指数与对数：自然界最频繁的模式
指数与对数：自然界最频繁的模式作者 | 林开亮（西北农林科技大学理学院）
来源 |《科学世界》2023.3 第 375 期
斯图尔特
英国当代著名数学家、数学科普作家斯图尔特曾说：“数学是关于模式的科学，而且自然界利用了其中每一种模式。”在种种模式中，指数与对数也许是最频繁、最重要的。
其实在很早的时候我们就接触到指数模式了。十进制记数法中的“个、十、百、千、万”等单位，本质上就是以 10 为底的指数，而庄子所谓“一尺之棰，日取其半，万世不竭”则涉及以 1/2 为底的指数。指数模式，不是别的，正是等比数列。
现在我们不难理解为何指数模式频繁出现了。如伽利略所述，大自然这本书是用数学的语言写成的。数字与图形，是两种最基本的数学语言，分别对应于代数与几何。从代数上看，数字的基本运算有四个：加减乘除。其中，加法与乘法是更基本的，分别引出减法与除法。从加法的角度看，最简单的数列是等差数列，如 1,2,3,4,…，其公差为 1 ；从乘法的角度看，最简单的数列是等比数列，如 1,2,4,8,…， 其公比为 2 。如果考虑以 1 为首项，10 为公比的等比数列，就得到 1,10,100,1000,10000,…，这就是十进制下的单位“个、十、百、千、万”等。
等差数列所体现的增长或衰减（取决于公差大于 0 还是小于 0 ），一般称为算术增长或衰减，因为等差数列也称为算术数列；而所有项为正数的等比数列所体现的增长或衰减（取决于公比大于 1 还是小于 1 ），一般称为几何增长或衰减，因为等比数列也称为几何数列。从图像上看，等差数列在一条直线上，而等比数列则在一条曲线上，它上升或下降的速率正比于所在点的纵坐标。一个基本的事实是，算术增长敌不过几何增长，这也正是为什么当初科学家提出要控制人口数量的缘故：在不干预的自然情况下，人口的增长是几何增长，而粮食的增长是算术增长，长此以往，粮食不够吃，危机就来了。
我在给大一新生上微积分课时，必然会讲到指数函数这个最重要的函数。我常常举一个例子来赋予指数函数具体的形象。比如有两个同学甲和乙，刚入学时数学上的能力是差不多的，比如说都是 1 。他们都上微积分课，不过有点差别，甲是躺平型，始终保持着第一天的能力值 1 ，而乙是上进型，每天比前一天进步 1 个百分点。那么，学习 100 天之后，乙的能力值就变成了 1.01 的 100 次方，这是多大呢？大约 2.7 。这个差别其实挺大的，如果我把能力值换成体重，你就能明白了：设想你入学第 1 天 100 斤，100 天以后就变成 270 斤的胖子！不敢想吧？
指数模式与通过复利“钱生钱”关联密切。但实际上，它是一种极普遍的模式。指数模式在几何中也有体现，例如对数螺线—注意，对数本质上是倒过来看指数。17 世纪的瑞士数学家雅各布·伯努利对这条曲线情有独钟，称它是“神奇的螺线”，并要求后人将它刻在自己的墓碑上，并题词“虽然时代一直变，我一如既往向前。”
毫无疑问，指数与对数之模式的重要性与普遍性还会继续发扬光大，正如伯努利所写的题词，会“一如既往向前”。
作者简介：
林开亮，本科毕业于天津大学，博士毕业于首都师范大学，现任教于西北农林科技大学理学院。教学之外，热衷于数学的普及传播，在《数学传播》《数学文化》《数学通报》发表多篇文章。翻译《当代大数学家画传》《数学与人类思维》《微积分溯源》《数学家讲解小学数学》，主编《杨振宁的科学世界》。活跃于“好玩的数学”“和乐数学”等微信公众号。
原创 林开亮 好玩的数学 2023-09-02 07:02 发表于江西
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