小乐数学科普：又有一个数学猜想被年轻数学家无情推翻——拓扑学的望远镜猜想被证否
小乐数学科普：又有一个数学猜想被年轻数学家无情推翻——拓扑学的望远镜猜想被证否近期继数论方面的一个“局部-整体猜想”被推翻之后（请参阅小乐数学科普：猝不及防，一个被广泛相信的数论猜想被两名学生推翻——量子杂志），拓扑学中的“望远镜猜想”，又被年轻数学家推翻。
原文标题：一个古老的猜想落下，使球体变得更加复杂
作者：Kevin Hartnett 量子杂志特约作家 2023-8-22
译者：zzllrr 小乐（数学科普公众号）2023-8-23
望远镜猜想让数学家掌握了将一个球体映射到另一个球体的方法。现在它已经被反驳了，形状的宇宙因此爆炸。
六月初，随着数学家降落在伦敦希思罗机场，嗡嗡声越来越大。他们的目的地是牛津大学以及纪念迈克尔·霍普金斯（Michael Hopkins）65 岁生日的会议 https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/Hopkins65_TitleAbstract_0.pdf ，他是哈佛大学的数学家，曾担任诸多与会者的导师。
霍普金斯在 1980 年代后期因研究罗切斯特大学的道格·拉夫纳尔（Doug Ravenel）于当时十年前提出的七个猜想而声名鹊起。它们与确定两个可能看起来不同的形状或空间何时真正相同的技术有关。霍普金斯和他的合作者证明了拉夫纳尔的所有猜想，除了一个具有暗示性但神秘的名字，称为望远镜猜想（telescope conjecture）。
当时，霍普金斯把他的工作放在了拉夫纳尔猜想上。在之后的几十年里，望远镜猜想似乎几乎无法解决。
“你不能碰这样的定理，”霍普金斯说。
但随着数学家们抵达伦敦，有传言说这是由与麻省理工学院有联系的四名数学家完成的，其中三人在研究生时得到了霍普金斯的指导。四人中最小的一个，一位名叫伊山·列维（Ishan Levy）的研究生，计划在周二，即会议的第二天发表演讲，这似乎是可能宣布证明的时候。
在他 65 岁生日时，迈克·霍普金斯的学生给了他望远镜猜想是错误的证明。
“我听说有传言说这种情况即将到来，我不知道会发生什么，”参加会议的伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校数学家维斯娜·斯托亚诺斯卡（Vesna Stojanoska）说。
很快就清楚了传言是真的。从周二开始，在接下来的三天里，列维和他的合著者罗伯特·伯克伦德（Robert Burklund）、杰里米·哈恩（Jeremy Hahn）和托默·施兰克（Tomer Schlank）向大约 200 名数学家解释了他们如何证明望远镜猜想是错误的，使其成为拉夫纳尔最初那几个猜想中唯一一个不成立的猜想。
望远镜猜想被证否具有广泛的影响，但最简单和最深刻的是：这意味着在非常高的维度（想想一个 100 维的球体）中，不同形状的宇宙比数学家预期的要复杂得多。
映射之映射
为了对形状或拓扑空间进行分类，数学家区分了重要的差异和不重要的差异。同伦（Homotopy）理论是做出这些区分的一个角度。它认为一个球和一个蛋基本上是相同的拓扑空间，因为你可以弯曲和拉伸一个到另一个而不撕裂。同样，同伦理论认为一个球和一只轮胎内胎是根本不同的，因为你必须在球上撕开一个洞才能使其变形为内胎。
同伦对于拓扑空间的分类很有用——给各种可能的形状制表。这对于理解数学家关心的其他东西也很重要：空间之间的映射。如果你有两个拓扑空间，探测它们性质的一种方法是寻找将一个拓扑空间上的点转换或映射到另一个拓扑空间上的点的函数——在空间 A 上输入一个点，在空间 B 上获取一个作为输出的点，然后对 A 上的所有点执行此操作。
要了解这些映射的工作原理，以及为什么它们会照亮所涉及的空间的性质，请从圆开始。现在将其映射到二维球体上，即球的表面。有无数种方法可以做到这一点。例如，如果你把球面想象成地球的表面，你可以把你的圆放在任何纬线上。从同伦理论的角度来看，它们都是等价的，或者说是同伦的（homotopic），因为它们都可以缩小到北极或南极的一点。
接下来，将圆映射到内胎的二维表面（单孔环面 one-holed torus）上。同样，有无数种方法可以做到这一点，而且大多数都同伦。但不是全部。你可以在环面周围水平或垂直放置一个圆，并且两者都不能光滑地变形为另一个。这是将圆映射到环面上的（许多方法中的）两种方法，然而只有一种方法将圆映射到球面上，这反映了两个空间之间的根本区别：环面有一个孔，而球面没有孔。
我们很容易计算从圆到二维球面或环面的可能映射方式。因为它们都是熟悉的空间，易于可视化。但是，当涉及高维空间时，计算映射要困难得多。
维数差
如果两个球面具有相同的维度，则它们之间总是有无限多个映射。如果你要映射的空间比你映射到的空间维度低（例如我们映射一维圆到二维球面上），则始终只有一个映射。
部分由于这个原因，当你映射的空间具有比你映射到的空间更高的维度时，对映射计数最有趣，例如当你将七维球体映射到三维球体上时。在这种情况下，映射的数量总是有限的。
“当源（source）具有较大的维度时，球体之间的映射通常更有趣，”Hahn说。
此外，映射的数量仅取决于维度数量的差异（一旦维度与差异相比变得足够大）。也就是说，从 73 维球体到 53 维球体的映射数量与从 225 维球体到 205 维球体的映射数量相同，因为在这两种情况下，维数差为 20 。
数学家想知道任何维度差异的空间之间的映射数量。他们已经设法计算出几乎所有维度差的映射数量，最大可达 100 ：当差异为 20 时，球体之间有 24 种映射，当差异为 23 时，球体之间有 3144960 种映射。
数学家 Ishan Levy ，Robert Burklund ，Jeremy Hahn 和 Tomer Schlank（从左到右）发现高维球体的世界很快就会变得非常复杂。
但是，计算任何维数差大于 100 的映射数量会耗尽现代计算能力。与此同时，数学家还没有检测到足够多的映射数量模式来作进一步推断。他们的目标是填写一个表格，标上任何维度差的映射数量，但这个目标感觉很遥远。
“这不是一个我希望能在我孙辈的一生中得到完整解决的问题，” 76 岁的拉夫纳尔说。
望远镜猜想预测了映射数量如何随着维度差的增加而增长。实际上，它预测该数字增长缓慢。如果这是真的，那么填写该表的问题就会变得容易一些。
从初步怀疑变为不信
望远镜猜想以一种不可能的方式得名。
它始于这样一个事实，即在非常高的维度上，在低维度中形成的几何直觉经常崩溃，并且很难计算球体之间的映射。但在制定他的猜想时，拉夫纳尔清楚你不必这样做。你可以更轻松地使用代理计算来取代直接计算球体之间的映射，即对球体和称为望远镜的对象之间的映射进行计数。
望远镜涉及一系列闭合的高维曲线副本，每个副本都是之前曲线的缩小版本。这一系列曲线类似于一个可折叠望远镜里面相互扣住的管子。“当你描述它为望远镜时，这听起来很奇怪，它实际上是一个比球体本身更容易处理的物体，”拉夫纳尔说。
但是，球体仍然可以通过许多不同的方式映射到望远镜上，挑战在于获知这些映射何时真正不同。
要确定两个空间是否同伦，需要进行称为不变量的数学测试，这是基于空间性质的计算。如果每个空间计算出不同的值，则从同伦的角度来看，你就知道它们都是不同的。
不变量有很多种，有些可以感知到其他不变量视而不见的差异。望远镜猜想预测，一种称为“Morava E-theory”摩拉瓦 E-理论（及其对称性）的不变量可以完美区分球体和望远镜之间的所有映射，直到同伦。也就是说，如果摩拉瓦 E-理论说这些映射是不同的，它们就是不同的，否则它们就是相同的。
但到了 1989 年，拉夫纳尔对猜想的正确性开始怀疑。他的怀疑来自他所进行的计算，这些计算似乎与猜想不一致。但直到那年十月他在伯克利时，湾区发生大地震，这些疑虑才变成了全面的怀疑。
“我在地震发生后一两天内得出了这个结论，所以我想说发生了一些让我认为它不正确的事情，”道格·拉芙内尔说。
反驳望远镜猜想需要找到一个更强大的不变量，它可以看到摩拉瓦 E-理论无法看到的东西。几十年来，似乎没有这样的不变量，从而这个猜想牢牢地遥不可及。但近年来的进展改变了这种状况—— Burklund 、Hahn 、Levy 和 Schlank 利用了这一点。
爆炸的异类
他们的证明依赖于一组称为代数 K-理论的工具，该工具由亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）于 1950 年代建立，并在过去十年中迅速发展。它在数学中都有应用，包括在几何学中，它有能力对不变量进行增压。
这四位作者使用代数 K-理论作为小工具：他们输入摩拉瓦 E-理论，输出是一个新的不变量，他们称之为摩拉瓦 E-理论不动点的代数 K-理论。然后，他们将这种新的不变量应用于从球体到望远镜的映射，并证明它可以看到摩拉瓦 E-理论无法看到的映射。
这个新的不变量不只是看到了更多的映射。它看到的非常多，甚至无限多。如此之多，以至于可以这样恰如其分地讲，在识别从球体到望远镜的映射时摩拉瓦 E-理论几乎还未触及问题的皮毛。
从球体到望远镜的无限多的映射意味着球体本身之间的无限多映射。对于任何维度差，这种映射的数量都是有限的，但新的证明表明，这个数字会迅速而无情地增长。
有这么多的映射指向一个令人不安的几何现实：有这么多的球体。
1956 年，约翰·米尔诺（John Milnor）发现了所谓的“异类”球体的第一个例子。这些空间可以从同伦的角度变形为实际的球体，但在某种精确意义上与球体不同。异类球体在一维、二维或三维中根本不存在，也没有人在低于七维发现它们的例子——而米尔诺在七维第一次发现它们。但随着维度的增长，异类球体的数量会爆炸。15 维中的数量是 16256 ，19 维中的数量是 523264（请注意 16256 = (2^7-1)2^7 = 2^14-2^7 ，523264 = (2^9-1)2^10 = 2^19-2^10 ，这两公式为译者补充，原文无，zzllrr 小乐译注）。
然而，尽管这些数字如此巨大，但望远镜猜想的否证意味着还有更多映射。否证意味着球体之间的映射比拉夫纳尔提出猜想时预期的要多，而获得更多映射的唯一方法是在更多种类的球体之间进行映射。
数学和科学有不同类型的进步。一种进步是给混乱带来秩序。但另一种进步是通过消除不正确的充满希望的假设来加剧混乱。望远镜猜想的否证就是这样。它加深了几何学的复杂性，并在有人彻底理解球体之间的映射之前，增加了需要好几代子子孙孙经历的逆境。
“这个主题的每一个重大进展似乎都告诉我们，答案比我们以前想象的要复杂得多，”拉夫纳尔说。
参考资料
https://www.quantamagazine.org/an-old-conjecture-falls-making-spheres-a-lot-more-complicated-20230822/
https://en.wikipedia.org/wiki/Ravenel%27s_conjectures
https://www.maths.ox.ac.uk/system/files/attachments/Hopkins65_TitleAbstract_0.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Morava_E-theory
原创 Quanta Magazine zzllrr 小乐 2023-08-23 17:18 发表于江苏
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