数学基本功、数学素养与数学眼界
数学基本功、数学素养与数学眼界原创 曹广福 来源曹广福的数学茶馆 2021-11-27 11:01
本文绝无对任何人不恭的故意，纯属就事论事，也绝非哗众取宠，一点陋见，权当参考。
昨天发了个帖子，谈到数学基本功的重要性。很多人问我数学基本功是什么，如何提高数学基本功？这真不是三言两语能说清楚的，且听我慢慢道来。
弗莱登塔尔的代表作《作为教育任务的数学》中对欧几里得的《几何原本》作了这样一番评论：“如果有个好老师，这是个好课本，如果作为自学用书，这是本天书。”这段话很好地解释了教师的意义以及课本与教师的关系。自学用书与课本是有所不同的，前者需尽可能通俗易懂，阐述清楚来龙去脉，要让读者感觉犹如老师在侃侃而谈。后者则有所不同，课本是教师教学的素材，教师需要根据学情决定如何处理课本中的相关内容。换言之，教师需要对教材再加工，引导学生发现隐藏在课本所承载的知识表象内的东西，这就是思想。将课本上冰冷的符号再现成火热的思考，而再现这种思考的最好媒介则是问题，通过对问题的发现、分析与解决，展现数学独特的思维方法，在这个思考过程中迸发出数学思想的光芒，进一步形成数学直觉、思辨及演绎推理与计算等能力。数学的这一教育目标对教师提出了比较高的要求，这也正是我前文中所说的没有好的数学基本功，再花哨的课堂形式都是中看不中用的花拳绣腿，只能糊弄学生与外行，体现不出数学教育应有的教育功能。
说到数学基本功，很容易让人想到数学基础与解题能力，不错，数学基础与解题能力确实很重要，是数学基本功的重要部分。但不是数学基本功的全部。先打个比方，两个人相处时，一方根据另一方的言谈举止便能洞察对方的内心甚至秉性，这种洞察力便是识人的基本功，洞察力取决于一个人的生活经验与对人性了解的程度。当然根据洞察力作出的判断仅仅是个人的直觉，并无事实依据，判断的正确与否需要靠事实来证明。数学基本功与识人基本功有相似之处，简而言之，数学基本功可以称为解决数学问题的能力，但这里解决数学问题与前面提到的解题能力有所不同，常意下的解题能力指的是综合运用数学基础知识、基本方法，运用逻辑思维与计算，对数学问题进行分析、解决的能力。我说的解决数学问题的能力除了上面所说的能力之外，还有一个很重要的东西，那就是数学直觉与思辨，或者叫数学的洞察力。如果没有这种洞察力，解题便失去了方向，即使最终解决了问题，也可能走了很多弯路，缺少清晰的思路。有了明确的方向才能综合运用数学基础知识、基本方法及逻辑或计算去分析、解决问题。在我看来，数学直觉与思辨是数学思维能力的核心，我们的课堂教学欠缺的恰恰是这种洞察力的培养，靠刷题可以一定程度上提高解题的效率，但并不能真正提升数学思维能力。简单说来，所谓数学基本功包括对数学问题的洞察力与综合运用数学的思想方法进行逻辑演绎与计算的能力。洞察力决定了一个人解决问题的方向，它会指引我们沿着什么方向、运用什么方法去解决问题，综合运用能力则决定了最终能不能解决问题。如果把数学基本功比喻成一部运行的机器，那么，综合运用数学知识与方法的能力便是机器的润滑剂，而直觉与思辨才是机器的发动机，他给我们提供解决问题的动力。
如何培养数学的基本功？哈尔莫斯说过一句话：“学习数学的最好方法是做数学。”可见适当多做数学是最好的夯实基本功的方法，这里所指的做数学并非指通常的刷题，而是在解题过程中有意识的提升对问题的洞察力，而不是仅仅凭借经验去寻找解题方法。关于这个问题，需要另文说明。
再来说说数学眼界与数学素养。所谓眼界，指的是人的视野与见识的范围。数学眼界取决于数学素养，一个人的数学素养有多深，他的数学眼界便有多宽、多高。
那么数学素养又是什么？以下纯属个人陋见，并无反潮流之意，欢迎批判。课程标准给出了六大核心素养，那些“素养”是否重要？当然是重要的。但坦而言之，那不是真正意义上的素养，那是几个方面的能力。能力与素养是不同的，能力是完成一项目标或者任务所体现出来的素质，素养是由训练和实践而获得的一种修养。能力是人的外在表现, 而素养是人的内在修养。正如你会开车，这是一种能力，但你不见得对汽车有太多的了解，车子出了毛病，哪怕是微不足道的小毛病，你都束手无策，不清楚哪里出了问题，只能乖乖送去维修店。这说明你对汽车的内在原理不甚了了，在汽车方面的修为几乎为零。数学素养除了具备数学的思维能力，还包括对数学的理解与认识，这是文化意义上的素养。正是这种素养决定了一个人的数学眼界与数学品味，他能够帮助一个人判断什么是美的数学什么不是，什么是重要的结果什么不是。他是不同于解决问题能力的另一种数学修为。具体到课堂上，教师既要透过课本知识引导学生发现知识背后的东西，以问题为载体，挖掘隐藏在知识背后的数学思想，同时，教师还应该具备数学的鉴赏与判断能力，帮助学生去解读文化层面上的数学。这么说似乎有点玄乎、抽象，举个例子，一个数学大师年轻时发现了很多重要结果，建立了一整套数学理论，但随着年龄的增长与精力的衰退，他不再做研究了，但他的鉴赏力并没有因此减退，一个结果发表了，他能判断出这个结果的价值，这就是我说的数学素养与眼界。指望普通数学工作者与教师也具备大师般的素养有点强人所难，事实上，大师天成，普通人无法望其项背。但作为教师，我们可以通过后天的修炼，具备一定的数学素养与眼界，这是完全可以做到的。众所周知，微积分中关于黎曼可积性有一个判断条件：“一个函数黎曼可积的充要条件是随着分割的加细，大和与小和之差趋于零。”这个结果好不好？我们能不能做出判断？如果认为他好，他好在哪里？如果说他不好，他为什么不好？你需要给出论据来。在我看来，这不是一个好的结果，因为从这个结果，并不能看出这是个什么函数，也就是说，函数内在的特征被那个大和与小和给湮没了。实变函数中也有一个充要条件：“一个函数黎曼可积的充要条件是他几乎处处连续。”这是一个漂亮的结果，因为他告诉了我们黎曼可积函数最多可以有多少个间断点，这才是函数本质特征的反映，所以这是一个好的结果。
只要我们做个有心人，发自内心的喜欢教书，就会有学习的动力，以上所说的数学基本功与数学素养都可以在一定程度上达到，修为的高低因人而异罢了。
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