从两种直角三角板到 14 种“中学有理三角形”
从两种直角三角板到 14 种“中学有理三角形”作者 | 林开亮(西北农林科技大学理学院)
来源 | 《数学传播》2023 年第 47 卷第 1 期（185）
也许你还保存着这样的记忆 ：小学高年级或进入中学不久，数学老师说每个人都要准备一副三角板 ：无论材质如何，其中一个是两个锐角均为 45 度的等腰直角三角形，另一个是锐角分别为 30 度和 60 度的直角三角形，任何一家文具商店都会出售。至于为什么，老师没有讲，也没有人追问过，直到今天似乎还没见到一本书讨论这个问题。
当然可以做出多种解释，比方说能够方便地作垂线、平行线、画直角和一些特殊角，有助于记忆特殊角的三角函数等等，不过细究下来都不能令人满意。不同于后世的工匠与画师，古希腊人在作图中只允许使用没有刻度的直尺与圆规。在他们那里，标尺作图是一种与欧几里德公理体系高度匹配的思想操练。为什么全世界学习几何学的学生，需要这样一种貌似反欧几里德传统的「标配」呢？
直到读了柏拉图《蒂迈欧篇》，笔者方觉豁然开朗。原来，这两种特殊的直角三角形，是柏拉图展开其宇宙构造图景的基础，而这一思想的源头可以追溯到认为「万物皆数」的毕达哥拉斯那里去。根据大家都知道的一个传说，几何学是进入柏拉图学园的通行证，而《蒂迈欧篇》正是柏拉图阐述其宇宙观的代表作，书中为两种特殊的直角三角形赋予了超凡脱俗的意义。
—— 刘钝，柏拉图的《蒂迈欧篇》与五轮塔的几何学 （见 )
从小学开始，我们就接触过直角三角板。众所周知，直角三角板只有两种，内角分别 45°-90°-45° ，30°-60°-90° 。
为何只有这两种特殊的直角三角形呢？清华大学科学史系刘钝教授在 2022 年发表的文章 中抛出这一问题，并从数学历史文化的角度给出了他的解释（见开篇引言）。这里我们试图从数学本身的视角给出一个解释。
注意，这两种直角三角形具有以下两个共性 （暂且先忽略直角的限制）：
我们将证明，以上四种三角形就给出了满足（i）与（ii）的全部三角形。事实上，我们将证明以下更一般的结果：
为证明定理 1 ，我们需要以下引理：
1982 年，J. C. Parnami 等 确定了全部的“有理中学三角形”（A. Berger 最近又重新推导了这一结果）。其结果如下：
定理7. 一个三角形为有理中学三角形当且仅当它的每一个角是或的整数倍。在相似等价意义下，有理中学三角形只有 14 个，其內角（在角度制下）分别为：
注意到，这 14 个三角形中，有 7 个等腰三角形，3 个直角三角形（除了定理 2 给出的两种以外，还有一种是 15°-75°-90° ）。仅有三种直角有理三角形的结论，也曾被 Calcut 独立得到。
Parnami 等对定理 7 的证明，仅用到初等的 Galois 理论与数论，下面我们分享给有兴趣的读者。证明用到三个引理，我们介绍如下。
第一个引理通常作为 Galois 基本定理的一部分，为方便读者，我们单独列出，参见定理 1.10 。
表中第三列显示的比值表明，这 14 种三角形确实都是“有理中学三角形”，从而上表就给出了全部的“有理中学三角形”。第三列的各个比值之确定，可参见以下“无字证明”，由浙江省永嘉中学叶卢庆老师提供。
致谢
感谢中国传媒大学陈见柯老师与江西省吉水中学孙志跃老师对初稿提出宝贵意见！感谢浙江省永嘉中学叶卢庆老师分享他的“无字证明”，为拙文增色不少。感谢华东师范大学图书馆王善平老师为作者传递文献 。
参考文献
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原创 林开亮 好玩的数学 2023-04-03 07:02 发表于江西
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