诺贝尔经济学奖与数学
诺贝尔经济学奖与数学作者 | 史树中
来源 | 《中国数学会通讯》（1997 年 3 月第 1 期、12 月第 4 期）
编者按：本文原载《中国数学会通讯》（1997 年 3 月第 1 期、12 月第 4 期），本刊公开发表，以飨广大读者。
1968 年，瑞典国家银行为纪念建行 300 周年，决定颁发瑞典银行经济学奖。这一经济学奖也将以诺贝尔来命名，并请同时也负责颁发诺贝尔物理学奖和化学奖的瑞典皇家科学院来授奖。从此，从 1901 年起开始颁发物理学、化学、医学、文学、和平等 5 个领域的诺贝尔奖又多了一个经济学领域。
诺贝尔经济学奖从 1969 年首届授予计量经济学的莫基人 R.Fisher（挪威，1895-1979）和 J.Tinbergen（荷兰，1903-1994）以来，就与数学结下不解之缘。正如瑞典著名经济学家、后来的瑞典皇家科学院院长 E.I.undberg 在首届颁奖仪式上的讲话所说：“过去四十年中，经济科学日益朝着用数学表达经济内容和统计定量的方向发展。……正是这条经济研究路线——数理经济学和计量经济学，表明了最近几十年这个学科的发展。”为使数学工作者了解诺贝尔经济学奖与数学的密切关系，本刊将从本期起，由近及远，介绍历届诺贝尔经济学奖中的数学问题。
1997
1997 年的诺贝尔经济学奖授予两位美国经济学家 Robert C. Merton（1944一）和 MyronS.Scholes（1941一）以奖励他们的确定衍生证券价值的新方法。
实际上，这里应该共享这份荣誉的经济学家还有 Fisher Black（1938-1995），可惜他在两年前不幸去世。而这里所说的新方法就是关于衍生证券定价的 Black-Scholes 理论，它以 Black 与 Scholes 在 1973 年发表他们著名的期权定价公式作为起点，又由 Merton 进一步完善和系统化。这一理论被誉为“华尔街的第二次革命”。目前在全世界的证券市场，每天都有成千上万的投资者和交易者要用它来对各种衍生证券估价，已被认为人类有史以来使用最频繁的数学工具。它与 Markowitz-Sharpe 理论一起，构成蓬勃发展的新学科——金融数学的主要内容：同时也是研究新型衍生证券设计的新学科——金融工程的理论基础。由于 Black-Scholes 理论对未来的风险提供了系统的不依赖于人们对风险的主观态度的估价方法，并且还为如何化解风险提供了完整的思路，使得这一理论还被广泛应用于一切带不确定性的环境下的决策问题，例如，项目投资决策，保险合同估价，企业管理等等。大量实践证明，他们的理论是极为有效的。
典型的衍生证券是所谓欧式买入期权。这是一种一定时期后以某种执行价格买入一份某种股票的权利。如果该期权到期时，显然它的价值就是股票的市价与执行价格的差价的正部。问题是该期权目前应该如何定价。Black 与 Scholes 在股票价格的变化是一种几何 Brown 运动的假定下，从机理上导出一个随机随分方程模型，并由此得到期权价格作为时间和股价的函数所满足的抛物型方程以及它的显式解，即所谓 Black-Scholes 公式。这一公式出现后，随即引起大量的研究。尤其是在数学上对随机分析、随机控制、非线性分析、偏微分方程、数值分析、数理统计等许多方面都带来极大的推动力。由此也引起金融界近年来大量聘用数学家为他们工作。
Black-Scholes 理论以至一般的金融数学如此受到重视，自然与它能带来非同小可的经济利益是分不开的。这里我们引用麻省理工学院金融工程实验室主任罗闻全（Andrew W.L.o）教授的计算来说明这点：如果有人在 1926 年 1 月投资 1 美元美国国库券，那么逐月翻滚，到 1994 年 12 月，这 1 美元将变成 12 美元。如果把这 1 美元投资股市，例如，购买 S&.P 500 指数，那么逐月翻滚 68 年，这 1 美元将变成 811 美元。但是如果有人掌握这 68 年的完全信息，而对这两种证券逐月作最优组合，那么这 1 美元将变成多少？答案是 1,251,684,443 ，超过 10 亿美元！从 811 到 1,252,684,443 就是正确的金融决策可能活动的广阔天地。
1996
1996 年的诺贝尔经济学奖授予英国经济学家 James A. Mirrless（1936一）和美籍加拿大经济学家 William Vickrey（1914-1966.10.10，去世于获奖消息发表后的第三天），以奖励他们在不对称信息条件下的经济激励理论上的基本贡献。
颁奖公告上说：“近年来经济研究最重要、最活跃的领域是探讨决策者有不同信息的形势。所谓信息的不对称性在大量情况中发生。例如，银行没有关于被贷款人今后收入的完全信息；企业主作为经营者不可能有关于成本和竞争条件的详尽的信息；保险公司不可能完全察觉到对于被保险的财产和对于影响赔偿风险的外部事件的政策制定者的责任；拍卖人没有有关潜在的买主支付愿望的完全信息；政府需要在对个体公民的收入不很了解的情况下制定所有税制度；如此等等。”
这两位经济学家就是通过他们对信息的不对称性起着关键作用的许多问题作出系统的解析研究（即建立数学模型）而得奖的。Vickrey 主要研究拍卖和所得税；而 Mirrless 继续 Vick-rey 的所得税研究，提出最优所得税问题。这类问题又被进一步扩大为所谓“道德风险（Moralhazard）”问题。它与通常的对策论问题类似。但是一方（例如，税收机构）不能完全观察到另一方（纳税人）的行动（有可能逃税），而要设计专门的合约或机制（税收政策），来对自身有利（保证税收）。下面我们以最优税收问题为例，来介绍他们的数学模型。
原创 史树中 好玩的数学 2023-06-12 07:01 发表于江西
诺贝尔经济学奖与数学（2002）
作者 | 史树中(北京大学金融数学与金融工程中心 北京 100871；南开大学数学研究所 天津 300071)
来源 |《中国数学会通讯》
2002 年的诺贝尔经济学奖授于美国一以色列心理学家 Daniel Kahneman（1934- ）和美国经济学家 VernonLSmith（1927- ），以奖励他们在实验经济学和行为经济学方面的开创性工作。对 Kahneman 是奖励他“对把心理研究融入经济科学，特别是有关在不确定环境下人们的判断和决策，有完整见解。”对 Smith 是奖励“他在经验经济分析中，特别是在备选市场机理研究中，建立了实验室试验。”
经济学从来都被看作非实验科学，因为它涉及的因素太多，人们无法在实验室内控制各种有关的因素，来观察因素变化引起的各种试验结果。然而，半个多世纪以前，以 Smith 为主导的一些经济学家，开始尝试一系列经济学实验，并且逐渐形成以他为首的实验经济学学派。所谓实验经济学在很大程度上都是先为所考察的问题建立一个数学模型，作为实验的“游戏规则”，然后再找一些人来按规则进行“游戏实验”。Smith 的最为意味深长的工作是他开始于 1962 年的关于市场机理的研究。他设计了一个许多人参加的市场实验。实验参加者被区分为购买者和销售者，但是谁担任购买者还是销售者则是随机指定的。销售者持有一个单位的商品准备出售，并且对此还有一个底价作为他的私人信息。如果市场价高于底价，那么他就把该商品卖掉，并且差价就是他的获利。同样，购买者也有一个底价作为私人信息。如果市场价低于底价，那么他就购买商品，并认为自己赚了差价。Smith 基于他对买卖底价分布的选取，画出了供需图表，而交易价格就由供需均衡来得到。使 Smith 大感意外的是，他发现实际的交易价格很接近于理论均衡价格。这样，实验就支持了理论。Smith 的另一项成功的实验是对拍卖的研究。他的研究犹如在研制一种新型飞机时，需要把飞机的模型放在风洞中进行试验，他对一种新的拍卖设计进行的试验，也被称为“风洞试验”。试验的核心在于建立对各种拍卖形式的理论预测。Smith为此进行了许多细致的分析，并得出诸如“所有购买者如果都对风险无所谓，那么常见的四种拍卖形式都是等价的”那样的有趣结论。
2002 年诺贝尔经济学奖的另一位得主 Kahneman 完全是心理学家，但是他现在已经与另一位已故的心理学家Amos Tversky（1937-1996）被公认为是行为经济学的倡导人。他们两人于 1979 年发表的论文已成为“计量经济学（Econometrica）”有史以来被引证最多的经典。他们研究的问题是人们在不确定环境下的判断和决策。在此以前，人们运用的传统理论是 von Neumann 和 Morgenstern 1944 年提出的期望效用函数理论。这一理论用数学公理化的方法证明，每个人在不确定环境下的决策可通过求他的一个效用函数的平均值（数学期望）的最大值来描述。这一理论虽然在数学论证上无可挑剔，但是它所依据的公理则长期受到质疑。尽管如此，由于期望效用函数在理论上简洁易用，它在经济学研究中始终处于主导地位。而从认知心理学的角度来看待同样的问题，思路几乎完全不同。他们要考虑感知、信念、情绪、心态等许多方面，以至决策变为一个复杂的交替过程。
这两位心理学家就是出于这样的考虑提出他们的理论。不过，这并不是说他们的理论与期望效用函数理论完全对立，而是说前者代表人们在不确定环境下决策的完全理性行为；从长远来说，人们在实践中不断总结经验，其行为会越来越接近于这种理想化。后者则代表人们在复杂的现实条件下可能有的‘非理性”行为，它可能在许多情况下更接近于人们的实验行为。这样的区别对于建立适用于长期稳定状况的理论框架来说，或许并不重要，但是对于瞬息万变的金融市场来说，则提供了一种说明短期异常的有力手段。所谓“行为金融学”就在 Kahne man一Tversky 的研究的推动下，蓬蓬勃勃地发展起来了。
Kahneman-Tversky 的工作不能说很数学化，但是他们似乎要专门针对数学来提出问题。他们针对概率论中的大数定律，提出了一条“小数定律”。所谓大数定律是指任何随机变量的大量独立试验的结果都会呈现越来越接近正态分布的性态；而“小数定律”则是指人们会根据少量的统计样本就作出带偏差的判断。这样的事虽然司空见惯，但把它表达为可供进一步推理的“定律”则是他们的贡献。行为金融学家们立即把它拿来用作解释股市“过度反应”等许多金融市场的异常现象。他们针对期望效用函数理论提出展望理论”，并且对后者没有采用数学公理化方法，而是通过许多实验观察来提取描述性的准则。例如，它认为人们在不同的财富状况下，决策期望是不一样的；人们对于盈利和损失的感受是不一样的；人们更关心财富的增加，而不是财富的积累。如此等等。由此确定的“决策函数”与期望效用函数有很大的不同。而这样的“决策函数”可被许多实验来证实，并且能解释为什么人们经常愿意跑远路去买便宜商品，而在经济上并无好处；人们听到有关收入的坏消息时会减少消费等等。
从数学的观点来看，实验经济学和行为经济学都试图描述很难用数学公理化方法来理论化的经济交互作用现象。而这种描述本身却又离不开数学模型。其结果实际上在呼吁更有力的数学工具把这种描述更好地数学化，使这些“实验”和“行为”有更完整的理论。
原创 史树中 好玩的数学 2023-06-17 07:03 发表于江西
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