数学巨匠——伽罗瓦
数学巨匠——伽罗瓦作者 | 约安·詹姆斯
来源 | 本文节选自《数学巨匠》，上海科技教育出版，潘澍原，林开亮等译
我们现在回到仍然深陷于分裂中的国度———法国。伽罗瓦（Evariste Galois）短暂一生的传奇与悲剧看起来大部分是咎由自取。他的死亡情形看起来是对理性解释的公然对抗。在他死亡前夜写的其中一封信是这么结尾的：“保存下我的记忆，因为命运没有给我足够长的生命来让这个国家知道我的名字。”伽罗瓦理论构成了现代代数学最重要、最优美的部分之一，虽然要花费一番时间才能完全理解它。
埃瓦里斯特·伽罗瓦 1811 年 10 月 25 日出生在皇后镇，位于巴黎的郊区。他是一所寄宿学校的校长、后来成了皇后镇镇长的尼古拉-加布里埃尔·伽罗瓦（Nicholas-Gabriel Galois）和来自一个律师家庭的阿德莱德-玛丽 的第二个儿子。父母均受过良好教育，父亲富于想象力且慷慨大方，母亲则倔强怪异。埃瓦里斯特有一个快乐的童年，但并非传统意义上的。和高斯一样，他似乎拥有非凡的记忆力。直到 12 岁，他完全是由母亲教育的，她给他灌输了古典文学的知识，以及对宗教的怀疑态度。她是一个聪明、有活力和大方的女人，个性坚毅，但之后看起来完全不能约束他才华横溢、敏感又任性的儿子。
伽罗瓦
1823 年，这位未来数学家以一名寄宿生的身份进入了严厉但享有名望的路易皇家中学，开始接受正规教育。差不多就在他刚进学校的时候，有一群男生搅起了一场小暴动，质疑校方计划重新在教职员工中引入保守的耶稣会教士；结果是 40 个男生被开除。一开始，伽罗瓦在考试中表现优异，在竞赛中几近夺魁，只是修辞学上表现稍弱。在伽罗瓦家族中，没看出有谁对数学特别感兴趣，而且直到伽罗瓦进入路易皇家中学的第四年，他才开始学习它。他很快在这一科目上有了惊人的进步，代价是其他科目的退步。“奇特”、“封闭”但“有原创力”，这些关于他性格的评论开始出现在他的学校报告中。很快这个年轻人开始学习勒让德的几何教科书和拉格朗日关于微分方程和解析函数的著作。他相信他已准备好进入巴黎综合理工学院，但是由于他缺乏针对标准教学大纲的准备，没能通过难度很大的入学考试。
第二年伽罗瓦运气很好，得以跟随一位杰出的名叫里夏尔（Louis Paul Emile Richard）的老师学习数学，后者认识到了他卓绝的天赋。之后埃尔米特也是由这位老师教授的。里夏尔热心对待伽罗瓦的数学工作，这导致了伽罗瓦 17 岁时有一篇关于连分数的不甚重要的论文于 1829 年 3 月发表在热尔岗的《数学年刊》上。伽罗瓦当时已经在研究方程理论了，并在两个月以后向巴黎科学院递交了他的第一篇论文。当时作为评审人的柯西似乎对它印象很好，并说他会亲自向科学院展示；伽罗瓦此时还只是个中学生。不幸的是，在打算做展示的那天柯西身体不适。不久之后伽罗瓦（也许是根据柯西的建议）将他的研究工作整合进一份研究报告中，投递给科学院竞争数学大奖，我们后面会提到。
这个年轻人的父亲是一个忠实的波拿巴主义者，那时保皇党正处在上升势头。1829 年 7 月，他自杀了。直接原因是一些当地保皇党针对他展开的一次恶意行动，由想要将他排挤出公职的教区牧师领头。这位镇长在当地很受欢迎，于是皇后镇的全体居民捐钱建了一座纪念碑。他的儿子悲痛欲绝；这成了他人生的一个转折点。他父亲去世几天后，他再次考砸了巴黎综合理工学院的入学考试（只允许考两次）。他之后尝试了没那么显赫但是仍然受到尊重的预科学校，这一机构之后成为了巴黎高等师范学院。不幸的是，那时的校长是一个坚定的保皇党，他在一所原本应当是世俗院校的地方强行要求学生行宗教仪式。伽罗瓦成功达到了准入要求，于 1830 年 2 月被录取，处于这个在国家教育体系中还能存留 10 年的标准条件约束下。不久他得知了阿贝尔的死，开始熟悉他在“克雷尔杂志”上的论文，从中发现阿贝尔已经得到了他自己发现的一些结果。
1830 年的 4 月和 6 月，伽罗瓦在费吕萨克男爵（Baron de Ferussac）的《费吕萨克的数学科学通报》（Bulletin des Sciences Mathématiques）上发表了几篇短小的论文，该杂志通常只发表成名科学家的作品。此时的编辑是刘维尔的朋友斯图姆，他成了伽罗瓦的一位支持者。同一期中还包含了沙勒（Chasles）、柯西、雅可比和泊松等人的文章。伽罗瓦的这些文章包含了大多数关于方程理论的工作，我们称之为伽罗瓦理论。他同时提交了一份此理论的研究报告给科学院以争夺大奖，但是如我们所知，主管此事的科学院秘书傅里叶病入膏肓，不久之后就去世了。显然他将研究报告带回家阅读，但是它再也没有被归还到科学院。与此同时，伽罗瓦在预科学校通过了第一年关于微积分的考试，但是在八位应试者中仅位列第四。不过，他现在更多地卷入了政治活动中。
正值 1830 年夏天，针对极端保守的查理十世国王统治的抗议逐渐增长并引发暴动，以巴黎街头的骚乱为开端。那时巴黎综合理工学院是共和主义运动的一个中心，那里的学生参加了暴动，但是预科学校的学生却不能走上街头加入他们，因为学校的大门被锁上了。数千人死亡的“光荣三日”结束后，反叛者成为了首都的主人，而失势的国王则弃位逃跑。然而，主要由波拿巴主义者和共和分子组成的反叛者，没能阻止更加温和但仍然保守的奥尔良公爵接过王冠成为路易-菲利普国王。
伽罗瓦这样的共和分子对于结果无比失望。君主制复辟给了他对父亲去世和自身所蒙受屈辱的愤恨一个理想的诉求点。当他回到皇后镇消暑，他的家人讶异于他性格的转变：他成了一名共和主义的煽动者。伽罗瓦现在受到了布朗基（Blanqui）和拉斯帕伊等的影响。他应当是加入了一个叫做“人民之友”的共和激进分子团体。不久该团体被镇压，其中更加激进的成员之后加入了一个共和派的阵营，叫做国民自卫军炮兵部队。这是一个武装组织，不受正规军控制，丝毫不奇怪这一年年底前它被解散了。
与此同时，伽罗瓦被逐出了预科学校，那年夏天它改名为巴黎高等师范学院。开除他的理由是他发表的一篇文章，号召学生们拿起武器。他忙于在他的同学中进行政治煽动，但是他们顶多不冷不热地支持一下。伽罗瓦也曾给《学校公报》（Gazette des Ecoles）写信，给出他对巴黎的高中和大学数学教学的意见，大部分建立在他自己的经验上。因为他被开除，他一直收到的补助也终止了。他试图靠教学谋生，给厌烦学习的男生们教授数学。他就自己的理论开设的一门讲座并不成功。他也参加了科学院的讲座。如同我们已经看到的，他们当中一个叫索菲·热尔曼的写信给利布里，后者恰好是这次的讲课者：“他还是继续着他粗鲁无礼的样子，这就是他在听了你最好的讲座之后表现出来的感受。”
国民自卫军被解散后，成员中的 19 人拒绝交出武器，于 1831 年 4 月遭到审判，从而为攻击政府提供了一个绝佳的机会。他们被无罪释放后，在一家叫做勃艮第文但格的酒店组织了一场庆祝晚宴。在场的小说家大仲马（Alexandre Dumas）之后写下“在整个巴黎都很难找到比他们对政府更有敌意的两百号人了”。他们中的一些人非法穿着了国民自卫军的制服，伽罗瓦是其中之一。虽然组织者想要避免招惹警察，当他手拿匕首站起身来向新国王祝酒的时候，事态还是失控了。其他人有样学样，晚会在混乱中结束。大仲马和其他人通过一扇窗户逃走了。伽罗瓦第二天在他母亲的家里被逮捕，被收押在圣彼拉吉监狱直至 6 月 15 日。他因威胁路易-菲利普国王生命的罪名受审，但很快就被假释，理由是他年轻不懂事。假释行为体现了相当的宽大，因为伽罗瓦在审判中完全发泄了他的不满。他承认他还是打算杀掉国王如果“他背叛我们的话”，并且加上了他自己的观点，即路易-菲利普“很快就会变成卖国贼，如果他现在还不是的话”。
与此同时，伽罗瓦还在等待关于他方程理论研究报告的消息，这是他投递出去以争夺大奖的工作的一部分。最终，还在监狱的时候，他从科学院听说，推荐人泊松做了汇报：
我们做了所有努力来理解伽罗瓦先生的证明。他的论述既不够清晰，也没有完备到让我们可以判断正误，因此我们在此报告中不能列出它的提纲。作者声称他论文的主要论点，也就是这里的命题，是一个适用于许多其他应用的一般理论的一部分。一个理论的不同部分，通过相互阐明，会比孤立地提出要更好理解，事情往往如此。因此我们希望作者可以完整发表他的作品，这样我们可以形成最终意见。但是就这篇论文现在提交给科学院的状态来说，我们不能建议你们认可它。
这封尚算合理的信件继续敦促伽罗瓦提交一份关于他理论的更完整的描述。伽罗瓦气急败坏地回应了它，并决意与科学院院士们断绝来往。他确实修正了他的作品（原始版本消失了），打算私下发表，但是他将大部分的精力花在了五页的前言上，那是一篇对于科学机构特别是科学院院士的指责，“阿贝尔的死已经让他们的良心备受谴责。”
伽罗瓦于 1831 年的巴士底日（7 月 14 日）因非法藏匿武器（一支装弹的来复枪、几把手枪，还有匕首）和非法穿着国民自卫军制服再次被捕。当警察来抓他时，他正在街上，走在一个游行队伍的最前头。他在圣彼拉吉监狱被关押到 10 月份，之后上诉失败，又多判了 6 个月的刑期。他非常懊丧，有一次因想到他挚爱的父亲，在醉酒后的精神错乱中试图自杀。7 月 27 日，囚犯们得到机会去参加一次弥撒来纪念那些在“光荣三日”中被杀的人。因为他们很多人都是政治犯，气氛紧张，一场公开骚乱预计将随时爆发。第二天晚上前都没有事情发生，直到街对面住了一位狱卒的一个阁楼上有人开了一枪。有一个人受了伤，不是伽罗瓦，但是显然伽罗瓦被人煽动就所发生的一切责备监狱主管，结果被扔进了地牢。那次骚乱爆发后，步兵团被召来镇压，囚犯们没有抵抗就投降了，无人受伤。
在刑期的最后六周，伽罗瓦获得假释，被转移到一家疗养院，作为应对当时在巴黎流行的霍乱的手段。在这个相对舒适的环境里，伽罗瓦再度开始思考数学，并完成了几篇哲学文章。他于 1832 年 4 月 29 日被释放。令人沮丧的是，关于下一个月，也就是他生命中的最后一个月，我们所知甚少。原本可以提供些线索的警方记录，于 1871 年巴黎公社运动中被毁。5 月 25 日他写信给他在巴黎高等师范学院的密友舍瓦利耶（Chevalier），表达他对生命完全不抱幻想了，并暗示一场失败的恋爱是原因所在。涉及的女人是斯特凡妮·迪莫泰尔（Stéphanie Dumotel），疗养院驻院药剂师的女儿。伽罗瓦从她那里收到的两封信的复本还留存着，尽管它们并不完整，且只有部分可读。一封标注着 5 月 14 日的信写道，“请让我们结束这段关系吧。”另一封提到了别人给她带来的伤痛，这使得伽罗瓦也许感到有义务去守护她。
5 月 30 日这天，伽罗瓦用手枪参与了一场决斗。对于他对手的身份尚有一些疑问，不过似乎是曾经显赫的共和激进分子德艾尔宾维尔（Pescheux d‘Herbinville），前一年被审判的 19 人之一。不管怎样，结果是伽罗瓦被射中腹部，躺在那里，数小时无人注意，直到一个路人把他送到了科钦医院。他拒绝了牧师的祷告仪式，第二天死于腹膜炎，年仅 20 岁，去世时他的兄弟阿尔弗雷德（Alfred）在侧。伽罗瓦被埋在蒙帕纳斯某处的一个公墓。为了今天我们看来鸡毛蒜皮的小事决斗，在当时并不罕见。鉴于他所患的偏执狂，对这一致命的决斗，也许没有合理的解释，但是毫无疑问他挚爱父亲的自杀和他的自毁倾向是部分原因。
伽罗瓦相信他将要为某些渺小且可鄙的事情失去生命，而悲剧在于他听任它发生。也许这与他失败的感情经历有关，但是有征兆显示他早已相信自己注定早夭。1831 年他第一次入狱时，他的狱友之一拉斯帕伊，在 7 月 25 日写自监狱的一封信中如下引述伽罗瓦的话：“我告诉你吧，我会在一场为了某个地位低下的风骚女人的决斗中死去。为什么?因为她会邀请我为报复另一个危害了她荣誉的人而战。”在决斗前一晚写给朋友们的信中，伽罗瓦再次提到了“不名誉的决斗”。他也写下了“原谅那些杀了我的人，因为他们是出于善意”。
各种想象中的重构围绕着这些奇怪言论展开。最近有一个推测看起来比大多数其他的更合理，就是希望成为一名共和国事业先烈的伽罗瓦，安排了一场假决斗。他计划在决斗中被杀死，这样警察会受到责备，从而引发抗议和骚乱。为了避免这件事被怪罪到他的政治伙伴头上，他留下了一串假信息，倘若他是去参与一场正常决斗的话，他的信件和其他手迹都会难以辨认。如果说这一推测有什么意义的话，那就是他的牺牲毫无价值，因为虽然他死后确实发生了骚乱，但其起因并不相同。
临死前一晚，伽罗瓦给他同样身为数学家的朋友舍瓦利耶写了一封长信，概述了他的发现：“在我的一生中，我常常冒险提出一些我并不确定的命题，但是我写在这里的所有内容已经在我的脑子里徘徊将近一年了，它对我来说太重要了，不再误导自己说已经因为公布一些自己都没有完整证明的定理而被怀疑……请公开要求雅可比或者高斯就这些理论的重要性而不是真实性发表意见。在那之后我希望有人会发现整理这些乱七八糟的东西是有用的。”舍瓦利耶与伽罗瓦的弟弟阿尔弗雷德（Alfred）之后抄写了这些数学论文的复本，也许将它们寄给了高斯和雅可比，以及其他什么人，但是没有任何回复记录。
虽然伽罗瓦在信中提到的大部分结果都来自他的知名著作，但他也提到了代数方程和超越函数之间的联系，并且语焉不详地提到“歧点理论”。后者可能涉及代数函数的很多重要性，并且我们会相当确信，无论伽罗瓦发现了什么，之后都被黎曼继承了。至于超越函数，我们会看到埃尔米特成功地完成了伽罗瓦用椭圆模函数解五次方程的研究，而若尔当则阐明了决定这些函数行为的群论。对数学来说，悲剧在于伽罗瓦 20 岁去世时，他的工作未能完成。
约安·詹姆斯 好玩的数学 2023-07-25 11:34 发表于江西
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