Peter Sarnak 给数学新手的忠告：要敢于让自己去解决困难问题
Peter Sarnak 给数学新手的忠告：要敢于让自己去解决困难问题本文出自菲尔兹奖得主、剑桥大学数学教授蒂莫西 • 高尔斯（Timothy Gowers）主编的《普林斯顿数学指南》中的Advice to a young mathematician 一文。《指南》是一部独具特色的高水平著作，介绍了很多 20 世纪的数学，且都出自数学大家之笔。该文是阿蒂亚、孔涅等当代五位顶级数学家根据自己的数学研究经验，对后辈新人给出的忠告——一些宝贵的经验性建议。令人惊喜的是，它们很少有重复。虽然这些话是针对数学新手而说的，但相信它们值得任何年纪的数学家阅读。
日前，我们已刊发过英国数学家阿蒂亚爵士、匈牙利裔英国数学家 Béla Bollobas 、英国女数学家杜萨·麦克杜夫和法国数学家阿兰·孔涅的建议，今日奉上英国数学家 Peter Sarnak 的部分。
数学名著译丛《普林斯顿数学指南》（三卷）
撰文 | Peter Sarnak
翻译 | 陈跃（上海师范大学数学系副教授）
来源 | 《数学文化》
彼得·萨纳克（Peter Sarnak, 1953-）, 美国数学家，英国皇家学会院士，美国科学院院士，专长数论，是最顶级数学期刊 Annals of Mathematics 的前任主编。
多年来我已经指导了不少博士研究生，这也许使我有资格以一个有经验导师的身份来写一些忠告。每当我遇到一个出色的学生（我非常幸运我能够有这样的一些学生），我所能给出的指导仅仅是告诉他，比如可以在某个区域内挖出黄金，或者给出一些含糊不清的建议。一旦他们行动起来，发挥其智慧与才能，结果他们没有发现黄金，但却找到了钻石（当然事后我忍不住会说“我告诉过你会这样”）。在这种情况下，和大多数的情形一样，一个讨论班导师的作用就更像一个教练：只是不断加以鼓励，并确信所指导的学生正在做的是一些有意思的问题，且清楚其可以采用的工具是什么。这么多年下来，我发现自己经常重复说的某些评论与建议对于学生来说还是很有用的。以下所列是其中的一部分。
（1）当我们学习一个新的领域知识时，我们应该将阅读现代论述与钻研原始论文结合起来，尤其是该领域开创大师的论文。很多学科的现代叙述所产生的主要麻烦是它们太完美了。随着每一个（数学专著与教科书的）新作者都不断地发现和加入更巧妙的证明处理方法，最后形成的理论体系总是倾向于采用“最简短的证明”。很不幸的是，这种形式化的表述经常引起新一代学生们的极大困惑：“人们是怎样想出来的？”通过回到原始的出发点，学生通常就能够看到概念与理论的演变十分自然，并且理解它们是怎样一步步变成现代形式的理论的。（当然面对着那些天才的数学家们所具有的令人意想不到的杰出思想，我们只能感到惊叹不已，但是这种情况要比你想象的少得多。）
我想举一个例子，紧李群表示论有许多现代的表述，我在讲解其中的一种时，通常会推荐学生去阅读外尔 (Weyl) 的原始论文，看他是如何推导出他的特征标公式的。类似地，我会向已经了解复分析并且想要进一步学习黎曼面现代理论的学生，推荐他写的书《黎曼面的概念》，而黎曼面对于现代数学的许多领域来说具有最基本的重要性。研究和阅读像外尔这样的大数学家的论文选集同样也是十分富有教益的。在学习他们的定理的同时，我们可以发现他们的心智是如何运作的。从一篇论文到下一篇之间，基本上总是有一条线在自然地引导，而且容易看出某些后来的研究发展也是不可避免的。这一切都非常具有启发性。
（2）另一方面，你应当对一些教条和“标准猜想”敢于质疑，即使它们来自于某些大人物。许多标准猜想都是基于一些人们所能够理解的特殊情形作出的。除此之外，剩下的基本上只有人们多少有些一相情愿的想法：人们很期望一般的图景不会和特殊情形所建议的图景相差太远。我知道几个这样的研究事例，在其中一开始的时候，人们都是先着手证明一个被认为普遍成立的结论，但是没有取得任何进展，直到最后人们才认真地反思它是否真的成立。在说了以上这些后，我也感到，如果不是出于特别好的理由，随便地去怀疑某个特定的猜想（例如黎曼猜想）及其可证性，的确有些不妥。虽然作为科学家的我们，肯定是应该采取一种批判性的态度（特别是针对一些我们数学家所发明的人造对象），但在心理上同样重要的是，我们要相信我们的“数学世界”的存在性，对什么能成立、以及什么能被证明抱有信心。
（3）不要将“初等”混同于“容易”：一个证明可以确定是初等的，但却不是容易的。实际上，存在着许多这样的定理：只要用一点点（现代数学的）高端方法就可以使定理的证明变得非常容易理解，并显示蕴涵于其中的思想，相反如果避免使用高端的概念与方法，而只是用初等的方法来证明，则会掩盖定理背后的思想内涵。
另一方面，也要注意不要将高端等同于高质量，或者等同于“高级证明”（这是一个我很喜欢用的字眼，它会引起许多我以前学生们的哄笑）。在年轻的数学家们中间确实有一种（盲目）使用新奇的高端数学语言的倾向，以显示他们正在做的工作比较深刻。然而，只有真正理解了现代工具，并且与新的思想相结合，现代的工具才能发挥作用。那些在某些领域（例如数论）工作的人，如果不花时间和实质性的努力去学习掌握这些工具，就会使他们处于非常不利的境地。拒绝学习和掌握这些新工具，就好象只用凿子来拆一座建筑物。即使你使用凿子非常熟练，别人用推土机也比你有巨大的优越性，并且用不着掌握像你那样（使用凿子）的技巧。
（4）在数学中做研究会让人感到受挫，如果你还不习惯于遭受挫折，那么数学就不是你的理想选择。在绝大多数的时间里，你是没有任何进展的，如果不是这样，则要么你是一个天才，要么就是你所遇到的问题属于在开始研究之前你已经知道怎样解决的那种。尽管一些后续的研究工作也会有相当的（发展）空间，并且达到较高的水准，但是一般来说绝大多数的重大突破都是用艰苦的工作换来的，伴随着许多错误的步骤，长时间里只有微小的进展，甚至还有倒退。有一些方法可以减轻这种痛苦。如今的许多人采用合作研究的方式，这种方法除了有让不同专长的人一起攻关的明显优点外，还能让人们来共同承受失败。这对绝大多数的人们来说肯定是很有好处的（在数学中分享重大突破所带来的喜悦和荣誉一般来说不会导致严重的名次争议，就像其他一些科学领域常见的那样）。
我经常劝我的学生在任何可用的时间里，手上要同时有一连串待研究的问题。其中，就是挑战最小的问题也应该有足够的难度，难到解决它以后会给你带来相当的满足感（不然又有什么意思呢？），并且幸运的话可能带动其他问题的解决。这样，你应该考虑一连串更具有挑战性的问题，其中最难的问题就是（该领域）最关注的未解决问题。你应该不时地考虑去攻克它们，从各种不同的视角来审视它们。很重要的是你要敢于让自己去解决非常困难的问题，不然就没有成功的可能性，也许幸运的话，你会从中获取许多。
（5）每周听系里的各种学术报告，并且希望报告的组织者能够挑选好的报告人。在数学中有比较广博的知识是很重要的。在学习了解其他分支领域里的人们解决有趣问题的进展时，或当你听到演讲者在谈论相当不同的研究时，你的心灵会经常受到某些思想的触动。同样，你也可能学到一种方法或理论，或许可以用到你正在做的其中一个问题上。在最近的一段时期里，有好几个长期未能解决的重大问题获得了最令人惊讶的突破，解决它们的方法都是来自于一些不同的数学分支领域思想的意想不到的组合。
本文摘自原载于《数学文化》第 4 卷第 2 期的《给年轻数学家的忠告》。
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