希尔伯特的演讲：《数学问题》
希尔伯特的演讲：《数学问题》来源：遇见数学 作者：公理
编者案
在 1900 年的巴黎国际数学家大会上，伟大的德国数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）做了一场鼓舞人心的演讲——《数学问题》（《Mathematical Problems: Lecture delivered before the International Congress of Mathematicians at Paris in 1900》）。在这次演讲中，希尔伯特向全世界的数学家提出了 23 个未解的数学问题，为数学界的未来发展提供了方向。这些问题涉及多个数学领域，包括代数、数论、几何、拓扑等。他的目标是激发数学家们探寻这些问题的解决方案，从而推动数学知识的发展和进步。
这次百年前的演讲为数学界的发展提供了强大的动力，其中的许多问题构建了 20 世纪数学界的一系列里程碑，在后来的岁月里得到了解答，从而引领了数学领域的一系列突破。这些问题解答的过程中，产生了许多新的理论和方法，为人类对数学的理解提供了更深层次的见解。其对数学领域的影响和启示至今仍在继续。演讲不仅激发了一代又一代数学家的研究热情，也让我们认识到提出问题和寻求答案的重要性，以及产生勇于挑战未知的精神。
原文: https://www2.clarku.edu/faculty/djoyce/hilbert/
我们之中谁不愿意揭开未来的面纱，一睹科学的下一步进展与未来几个世纪发展的秘密？未来的数学家们将朝着哪些特定的目标迈进？新世纪将在数学思想广阔而丰富的领域中揭示出哪些新方法和新事实？
历史告诉我们，科学的发展是连续的。我们知晓，每个时代都会有自己的问题，下一个时代要么解决这些问题，要么认为这些问题无益而弃之不顾，用新的问题替代。如果我们想了解数学知识在不久的将来可能的发展，就必须让那些尚未解决的问题在我们的脑海中掠过，审视今天的科学所提出的问题，并期望从未来得到解决。对于这样的问题回顾，在我看来，处于世纪交汇处的今时今日似乎非常适合。因为一个伟大时代的结束不仅邀请我们回顾过去，并且更要指引我们的思想走向未知的未来。
某些问题对整个数学科学发展的深远意义，以及它们在个别研究者的工作中所发挥的重要作用是不容否认的。只要一个科学分支能提供丰富的问题，它就具有生命力；缺乏问题就预示着灭亡或独立发展的终止。正如人类的每一项事业都在追求某些目标一样，数学研究也需要问题。通过解决问题，研究者可以测试自己的能力；找到新的方法和新的角度，并获得更广阔和自由的视野。
事先正确评估一个问题的价值是困难的，甚至是不可能的；因为最终的评价取决于科学从问题中获得的收益如何。然而，我们可以问一下，是否存在某种广泛的标准来评判一个数学问题的好坏。一位法国老数学家说 "一种数学理论只有在你把它叙述得非常清楚，以至于能把它在街头偶遇到的第一个人解释得通时，才能被认为是完整的。" 这里对数学理论的这种清晰性和易懂性而言，当面对一个完美的数学问题，我更应该严格要求；因为清晰和易懂的东西会吸引我们，而复杂的东西则会让人望而却步。
此外，这样的问题应该具有一定难度，以便吸引我们的兴趣，但又不应完全无法攀登，否则它会嘲笑我们的努力。它应该是指引我们穿过隐藏真理的迷雾路径上的明灯，最终是我们成功解决问题后愉悦的回忆。
过去几个世纪的数学家们习惯于以极大的热情投入到解决困难的特殊问题中。他们知道解决困难问题的价值。我以约翰·伯努利提出的"最速降线问题"为例。伯努利在公开宣布这个问题时解释说，经验告诉我们，引导崇高的思想为科学的进步而努力，不外乎是把困难且有用的问题摆在他们面前，因此他希望通过效仿梅森、帕斯卡、费马、维维亚尼等人的榜样，向他那个时代杰出的数学家们提出一个问题，以此问题作为试金石来测试他们的方法和衡量他们的实力，以此来赢得数学界的瞩目。变分法的起源是要归功于伯努利的这个问题以及类似的问题。
众所周知，费马曾断言，当 n＞2 时，方程 x^n+y^n=z^n 无整数解。试图证明该猜想就是个让人注目的例子，说明这种非常特殊，并且咋看起来不重要的问题能对科学可能产生重大的启迪作用。因为受到费马这个问题的激发，库默尔被引导引入了理想数的概念，并发现了循环域中的数字唯一分解定理——这个定理如今在戴德金和克罗内克将其推广到任何代数域的情况下，成为了现代数论的核心，其重要性远远超出了数论的范畴，涉及到代数和函数论的领域。
再说一个非常不同的研究领域，以“三体问题”为例。庞加莱引入了有益的方法和深远的原则，这些方法和原则被应用于实际的天文学，这归功于他重新对这个困难问题进行分析，并接近了一种解决方案。
最后提到的这两个问题——费马猜想和三体问题——几乎像是相反的两极——前者是纯粹理性的自由发明，属于抽象数论的范畴，后者则是天文学硬抛给数学家，希望来理解最简单的自然基本现象。
但是，同一个特殊问题也经常在完全不同的数学领域中得到应用。例如，最速降线问题在几何学的基础、曲线和曲面的理论、力学以及变分法中扮演着重要而具有历史意义的角色。在他关于二十面体的工作中，费利克斯·克莱因极具说服力地描绘了规则多面体问题在初等几何学、群论、方程论以及线性微分方程论中的重要性。
为了阐明某些问题的重要性，我还可以提到魏尔斯特拉斯，他说他自己很幸运，因为在他科研生涯的开始就遇到了一个像雅可比反演问题这样重要的问题来研究。
在回顾了数学中问题的普遍重要性之后，让我们转向下面这个问题，即这门科学的问题来源何处。当然，每一个数学分支的最初和最古老的问题都来自于经验，产生于外部的真实世界。即使是整数的计算规则也一定是在人类文明的低级阶段以这种方式所发现，就像今天的孩子通过经验方法学习这些规律如何应用。几何学中的第一批问题也是如此，这些问题是前人留给我们的，例如倍立方问题、化圆为方问题；数值方程解的理论、曲线理论、微积分、变分法、傅里叶级数理论和势论的最早问题，更不用说力学、天文学和物理学中所属的丰富问题。
然而，在一个数学分支的进一步发展过程中，人类的头脑在解决问题的成功自信中意识到了自己的独立性。通常在并无外界影响下，经过逻辑组合、概括总结、专业化、合理地划分和整理思想等方式自我发展。在这个过程中，人类思维不断提出新的富有成果的问题，自己成为真正的问题发起者。因此，这样就出现了质数问题和数论的其他问题，伽罗瓦的方程理论、不变量理论、阿贝尔函数和自守函数理论等都是这样产生的。事实上，几乎所有现代算术和函数理论中的精妙问题都是以这种方式产生的。
同时，在纯理性的创造力发挥作用的过程中，外部世界又开始发挥作用，从实际经验中迫使我们提出新的问题，开辟出新的数学分支。当我们试图为纯思想领域征服这些新的知识领域时，我们往往会找到旧问题的答案，从而同时成功地推进了旧理论的发展。在我看来，数学家在其科学的各个分支的问题、方法和思想中经常看到的无数令人惊讶的类比和显然预先安排好的和谐，都源于思维与经验之间这种永恒的相互作用。
思考
接下来，我们还需要简单讨论一下，对于解决数学问题有哪些一般要求。首先，我认为应该有这样一个要求：通过有限步骤，基于问题陈述中包含的有限假设（这些假设必须精确表述），能够证明解的正确性。这种通过有限过程进行逻辑演绎的要求，简单地说就是推理严谨性的要求。事实上，这种严谨性的要求在数学中已经成为一种座右铭，符合我们理解普遍的哲学必要性。而且，只有通过满足这种要求，问题的思想内容和启示才能发挥出其充分的作用。一个新问题，尤其是来自外部世界的经验领域的问题，就像一根嫩枝，只有当它按照严格的园艺规则仔细接到我们数学科学的已有成果上时，它才能茁壮成长并结出果实。
此外，认为证明中的严谨性与简洁性彼此对立，这是一种错误。恰恰相反，我们发现有许多例子证实，严谨的方法同时也是更简单、更容易理解的方法。正是追求严谨性的努力，才促使我们寻找更简单的证明方法。这种努力也往往引导我们走向比旧方法更具发展潜力的方法。例如，通过更严谨的函数理论方法和对超越手段的系统引入，代数曲线理论得以显著简化，并实现了更高程度的统一。此外，证明幂级数可以进行四则运算以及逐项求导和积分，并依据此证明认识到幂级数的实用性，这极大地促进了整个分析学的简化，尤其是消元理论和微分方程理论，以及这些理论所要求的存在性证明。但我要说明的最显著的例子是变分法。第一和第二变分的定积分的处理部分需要非常复杂的计算，而以往数学家所采用的方法并不具备所需的严谨性。魏尔斯特拉斯为我们指明了建立变分法新的、稳固基础的方法。在我的演讲结束时，我将简要地通过简单积分和二重积分的例子来说明这种方法如何立即带来变分法的惊人简化。实际上，在证明极大值和极小值出现的必要与充分条件时，我们可以完全免去计算第二变分，甚至与第一变分相关的繁琐推理——更不用说在摒弃对函数微分系数变化幅度较小的变分的限制时所涉及的进步了。
虽然坚持在证明中要求严谨是完美解决问题的必要条件，但我想反对这样一种观点，即只有分析概念，甚至只有算术概念的条件下，才能得到充分严谨的处理。我认为，这种偶尔会被业内著名专家所提倡的偏颇观点是完全错误的。这种对严谨要求的片面解释很快会导致忽视几何、力学和物理等领域产生的所有概念，阻断来自外部世界的新思想的流入，最后的结果，实际上会拒绝连续统和无理数概念。这样割断与几何和数学物理相关的重要神经，对数学科学来说意味着什么呢！相反，我认为，无论从认识论的角度、几何学的角度，还是从自然或物理科学的理论中出现数学概念，数学科学都面临着一个问题：研究这些概念所蕴含的原理，并将这些原理建立在一个简单、完备的公理体系上，使新概念的精确性和可推导性与旧算术概念的精确性和可推导性并无差异。
新的概念必然对应着新的符号。我们选择这些符号的方式，是为了让我们想起那些促成形成新概念的现象。因此，几何图形是空间直觉的符号或助记符，所有数学家都将它们视为这样的符号。谁不会在用两个不等式 a＞b＞c 时，总是将三个点按顺序排列在一条直线上的图像作为表示“在……之间”的几何意象？在需要非常严格地证明一个关于函数连续性或聚点的存在性的复杂定理时，谁不画线段和矩形？谁能舍弃画三角形、带有圆心的圆或彼此交叉的三个垂直轴？或者谁会放弃矢量场的表示，或者曲线族或曲面及其包络的图片，这些在微分几何、微分方程理论、变化微积分的基础和其他纯数学科学中起着如此重要的作用。
算术符号是书面说明，几何图形是图形公式；任何数学家都不能摒弃这些图形公式，正如在计算过程中无法省略插入和移除括号或使用其他分析符号一样。
使用几何符号作为严格的证明手段，前提是准确了解和完全掌握作为这些图形基础的公理；为了使这些几何图形能够被纳入数学符号的基本工具库中，有必要对它们的概念内容进行严格的公理化研究。正如在两个数相加，必须按照正确的数位处理，只有这样的计算规则，即算术公理，才能决定数字的正确使用，所以几何符号的使用也由几何概念及其组合的公理来决定。
几何思想和算术思想之间的一致性还表现在，我们在算术中并不习惯于沿着推理链回到公理，和几何讨论一样，通常不会将推理链追溯到公理。相反，我们在首次解决问题时，特别是在一种快速、无意识、不能 100% 确定的状态下，依赖对算术符号行为的某种算术感觉，我们在算术中同样不能摆脱这种感觉，正如在几何中不能摆脱几何想象。作为严格运用几何思想和符号的算术理论的一个例子，我以闵可夫斯基的著作《Die Geometrie der Zahlen》为例。
今天借此机会还想讨论下，数学问题可能带来的困难以及克服它们的方法。
如果我们没成功地解决一个数学问题，原因通常在于未能站在到更一般的角度，从这个角度来看，我们面临的问题只是一系列相关问题中的一个环节。在找到这个角度之后，这个问题往往更容易接近我们的研究，同时我们拥有了一种也适用于相关问题的方法。例如，柯西引入复合积分路径和库默尔引入数论中理想数的概念。寻找通用方法的这种方式无疑是最实用、最确定的；因为那些没有明确问题就寻求方法的人往往徒劳无功。
迷宫
我认为，在处理数学问题时，自上而下的特化（specialization）比自下而上的泛化（generalization）更重要。也许在大多数情况下，当我们徒劳地寻求一个问题的答案时，失败的原因在于比眼前这个问题更简单、更容易的问题要么根本没有解决，要么尚未完全解决。因此，一切都取决于找到这些更简单的问题并通过尽可能完美的方法和具有概括能力的概念来解决它们。这个规则是克服数学困难的最重要的工具之一，我认为它几乎总是被使用的，尽管可能是无意识的。
偶尔会发生这样的情况：我们在不充分的假设下或错误的意义下寻求解决方案，所以没有成功。这时问题就来了：在给定的假设或在所考虑的意义下，证明解的不可能性。古人曾做过这种不可能的证明，例如，他们证明了等腰直角三角形的斜边与对边的比率是无理数。在后来的数学中，关于某些解的不可能性问题起着突出的作用，我们通过这种方式看到，那些古老而困难的问题，如平行公理的证明、化圆为方、或五次方程根式解的求解，最终都找到了完全令人满意和严格的解决方案，尽管这些解决方案与最初预期的意义不同。这一重要事实以及其他哲学原因可能使每个数学家都有这样的信念（尽管还没有人以证明来支持这一信念），即每个确定的数学问题必然能够获得确切的解决，无论是以实际直接回答了问题的形式，还是以证明其解的不可能性——会导致所有尝试的必然失败。考虑任何一个确定的未解决问题，例如欧拉-马斯刻若尼常数 C 的无理性问题，或者形式为 2^n+1 的质数存在无穷多个这样的问题。然而，无论这些问题在我们看来多么遥不可及，无论我们在这些问题面前多么束手无策，但我们仍然坚信，它们的解决方案必能通过有限步骤的纯粹逻辑过程得出。
这种对每个问题可解性的公理是否仅是数学思维的特殊特征，还是可能属于思维本质中固有的一般规律，即所提出的所有问题都必须有答案？因为在其他科学中，我们也会遇到一些旧问题，通过证明它们的不可能性，已经以一种最令人满意和对科学最有益的方式得到解决。以永动机问题为例。在徒劳地寻求永动机的构造之后，人们开始研究如果制造这样的机器是不可能的，那么自然力之间必须存在的关系；而这个问题反过来又导致了能量守恒定律的发现，这个定律又解释了为什么永动机在最初设想的意义上是不可能的。
数学探索
这种对每个数学问题可解性的信念对数学家来说是一个强大的激励。我们内心总是听到这样的呼声：这就是问题。寻找它的解决方案。你可以通过纯粹的理性找到它，因为在数学中没有我们无法知道的东西。
数学中的问题是取之不尽用之不竭的，一个问题刚刚解决，又会有无数其他问题随之而来。请允许我在下面尝试提到一些特定的明确问题，这些问题来自数学的各个分支，通过对这些问题的讨论，我们能够期待科学的进步。
让我们来看看分析和几何的原理。在我看来，上个世纪在这一领域最具启发性和显著的成就是柯西、波尔查诺和康托关于连续统概念的算术表述，以及高斯、鲍耶、罗巴切夫斯基发现的非欧几里得几何学。因此，我首先把你们的注意力引向这些领域的一些问题。
希尔伯特在会议中具体讲述的 23 个问题这部分没有翻译，其中的 1-6 是数学基础问题，7-12 是数论问题，13-18 属于代数和几何问题，19-23 属于数学分析。各问题的解答状况可参见维基百科截图。
希尔伯特的 23 个问题，图：维基
上面所提到的问题仅仅是典型的样本，然而它们足以展示当今数学科学的丰富、多样和广泛性。我们不禁要问，数学是否注定要像那些分裂成各个分支彼此几乎无法理解的其他科学一样，之间的联系变得越来越松散。我不这样认为，也不希望这样。在我看来，数学科学是一个不可分割的整体，一个生命力取决于其各部分联系的有机体。因为在所有数学知识的多样性中，我们仍然清楚地意识到逻辑系统的相似性、数学整体中的观念关系以及不同部分之间的众多类比。我们还注意到，一个数学理论发展得越远，它的构建就越和谐、越统一，而且在迄今为止相互独立的科学分支之间揭示出意想不到的关系。因此，随着数学的扩展，其有机特性并没有丧失，反而表现得更加明显。
数学的和谐统一性
然而，我们要问，在数学知识的扩展过程中，独立的数学研究者是否最终将无法涵盖所有这方面的知识？作为回答，我想指出的是，数学科学的本质就是每一个真正的进步都伴随着更锐利的工具和更简单的方法的发明，这些工具和方法在协助理解早期理论的同时，也使得更为复杂的旧方法被抛弃。因此，对于个人研究者来说，当他掌握了这些更锐利的工具和更简单的方法时，在数学各个分支中找到自己的道路要比在任何其他科学领域更容易。
数学的有机统一性源于这门科学的本质，因为数学是所有自然现象精确知识的基础。为了让它能够完全履行这一崇高使命，愿新的世纪为它带来天赋横溢的大师和更多热忱、激情的门徒！
本文来源：遇见数学
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江泽涵、朱鼎勋 译
科学元典 2023-08-31 20:01 发表于安徽
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