从铺地板的数学谈起
从铺地板的数学谈起作者 | 包彦禹老师
来源 | 包彦禹老师公众号
房屋装修，铺设地板时哪些问题你会很在意？
可能是材质、色调、造型……
我们会期待大方美观的效果，作为最基本的要求，你一定会在意地板铺设不能有大的缝隙，材料不得重叠。
这就涉及到数学中一个古老话题——平面镶嵌（Tessellation）。
1镶嵌艺术与平面镶嵌
镶嵌艺术由来已久，起源已不可考，早在 6500 年前，我国的出土文物上就有镶嵌图案。它开始于仰韶时期，夏商周已略显成熟，如夏代二里头文化的镶松石饕餮纹的铜饰牌,不仅构思巧妙，而且形式独特。
在公元前 4000 年的美索不达米亚平原，苏美尔人同样能够利用平面镶嵌来进行工艺制作。可见，当温饱和安全慢慢得以解决，人类开始了对美的追寻，古老的镶嵌艺术业已萌芽。
至古希腊时期，大理石马赛克铺石的镶嵌工艺已被广泛应用，传说毕达哥拉斯学派就研究过多边形的镶嵌问题，镶嵌艺术慢慢与数学相伴而发展。
中世纪的穆斯林艺术家更是将镶嵌艺术推向了一种极致，摩尔人留存于西班牙的阿尔罕布拉宫见证着这一奇迹，伊斯兰民族喜欢镶嵌艺术可谓由来已久。
华夏祖先同样将这种艺术演绎的炉火纯青，但镶嵌艺术所追求的稍稍区别于我们数学上的平面镶嵌。
数学家们给出的平面镶嵌（Tessellation）是指：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，又称平面密铺，“Tessellation”由拉丁词汇“tessela”(意为铺路石、砖瓦)演变而来。铺地板、贴瓷砖往往就是平面镶嵌，自然界中蜜蜂是一把好手。
曾深研数学的十五世纪德国艺术家丢勒（Albrecht Dürer）经常在他的画作中使用数学元素，其中不乏正五边形与菱形这样的平面镶嵌图案。
但真正称得上“平面密铺艺术大师”的，当数19世纪的荷兰版画家埃舍尔（Maurits Cornelis Escher，1898年－1972年）。
埃舍尔喜欢用数学的眼光观察他的工作，他不仅善于变换平面镶嵌的平面，被镶嵌的对象本身也经常变换，他赋予了平面镶嵌以运动和生命，在画作《变形》、《天和水》、《昼与夜》、《遭遇》等作品上淋漓尽致的被展现着，这得益于他对平移、旋转和反射等几何图形变换的透彻掌握。
在《爬虫》中，平面中的蜥蜴被演绎成三维的生命，他甚至还想象出一种镶嵌邮票，当邮票在纸上滚动时，图案就被镶嵌了起来。埃舍尔一生共创作了 137 幅平面镶嵌画，这些图案往往充满中亚装饰风格的繁复，常成为装饰设计师们灵感的来源。
在中西方的艺术创作史上，镶嵌的题材和内容以及它的发展变化体现了美的共性，使得镶嵌艺术在中西方广袤的土壤中成长起来，成为了世界传统文化的重要组成部分。
2正多边形密铺的数学密码
镶嵌艺术有着如此迷人的魅力，我们很有必要一探平面镶嵌的数学原理，它也是中小学数学的热门话题。
由于平面镶嵌要求不留缝隙又不能重叠，意味着每一个公共顶点处，几个多边形的顶角之和等于 360° 。
从特殊的正多边形开始，我们发现 6 个正三角形内角、4 正方形内角和 3 个正六边形内角恰好能构成 360° 角。
3特殊多边形的密铺
除了正多边形的平面镶嵌，还有哪些多边形能够密铺呢？
依据“每一个公共顶点处，几个多边形的顶角之和等于 360° ”，我们尝试任意三角形和四边形，发现它们是可以密铺的。
这是因为三角形内角和为 180° ，它的两倍恰好是 360° ，同一个顶点的 6 个三角形就能够进行平面镶嵌；同样的原理，由于四边形内角和 360° ，4 个四边形也能够进行平面镶嵌。
显然内角和 540° 的任意五边形通常不能密铺，但是，如果将五边形的角度特殊化，这样的密铺也是可能的。
智利圣地亚歌一位五个孩子的母亲玛乔里·赖斯，对五边形的镶嵌提出了很多前所未有的结论。她在前人断言只有 8 类五边形能够密铺的情况下，又找到了 5 类五边形能镶嵌平面，后来人们又发现了第 14 种和 15 种可镶嵌五边形，再次将大伙的目光吸引到了五边形镶嵌问题上，似乎这样的五边形还会越来越多。
人们也找到了六边形的一些密铺，三组对边平行的六边形竟然能够拼出“花瓣”。
但七边形或多于七边的凸多边形，发现不能镶嵌平面。刚刚朋友圈里又惊现“数学家发现十三边形的平面镶嵌”：
仔细观察，你会看到这已经是凹多边形的事了，它同样精彩纷呈！
还有曲边的多边形密铺。
各种形状的接踵而来……
由此看来一些特殊多边形的平面镶嵌，很值得继续研究，“密铺迷”们也乐此不疲！
4多个正多边形的密铺
除了一种形状多边形的平面镶嵌，多个多边形的密铺又将是怎样的情形呢？
我们不妨也从几种正多边的组合开始考虑这样的问题。
这个方程可以得出 17 组整数解，其中可以密铺的有 11 种，3 种为单个正多边形密铺，即正三角形、正方形与正六边形平面镶嵌。边长相等的两个正多边形密铺与三个正多边形密铺共 8 种，分别为正三角形与正方形（2 种），正三角形与正六边形（2 种），正三角形与正十二边形，正方形与正八边形，正方形+正六边形+正十二边形，正三角形+正方形+正六边形：
我们可以证明不能用 3 种以上的多边形镶嵌，因为若用 4 种正多边形组合，则内角和最小为 60°+90°+108°+120° = 378° > 360° ，所以不存在 4 种或 4 种以上的正多边形平面镶嵌。
5回到埃舍尔
镶嵌艺术的脚步远不至此，以上的探讨只是一些基本图形的密铺，我们有必要关注平面镶嵌的形成过程。
回到埃舍尔，你会发现，图形的平移、旋转和翻折正是美妙镶嵌形成的数学奥秘。
2 月份在中华世纪坛很荣幸请教了对镶嵌有着深入见解的武元元老师，看到他制作的镶嵌图案，我也跃跃欲试。
他还介绍了广西科技大学欧阳老师的艺术再创作。
美妙的图案无不令人叹为观止，二维的镶嵌跃然纸上，俨然是一个三维密铺！
武老师有很多剖析平面镶嵌的视频制作，本想扒几个片段在文末，看着已经快要凌晨 4 点了，暂时作罢，感兴趣的朋友不妨 B 站上搜索。
看来，我已经陶醉于美丽的镶嵌了，往后继续学习，码上关于密铺的心得。
就此打住，给这几天平面镶嵌的学习暂时画个句号。
好玩的数学 2023-04-07 07:02 发表于江西
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