国。
第三大族移入欧洲，成为德、法、意、英人（也有少数成了希腊人）。以上各民族在语言上有互通的渊源，例如父亲一词，英文是 father ，拉丁文是 pater ，伊朗文是 pedar ，梵文（古印度语）是 pita ，德文是 vater ，法文是 le père ，这些都是相近的。
伊朗曾是世界上最大的帝国，也曾是最富庶的地区，但后来历经突厥族和蒙古族的侵入。虽然许多民族占领过伊朗，可是根据遗骨检查，过去六千年来伊朗人的 DNA 相当稳定，所以应该没有发生大灭族之类的事件。当然他们的文化变得面目全非，现在的伊朗是一个神权国家。
远古的伊朗文明应该是辉煌的，可惜仅遗残篇，难窥全貌。数学及科学的历史，大部分未传，现代很少人硏究。例如我们仅知在阿拉伯入侵之前，有 Borzuya（公元五世纪人）等几位数学家，他翻译了印度数学家 Brahmagupta 的著作。或许受了宗教的影响，后世信徒认为是先知穆罕默德 Muhammad 给世界带来的光明。他们用伊斯兰教 Islam 纪元（公元 622 年）划线，坚信在此之前的世界是黑暗的，故不可能有值得传颂的文明。当然也就没有流传下来数学史。以下我们根据现有的记载来探讨，可以观察到留存的事件都发生在公元 622 年之后。
现在我们来谈伊朗的数学史。
（1）哈巴什
哈巴什 Ahmad ibn 'Abdallah Habash Hasib Marwazi（公元 766 ~ 869 年）来自中亚的木鹿 Merv，因此他的名字里有木鹿人 Marwazi。古希腊数学在三角函数方面只定义了“弦长”，哈巴什是定义 sine 的第一人。用现代数学来叙述：给定单位圆上一个夹角为 2a 的弧，则其对应的“弦长”为 2sin(a) ，因此 sin(a)=1/2 “弦长”。哈巴什也定义了 cosine ，tangent 及 cotangent 。继希腊数学家艾拉托斯特尼之后，哈巴什也测量过地球的半径。
（2）阿尔-花剌子模
阿尔-花剌子模 Mohammed ibn-Musa al-Khowarizmi（公元 780 ~ 847 年）来自花剌子模国（Khwarezmia），故有其名。此国在里海之东北岸、咸海（中国古代称其为雷翥海）之南，曾为伊朗北疆，隋唐称其为火寻国。这位数学家的名字的最后一部分 al-Khowarizmi ，英文翻译成 algorathm ，中文再译为 “算法”。阿尔-花剌子模曾是巴格达大图书馆（即智慧宫）的馆长。
阿尔-花剌子模写了很多书，其中有《代数学》“algebra”，他在书里详细讨论了二次方程式的解法。康熙帝说： “西洋人名此书名为《阿尔热八达》，译《东来法》也”。其实这是康熙帝的误解，algebra 的意思是移项与平衡; 把负号的项移到等号的另一侧，使之成为正号的项。自有此书之后，代数学成为数学中独立的科目，故而有人尊称他为“代数学之父”。
阿尔-花剌子模的另一个大贡献是传播了数字零。当时印度的记数法已传入阿拉伯世界，约公元 773 年，阿尔-花剌子模把印度表示零的点改成通用的 0 。这种来自于印度的数字系统，以后传入欧洲，被称为阿拉伯数字。中国的数学家在元代才接受零的记号，用一正圆表示算筹的零。
（3）海亚姆
奥马·海亚姆 Omar Khayyam（公元 1048 ~ 1131 年，时当中国北宋）生活在塞尔柱人 Seljuk（突厥化的中亚人）统治下的伊朗。公元十一世纪，塞尔柱人征服了伊朗。类似中国的满族征服汉族后很快汉化，塞尔柱人征服伊朗后，也很快伊朗化。海亚姆是著名的诗人和天文学家，他观察日月升降和天空旋转，是第一个发现这些现象源于地球自转的人。
奥马·海亚姆对数学的贡献之一，是把三次方程式分类、然后用圆锥曲线的交点求解。由于他用几何方法处理代数问题，海亚姆被认为是笛卡儿的解析几何的先驱者之一。他的另一个贡献，是其对“平行公理”的研究推动了非欧几何的发展; 他把二维空间分为锐角类、直角类及钝角类，这有助于后世对二维空间之分类（椭圆几何、欧氏几何、双曲几何）的理解。
（4）阿尔-凯西
阿尔-凯西 Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Masūd al-Kāshī（约公元 1380 ~ 1429 年，明朝成祖时）生活在帖木兰 Tamerlane（蒙古人）的统治期。据记载，在公元 1424 年，他得到圆周率 π 的小数点以下十六位精确值：3.1415926535897923 。
六、中国
公元前 2600 年是传说中的黄帝时代，但从司马迁的《史记-五帝本纪》来看，这在汉代已不可考。太史公曰： “学者多称五帝（注：第一帝是黄帝），尚矣。然《尚书》独载尧以来; 而百家言黄帝，其文不雅驯，荐绅先生难言之。” 故而黄帝不像是一位历史人物。我们再来看夏代的人物。在商代之前关于诸神的故事有下面这些例子：鲧（禹的父亲）窃了上帝的息壤到人间筑隄防（息壤是一种能生长的土壤，见《山海经-海内经》： “洪水滔天。鲧窃帝之息壤以堙洪水，不待帝命“）; 关于禹治水的故事，除了一句老话：三过家门而不入（见《史记夏本纪》或《孟子滕文公上》），其余就是用应龙之尾画地形成江河（见《广雅》，应龙是有翼的龙。又见《楚辞·天问》： “河海应龙，何画何历？” ) ；还有后羿射下九个太阳; 以及嫦娥奔月等等。这些应该都是神话，但经过春秋、战国众学者的逐步人格化，诸神演变成古人。现代考古虽觅得陶器、石器，却未曾找到任何文字记录。除非找到夏墟及夏代的文字，或从已有的晚商的甲骨文（公元前十三世纪）查到夏代的记录，否则很难证明夏代真实存在过。事实上，商代的甲骨文没有一个字提到夏代。因此，夏代及其前代，应该是传说的神话时代。
另一方面，考古学家首次在西部甘肃发现了公元前二十八世纪的青铜器遗物（一柄青铜小刀），令人遥想到更西的两河流域。河南偃师商城则是公元前十五、十六世纪的遗址。以目前的考古学知识，一个文明应该拥有文字、青铜及城郭。因此，中国的文明大概始于公元前十六世纪的商代早期，至今约 3600 年。
现在我们来谈中国的数学史。
（1）记数法
中国古代的甲骨文记数法
古学家在商代晚期的甲骨文里发现了中国最初的记数法，故中国的古数学迟于两河流域及埃及的数学。这是公元前 1200 年甲骨文里的记数法：甲骨文记数虽是十进制，但不是位值制; 十、百、千、万都有专门的单位词。甲骨文记数由 1-9 九个数字和若干十进制的位置符号组成，与古埃及的记数法类似。这种记数方式仅适用于文字记载、不方便计算。
春秋时，人们用一种叫算筹的算器来作实际上的计算。算筹是一些竹制、木制、骨制或金属制的小棍，被用来表示数字。人们移动这些算筹，以资运算。例如《史记 · 留侯世家》里有留侯张良“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，说的就是汉初三杰之一的张良用数学来决定策略。算筹计数法在汉代开始用空位表示现代的零记号，它是没有零记号的位值制。在算筹记数法中，以纵横两种排列方式来表示数目：
其中 1-5 均以纵（或横）方式排列相应数目的算筹来表示，6-9 则以 1-4 的算筹之上方加一根垂直方向的算筹（作为 5 的标记）来表示。对于多位数，规定个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空。《孙子算经》（公元四、五世纪）记载的算筹记数法是：“凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当”。从元末明初开始，中国用算盘代替了算筹。
中国古代的算筹数码
在纸上进行算筹数字的演算，是明代时从西域传入中国的，称为“铺地锦”（见程大位的《算法统宗》）。后来传教士利玛窦和数学家李之藻翻译西方的著作，写成了《同文算指》。但译文里用的是中文算筹数字，并划一正圆表示零。以后清代改用阿拉伯数字，始与世界通行的笔算相同。中国古代通用“算学”而少见“数学”。相较于希腊古数学，中国古数学缺乏数论（因为中国古代没有质数的概念）、几何学、逻辑学及三角学，较着重于应用，未涉及抽象数学。近代中国数学多半借用日文翻译的名辞，即便数学一词也来自日文。
（2）矩阵与线性代数
西汉时期《九章算术》之“方程章”里的方程，相当于取现代的线性方程组的系数而成的矩阵。然后用“直除法”（即现代的高斯 Gauss 消元法）求解。这种方程传到日本后，“和算家”（注：日本古典数学的专家）关孝和 Seki Kowa（公元 1642 ~ 1708 年）发明了“行列式”（比欧洲的莱布尼茨早十年），完成了初期的线性代数的基本理论。但近代的线性代数学更有许多古人未曾想到的精彩理论，譬如方形矩阵的特征值 eigenvalue ，约当标准式 Jordan Canonical form 等等。
公元四世纪《孙子算经》卷下的第三十一题，可谓是后世 “鸡兔同笼”题的始祖。书中这样叙述： “今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何”？此题后来传到日本，变成了他们的鹤龟算。
（3）毕氏定理
《周髀算经》出现在公元一世纪的东汉末年，其中有“析矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也”。这显示了当时的人已知毕氏三阵列（3，4，5）满足 。可是，在更早的公元前 1850 ~ 前 580 年时期的两河流域人，已用楔形文字写下了多个适合毕氏定理的毕氏三阵列。虽然赵爽在公元三、四世纪，用“弦图”（原图已佚）证明了毕氏定理，但欧几里德则在更早的公元前三世纪发表了毕氏定理的证明。
（4）中国剩余定理
《孙子算经》卷下的第二十六题是：「今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：'二十三'“。《孙子算经》还给出了这个问题的解法。经过历代硏究，这个问题被推广成下列定理：令 {m1,…,mt} 是 t 个两两互质的大于 1 的正整数，任给 {r1,…,rt} ，必存在唯一的正整数 n＜m1×…×mt ，使得对所有的 i=1,…,t 都有 mi 整除 n-ri 。
到了唐代，数学家一行（他是一位僧人）给出了解决这个问题的通法。公元 1801 年，德国大数学家高斯 Gauss（公元 1777 ~ 1855 年）在他的《算术探究》Disquisitiones Arithmeticae 里叙述了这个定理。事后他才知晓中国早已有此定理，于是称之为“中国剩余定理”Chinese Remainder Theorem。中国也有人称它为 “孙子定理”或“韩信点兵问题”。
现代数学发现，拉格朗日插值定理 Lagrange Interpolation Theorem 可被当作中国剩余定理在一元多项式环上的应用。
（5）开方法与高次多项式的解
从两河流域的古文明开始，人类就用线性方程式来套牢未知数，然后通过解方程式来求它们的解。《九章算术》的鸡兔同笼问题带来的一次方程组及其求解过程，足以说明这个妙法。我们知道一次方程组若有非连续的解，则这个解是唯一的。
两河流域的人还硏究了二次方程式 ax^2+bx+c=0 。他们发明了配方法，并得到判别式 b^2-4ac ：如果它是负值，则原方程式无实数解; 如果它非负，则有实数解，且可用开方法解得。中国古人似乎不知道配方法，一直在求解个别的二次数值方程式。唐、宋、元有诸多数学书讨论某些二次数值方程式的解。秦九韶的《数书九章》求解了二十六个问题，其中二十个是二次数值方程式。
这些数值方程式源于工程问题，当时的中国数学家把最大的正实数解当作原问题的答案。到了清代，数学家汪莱（1768 ~ 1813 年）注意到，当存在好几个解时，任意取最大正实数解来作问题的答案，是不合理的。于是，他把只有一个正实数根的方程式称作“可知”的，这个根就是问题的解（在公元 250 年，亚历山大城的希腊数学家丢番图已把只有一实根的多项式称之为 “定多项式”，这与汪莱的想法很类似）。而其他方程式，皆称为 “不可知”的。这样看来，王孝通的《缉古算经》的方程式，有很多是 “不可知”的。
数学家们一直被实数多项式的解之存在与否而困扰。公元十六世纪（明代中期），意大利数学家卡尔达诺 Gerolamo Cardano 发明了复数（后世的笛卡儿 Descartes 则助力完成了复数的构建），使得三次方程式的所有解之存在性得以证明。以后，卡尔达诺发表了费鲁 Ferro 和达达利亚 Tartaglia 解三次及四次方程式的公式，证明了可用开方法获得三次及四次实数多项式的所有复数解。西方数学传入中国后，清代数学家李锐（公元 1773 ~ 1817 年）把复数译作 “无数”，他也了解到实系数多项式的复解是成对出现的。公元十八世纪，德国数学家高斯 Gauss 完美地证明了 n 次方程式存在 n 个（可重复）复数解。公元十九世纪，法国数学家伽罗华 Galois 证明了对一般的五次或更高次的实数多项式，不能用开方法求解。
日本的东洋数学史专家，三上义夫 Yoshio Mikami（公元 1875 ~ 1950 年）率先提出中国在唐、宋代已有高次数值方程式的数值解法，与西方的霍纳-牛顿 Horner-Newton (Horner 1786 ~ 1837, Newton 1643 ~ 1727）法类似。之后的中文数学史书，广泛地传播这个有误的观点。实际上，中国古代的高次数值方程式的数值解法，是利用多项式在许多点的值去猜测多项式的根，与实际求根的霍纳-牛顿法大不相同。因为所需的文字太长，只能另作一文“中国古代高次数值多项式的解”来阐释。
（6）天元术
第三世纪的亚历山大城的希腊数学家丢番图 Diophantus 硏究方程式的标记法，他用非数字的希腊字母表示变元，用作为数字的希腊字母表示系数，这样写出整系数的多项式（名人轶事：费马把他的最后定理记在丢番图书页的边缘）。数学史专家通常认为，最初用 x 作为未知数的数学家是笛卡儿 R. Descartes（以哲学家著名，其名言是：“我思故我在”）。笛卡儿最重要的数学贡献是发明了“笛卡儿坐标系”，创造了解析几何 Analytic Geometry ，使几何问题代数化、代数问题几何化。在公元 1637 年（明代崇祯十年）笛卡儿的著作《几何学》里，他用字母表之首的 a,b,c 表示常数，字母表之尾的 x,y,z 表示变数。近代数学用变量 x 加上低指数，例如用 x1,x2,… 来表示无穷多的变数。同理也可用 a1,a2,… 来表示无穷多的常数。
在公元十二世纪的宋、元时代，中国人发明了“天元术”。初始只是研究一元变量 y 的多项式（中文的数学书称变量为元，就是来自天元术），以后增加了元数，最多能讨论到某些四元的多项式问题。天元术在宋、元代极盛，达到中国古数学的顶峰。
（i）多元多项式的标记法
我们先讨论天元术如何表示一元多项式，然后再谈多元多项式。古人把围棋盘中央的那点称作 “太极”（简称 “太”），用坐标 (0,0) 标记它。继而画一个垂直坐标，把棋盘分成四大正方块。然后把多项式 f(y) 的常数项放在“太”点; 设 y 变量为 “天元一”，把 y 的系数放在 (0,-1) 点，把 y^n 的系数放在 (0,-n) 点。这样古人用一串系数，写出了一元多项式 f(y) 或一元多项方程式 f(y)=0 。这种用一列系数来表示多项式的方法，也是现代计算机学所用的。显然，这种标记法适合电脑，而丢番图-笛卡儿的写法比较适合人脑。
如果有第二个变量，古人称之为 “地元一”（即变数 x ），把 x 的系数放在（-1，0），把二元多项式 f(x,y) 的 x^m y^n 的系数放在 (-m,-n) 点。如果 x 的次数 m 和 y 的次数 n 都小于十，则 f(x,y) 最多只有一百项，故而围棋盘的左下角可容纳所有的系数。
另一方面，元代的朱世杰在《四元玉鉴》里把元数推广到四元（即四变数），令其为天元 y 、地元 x 、人元 z 及物元 t 。他增加的人元一（即变数 z ）的位置在 (1,0) ，物元一（即变数 t ）的位置在 (0,1) 。但他无法把 xyz 的系数放在图形的点上（因为点上放的是相邻两个变元之乘项的系数），于是他只能把它放在空白处。由于点数及空白数的限制，他只能写出项数较少的四元多项式。假设四元多项式 f(x,y,z,t) 的各元的次数都小于 10 ，则它最多会有一万项。如果用 19×19=361 点的围棋盘，那么仅有 361/10^4=3.61% 的系数可被标记出来。即使再加上 324 个空白方块，也只能容纳 6.85% 的系数。
（ii）消元法
处理多元多项方程式组的重要方法是消元法。朱世杰的《四元玉鉴》提出的消元法大致分为 “剔而消之”、“互隐通分相消”及 “内外行相乘相消”等诸法。
现代数学认为多元多项方程组的公解集合存在于高维空间，所谓消元法就是把这个公解集合投影到低维空间。假定该集合是由有限个点组成的，通过逐次向低维投影，最后成为一维空间的有限个点的集合，遂可通过解一元方程式获得。有了这个变元的值后，将其代入原方程式组，使变元数目得以减少，如此问题逐步可解。这是当今代数几何必教的题材，整个过程的标准方法是十九世纪的英国数学家西尔维斯特 Sylvester 的析配消元法 Dialytic method of elimination 。
近代的古数学史学者钱宝琮在《中国算学史》（台湾九章出版社）第十九章的 [四元消法] 小节中，称赞朱世杰的方法 “与西尔维斯特用析配消元法用意相仿。惟朱世杰之消元法无行列式之应用，不如析配法之简捷耳”。这应该是谬赞。见钱氏书中（第151-152页）列式（1）和（2）的二次式的例子。用朱世杰的方法，钱氏得出一个消元式。若更进一步，用原来（1）和（2）的系数代入钱氏所得的消元式，则得出原来系数的五次式。而用西尔维斯特的消元法，会得到一个 4 × 4 的行列式为消元式; 这个行列式的每一项是原列式（1）和（2）的系数或 0，故而是原来系数的四次式。五次式与四次式显然是不同的，朱氏消元法有 “增根”的现象，所以与西尔维斯特的消元法并不 “相仿”。
现代学者李兆华在《四元玉鉴校正》（见互联网）的 “四元消法的增根与减根问题”中，指出朱氏消元法可能出现增根与减根，并验证了增减根的情况。在《四元玉鉴校正》的例子里，凑巧的是这种增根与减根，都不是消元后所得的一元多项式的最大正实数根（朱世杰用 “开方除之即得”的是最大正实数根），但这改变了多项式组的公解集合在一维的投影，是数学不能容忍的。根据近世的代数几何学里的完备的 complete 射影几何学，最大正实数根在变化下没有稳定性，因此并无几何意义。
近世的代数几何学证明了西尔维斯特的“析配消元法”是正确的，而朱世杰的消元法并不正确。但朱氏在十三世纪就提出消元法，值得我们敬佩。
近代的古数学史学者李俨在《中国古代数学简史》第六章中感叹道：“至于李冶的《镜海测圆》和 《益古演段》等著作中的问题，大多数都是预先知道答案的一些人为 '编造' 的题目”，并未提供方法去解那些问题。中国古人是识货的，故而并不关心这些著作中的问题。中国宋、元时代的 “增乘开方术”和 “天元术”大部分失传，原因亦在此。
（7）招差术与高阶等差级数
我们用现代数值分析的观念来解释中国古代的“招差术”：设 f(n) 是次数小于 m 的多项式，给定 f(n) 在 n=1,2,…，m 这些等距点的值，求函数 f(n) 。
为了方便讨论，我们定义（i）{a,a,…} 是一个零阶等差级数; (ii) a(n)-a(n-1)=a 是一阶等差级数，若 a(n)-a(n-1)=a 是非零常数;（iii）假设已定义有 (m-1) 阶等差级数，且 {a(1)-a(0),…,a(n)-a(n-1)} 是一个 (m-1) 阶等差级数，则 {a(0),a(1),…,a(n),…} 是 m 阶等差级数。
不难证明：对任何零次一元多项式 f(n) ，则 {f(1),f(2),…} 是一个零阶等差级数。对任何一次一元多项式 f(n) ，则 {f(1),f(2),…} 是一个一阶等差级数。对任何 m 次一元多项式 f(n) ，则 {f(1),f(2),…} 是一个 m 阶等差级数。
反之，对任何零阶等差级数 {f(1),f(2),…} ，因为 f(1)=f(2)=… ，显见 f(n) 是零次多项式。对任何一阶等差级数 {f(1),f(2),…} ，令 f(n)-f(n-1)=…=f(2)-f(1)=a ，则 f(n)=f(n-1)+a=…=f(1)+(n-1)a=an+f(1)-a ，即f(n) 是 n 的一次多项式。
现在我们用元代天文学家郭守敬的《授时历》中计算太阳速度的例子，来说明二阶等差级数对应一个二次多项式。
为何要计算太阳速度？按理说日蚀应该发生在阴历初一，但或许天文资料的小误差会积累成大误差，也或许别的原因，造成历法失修，日蚀就有可能发生在阴历初二或上个月的卅日。月蚀也有类似的差误。到了北齐时，天文学家知道了日月的速度是会变的，因此把日月的速度考虑进来解决日蚀和月蚀的时间问题。故而定下朔日那天为阴历初一，这种方法被称为“定朔法”。
众所周知，春分定在日夜等长的那天。中国原有的 24 节气，是把回归年（即阳历年）的一个冬至到下一个冬至所经过的时间，等分为 24 份而得的。这种被称作“平气法”的操作简单方便，中国人起初一直沿用它。汉武帝时的天文学家落下闳依据 “平气法”制定了 “太初历”，用 “无气置闰”来规定闰月。由平气法得到的春分日，通常称为 “平春分”，比春分迟两日。
以下讨论的表，取自郭守敬的《授时历》：第一排是观测的时间，把冬至到春分的天数（88.91 日）分为六段（相应于六节气。这里因篇幅有限，只列了前四段），每一位整数代表 14.82 日; 第二排是太阳的速度，这个数据是一段时间观察所得的平均值; 第三排是从左到右，将第二排数据的后数值减前数值，谓之一差; 第四排是后一差减前一差，谓之二差。可见，二差皆相同。根据这个表，我们可以假定太阳速度对时间 n而言，是一个二阶等差级数 f(n) 。
让我们建立一个如下的二次多项式 g(n) 如下：
g(n) = 476.25-38.45(n-1)-1.38(n-1)(n-2)/2 = 513.32-37.07n-1.38n(n-1)/2 。
不难看出 f(1)=g(1)=76.25 ，类似地有 f(2)=g(2) ，f(3)=g(3) ，f(4)=g(4) 。令 h(n)=f(n)-g(n) ，可以证明 h(n)=0 ，所以 f(n)=g(n) ，即得 f(n) 是一个二次多项式。进一步说，太阳的速度从冬至到春分，是按照时间的二次多项式下降的。
一般来说，如果 {f(1),f(2),…} 是 m 阶等差级数，则 f(n) 是 m 次一元多项式。从宋代沈括的《梦溪笔谈》首次提出隙积术，到元代的朱世杰的《四元玉鉴》广泛讨论招差术，中国古代数学家发现一元多项式的基元集 basis ，{1,n,n(n-1)/2!,…,n(n-1)…(n-m+1)/m!}，可以取代 {1,n,n^2,…,n^m} ，使得写出以 n 为变元的 m 阶等差级数（即 m 次一元多项式）变得非常容易。
让我们回到节气的问题。据现代数学家黄武雄编著的《中西数学简史》，明末清初时，当传教士东来（公元 1851 年），也正是历法亟待修改的时候。明朝颁布的'大统历'其实就是郭守敬的授时历的翻版，沿用三百多年己不堪使用。明崇祯十六年，明令采用西法。清初编制历法亦由传教士掌管。德国传教士汤若望 Johann Adam Schall von Bell（公元 1591 ~ 1666 年）着力改造明代的历法成为 “时宪历”，又名《西洋新法历书》。之后受顺治帝之命，任钦天监的监正。这是中国历史上最后一次修改历法，其成果一直流传至今。
天文模型一直是古中国的天文学的弱项。西方的天文模型，始于公元二世纪亚历山大城的托勒密 Claudius Ptolemy 的地心论的九层天球模型。到了公元十六世纪，哥白尼 Nicolaus Copernicus（公元 1473 ~ 1543 年）提出日心论，把托勒密天球模型的第四层的太阳与中心的地球交换，又把第一层的月亮，从行星降格为卫星、移到地球附近，形成了哥白尼的日心模型。第谷 Tycho Brahe（公元 1546 ~ 1601年）尝试调合地心论与日心论。在第谷模型里，日、月绕地，行星及恒星则绕日。
近代人李约瑟 Joseph Needham 在《中国科学技术史-天学》（第 670 页）赞汤若望的《西洋新法历书》为 “一部包括当时所有科学知识的不朽巨著”。汤若望在顺治年间（公元 1644 年 ~ 1661年）用的是依据开普勒定律 Kepler laws 的西洋日心论。开普勒定律（公元 1609 年 ~ 1619 年）共有三条定律，第一定律讲述了地球绕太阳的轨道呈椭圆形，而太阳处于这轨道的两焦点之一; 由第二定律则导出地球最接近太阳时的速度最大（即太阳的视象速度最快）。所以，北半球的冬至，日较近且较快; 夏至时，则日较远且较慢。
中国古代的历法皆始于冬至，并规定圆周角为 365 度，即规定太阳一天移一度（相信太阳在作匀速运动）。到了西元六世纪的北齐，天文学家张子信才发现太阳速度不等，即所谓的 “日躔”。实际上，约公元前二世纪，古希腊人 Hipparchus 已发现日、月的速度不等。汤若望改造了中国古历法，使之始于春分（西方历法皆始于春分），规定那天太阳的位置是 0 度，并采用了两河流域的 360 度的圆周角。在太阳的视像轨道上，按照中国通用的名称，每 15 度赋以一节气，这个方法被称为 “定气法”。所以节气的历法实际上是阳历，因为只与太阳有关。每个节气的阳历日期近乎固定，而其阴历日期则每年不同。从 180 度（秋分）到 0 度（春分），日行较快，故而节气之间的历时较短。综上所述，中国民间用的农历（即阴历，也称 “时宪历”，又名 “西洋新法历书”）的节气部分是汤若望把依据开普勒定律的西洋历法，配以中国的节气名而成的; 其月份部分，则是采用了中国古代的 “定朔法”（以月之盈亏为准）而得的。
顺治帝辞世后，八岁的康熙帝继位。汤若望遭仇外人士陷害，去职、判凌迟。之后因为北京发生了地震等自然灾害，清政府以为是天谴，故孝庄太皇太后下令释放汤若望、未执行死刑。汤若望老年潦倒而死，一个科学家如此殒落。康熙帝亲政后，汤若望始得昭雪。
（8）求圆周率的近似值
公元一世纪的《周髀算经》用圆周率 π=3（《圣经-旧约》中关于 “铜海”的直径与圆周长的讨论，可导出 “智慧王”所罗门 King Solomon 用 π=3 )；公元二世纪的张衡用 π=√10=3.16… ；公元三世纪的刘徽用 π=157/50=3.14 ；公元五世纪的祖冲之用 π 的 “密率”为 22/7=3.1428…（即在他八百年前阿基米德的圆周率），这种 “密率”的命名在唐代李淳风对刘徽的 《周髀算经注》的讨论里有叙述，以后历代也都定义 “密率”为 22/7 。例如，唐代的《刘孝孙细草》里讨论《张丘建算经》 时，凡提到 “密率”皆为 22/7 。之后的王孝通在《缉古算经》中称 22/7 为圆率。宋、元数学家用的圆周率，或是 π=3（见著名天文学家郭守敬的《授时历》），或是 “张衡率” √10 , 或是 “徽率” 157/50 ，或是 “密率” 22/7 。到了明代，朱载堉的《乐律全书》（1595 年）用 √2/0.45=3.1427… 。之后的邢云路用 π=3.1213203 ，程大位用 “智率”=3(1/8)=3.125（“智率”恰好等于两河流域用的 25/8），方以智用 π=52/17=3.06… 。在清代的康熙朝，袁士龙、顾长发用 “智率”=3.125 。综上所述，并无古人提到 355/113 是圆周率的近似值，更无人称其为“祖冲之密率”。
清代乾隆朝设立四库全书馆，整理古籍。古人云“四库全书出，而古书亡”，皆因朝廷控制印书; 可删去朝廷不喜的文字，也可添增臣工偏爱的段落，故而原有的古书不见了。四库全书馆出了两本与圆周率有关的书：《隋书》与元末赵友钦的《革象新书》。《隋书》里提到祖冲之发现了 3.1415926 < 圆周率 < 3.1415927 ，提及 “密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五（即 355/113 )。约率：圆径七，圆周二十二（即 22/7））。《革象新书》里提到圆周率为3.141592 。
中国古代出版了不少伪书（各国都出过许多伪书和假古董）。例如《管子》号称是春秋时管仲写的，可书里却有管仲身后西施的事，显然《管子》是伪书，它被认为是汉朝刘向编辑战国材料而成的书。又例如《周髀算经》，书中写到周公、商高、陈子、荣方等人，旧题周公著。但《汉书·艺文志》并没有提过此书，各东汉以前的古书亦未提及此书。《周髀算经》只能算是公元一世纪东汉的书，也可能更迟。赵爽的《周髀算经-注》出现在公元三、四世纪。《周髀算经》第一次出现在正史中，是唐朝的《隋书-经籍志-天文类》。
当年从事《四库全书》编辑的馆臣戴震（即戴东原），主张 “西学是中学流传出去的”; 同时代的阮元主编的《畴人传》（中国古代科学家的传记）里就写有：“西法实窃取于中国”。这两人的观点是没有根据的。当时经过雍正、乾隆的闭关锁国，中国文人妄自尊大的事例很多，他们大多是 “乾嘉学派”的人。我们发现《隋书》中关于祖冲之的圆周率的上、下限及 “祖冲之密率”，不合常理地未被任何古代中国数学家引用。况且，《四库全书》开舘时，这两个资料已从欧洲流入中国，因此有馆臣们把它们窜入古书的可能。而比《四库全书》版更古的《隋书》旧版已不复存在。假定旧版《隋书》里确实有祖冲之的 3.1415926 < 圆周率 < 3.1415927 ，则元末赵友钦的《革象新书》 里的圆周率 3.141592 就不合逻辑：因为这数据还不如千年之前的结果。再者，经过明、清两代，赵友钦的这个资料并无任何人引用，也是怪哉。
总结
数学是全人类的学问。无论是谁的发明，都值得普天之下的人欢喜赞颂。地球上有黑、白、黄、棕色的人，世界上有不同的民族，这是基于地理与文化的分类，不是生物学的分类。事实上，各人种可以混血生殖，故从生物学的角度来看，所有民族都属于同一种人。中国古代有这样一个故事：春秋时，楚王到云梦大泽打猎，不慎遗失了他的宝弓，其随从要沿原路回去找，楚王说：“楚人失弓，楚人得之。又何求之”。孔子听到这个故事后说：人失弓，人得之，何必曰楚（见《孔子家语》）。我们看古代史，要有这样一个 “何必曰楚”的胸襟。中国传统精神提倡天下一家，民胞物与，即全天下人都是同胞，万物皆为朋友。我们应不着眼于古今中外的分歧，做各民族创造发明的继承者，同心协力开拓人类的新文明。如果一个民族不能承认别人的优点，那将会自取孤立而走向衰亡。
本文作者莫宗坚、黄苹任教美国 Purdue 大学
莫宗坚等 好玩的数学 2023-10-01 08:06 发表于江西
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