三角比相关的不等式的一个小备注
三角比相关的不等式的一个小备注作者 | 张镇华(台湾大学数学系名誉教授)
来源 |《数学传播》2023 年第 47 卷第 1 期(185)
中山大学应用数学系的“双周一题”网络数学问题征答活动历史悠久,深受各界好评。数学传播季刊最近有一篇连威翔的文章 ,讨论九十二学年度第一学期的第三题 ,题目如下:
这是一道链接三角比与角度的不等式,解题的起手式当然少不了下面这一个三角比与角度的最根本不等式:
其证明可由图 1 中“ΔOAB 面积 < 扇形 OAB 面积 < ΔOBC 面积”的关系推得。
图 1 图参见 。
不论是 还是 都有推导三角比公式后,再利用(2)来证明的方法。以 为例,其推导如下。
我们的观察由此开始。光是利用微分,并没有将微积分用到极致。微分最后的一个小终点是泰勒展开式。考虑正弦函数和正切函数的泰勒展开式如下。
其中我们只考虑 θ∈(0,π/2) 的部分。如果我们只取两项当作估计,其实会有:
在此我们可以看到,利用算几不等式时,(5)的推导比(3)更自然。在此,我们征求,不用微积分的证明方法。利用泰勒展开式,我们还可以看到余弦函数的公式
这看起来和正弦函数及正切函数不是一个等级,因为其第 1 项是 1 ,不是 θ 。不过我们可以做一个小变动,考虑
由此也可以看出如下的不等式:
我们邀请读者用各种方法来证明(6)。
参考文献
连威翔。从一道三角函数不等式的证明谈起。数学传播季刊,46(3),69-78,2022 。
“双周一题”网络数学问题征答,第三题,中山大学应用数学系,九十二学年度第一学期 (92 年 10 月 17 日公布)。
张镇华 好玩的数学 2023-05-31 07:04 发表于江西 原来陆老师也关注“数学传播”这个电子刊物啊!这是华文普及性数学刊物里最好的了,可惜大陆没有这样的好刊物。
页:
[1]