世界地图、比萨定理和北极熊
世界地图、比萨定理和北极熊本文节选自《几何学的力量》
出版社：中信出版社
作者：乔丹·艾伦伯格
在科学、经济学、信息技术、金融学、公共卫生等领域的问题中，发现几何学的力量，尝试用几何思维重新丈量我们的世界。
“geometry”在希腊语中的意思是“测量土地”，这正是我们接下来要做的事。为一块地、一群人或一群马赋予几何图形，说到底就是给任意两点赋值，我们将其解释为两点之间的距离。现代几何学的一个基本洞见是，我们可以通过不同的方法实现这个目的，而且不同的选择意味着不同的几何图形。当我们讨论家谱图上堂兄弟姐妹之间的距离时，就已经知道了这一点。即使是地图上的点，我们也有多种几何图形可以选择。在平面几何图形中，美国两个城市之间的距离是指连接它们的直线长度。而在另一种几何图形中，两个城市之间的距离是指“1872 年马流感从前者传播到后者所花的时间”。在这种度量下，与斯克兰顿到纽约的距离相比，斯克兰顿到多伦多的距离更远，尽管斯克兰顿与多伦多之间的直线距离更近。你可以选择你喜欢的度量方式——这是数学，不是学校！也许，你的度量是“这两个城市在按英文首字母排序的美国城市列表中的距离”，在这种情况下，斯克兰顿到多伦多的距离比它到纽约的距离要近。
几何图形并不是固定的，它们可以随我们的意志而改变。在《时间的皱折》一书中，三位星际女巫（天使）之一的沃茨特（Whatsit）夫人做了一个几何演示（见图 1），帮助三个孩子打败了宇宙恶魔。她们穿越宇宙的速度比光速还快，这是怎么做到的？“我们学会了随时走捷径，”她说，“就像在数学领域一样。”
图 1
沃茨特夫人说，蚂蚁离绳子的一端很近，离另一端则很远。但如果在空间中移动绳子，使这个距离坍缩至几近为零，蚂蚁就可以直接从一只手跳到另一只手上了（见图 2）。“现在，你看，”沃茨特夫人解释道，“无须长途跋涉，它也能到达目的地。我们就是这样进行星际旅行的。”这条弯曲的绳子是这本书的书名来源，三位女巫称它为“宇宙魔方”。
图 2
而在 1872 年的马流感疫情背景下，它被称为“铁路”。连接芝加哥和旧金山的铁路改变了美国大陆的几何图形，也改变了度量，使两个点之间的距离比我们以为的更近。同理，两点之间的距离也可能会变得更远。1872 年的马流感一路向南传播到中美洲的尼加拉瓜，但没有进入南美洲，这是因为巴拿马地峡对病毒来说是“一个被崇山峻岭隔断，几乎不可能逾越的沼泽”。哥伦比亚和尼加拉瓜的地表距离很近，但如果以骑马的交通方式来度量，它们之间的距离就会变得无限远。
当代世界满是皱折，在我们知道新冠感染这种流行病的存在之前，它就已经在往来于美国和意大利及纽约和特拉维夫的飞机上了。不过，地球表面的标准几何图形仍然发挥着作用。2020 年春，美国疫情最严重的地区并不是有国际机场和居民经常搭乘飞机出行的城市，而是可以从纽约驾车抵达的地方。新型冠状病毒的传播有快有慢，因为它们可以搭乘任何一种交通工具。
“用欧几里得几何或老式平面几何的语言来说，”在《时间的皱折》的后半部分，沃茨特夫人解释道，“直线并不是两点之间的最短距离。”地球表面上两点（比如芝加哥和巴塞罗那）之间的最短距离是什么？它不可能是一条通常意义上的直线，除非你是“地鼠”，因为地球表面与欧几里得平面不同，前者是弯曲的。简言之，球面上没有直线。但是，最短路径必然存在，而且可能不是你以为的那条。芝加哥和巴塞罗那几乎在同一纬度——北纬 41 度，如果你在地图上用一条直线把这两个城市连接起来，你就要沿着北纬 41 度线向正东走 4650 英里。但这并不是捷径，地图上显示的真正最短路径是一条向北凸起的弧线：从纽芬兰的鳕鱼加工小镇康奇附近离开北美洲，进入大西洋，最北点大约在北纬 51 度。这样一来，你就可以少走 200 多英里。
沿着某条纬线向东或向西的运动路径是“直线”，这是那些表面上看起来很吸引人的公式秉持的一个观点，但当你思考它真正的含义时，就会发现那些公式根本说不通。假设你从距离南极 2 米的地方开始往正西走，几秒钟后，你的足迹会画出一个很小也很冷的圆。到那时你不会觉得自己的行走路径是一条直线，请相信这种感觉。
关于“球面上直线的含义是什么”的问题，我们可以从欧几里得几何中找到最佳答案。那就是，我们可以简单地把直线定义为最短路径。（实际上，它更像线段而不像直线，因为它有两个端点。）事实证明，球面上所有的最短路径都是“大圆”，之所以这么叫，是因为它们是你在球面上经过两个相对的点可以画出的最大的圆。而且，大圆正是我们所说的球面上的直线。赤道是一个大圆，其他纬线则没有这么大。经线（子午线）也是大圆，所以沿正北或正南方向的运动真的是直线运动。如果你不太理解南–北和东–西之间为什么会存在这种不对称现象，那你只需要记住一点：这是我们估算经度和纬度的方法造成的。经线都会相交，纬线则不然，所以地球上没有西极。
即便如此，我们也可以随心所欲地编造一个西极，或者在自己喜欢的任何地方创建一个极点。例如，我们宣布一极在乌兹别克斯坦的克孜勒库姆沙漠中央，另一极在地球另一边的南太平洋。纽约的软件工程师哈罗德·库珀就制作了这样一幅地图，这是为什么呢？因为它能让大约十几条经线（库珀称其为“南北向街道”）纵贯曼哈顿，而横贯这座城市的街道则是与经线垂直的纬线。这样一来，纽约的街道网格就可以延伸至世界其他地方。威斯康星大学数学系靠近 5086 号南北向街道和 3442 号东西向街道的交汇处，这让我和我的同事有一种身处市中心的强烈感受。
我们在世界地图上把纬线画成直线，这种做法是从地图设计者杰拉杜斯·墨卡托那里承继而来的。墨卡托跟随弗拉芒画派的大师伽玛·弗里西斯学习数学和地图学，他撰写的英文草写体练习指南很受欢迎，1544 年他因涉嫌传播新教而被宗教狂热分子囚禁了大半年，他在杜伊斯堡中学开设并教授几何学课程，他还绘制了大量地图。今天的人们熟知的那幅地图是墨卡托在 1569 年绘制的，他将其命名为《适用于航海的新版和完整版世界地图》（New and Expanded World Map Corrected for Sailors），而我们现在称它为“墨卡托投影”。
墨卡托地图很适合水手使用，因为对他们来说最重要的事并不是沿着最短路径航行，而是不迷失方向。在海上，你可以利用指南针使航向与北方（或者至少是磁北）保持一个固定的角度。在墨卡托投影中，南北向的经线是竖直的，东西向的纬线是水平的，地图上的所有角度都和现实世界中一样。所以，如果你设定的是一条正西向的路径，或者一条北偏西 47 度的路径，并且沿着它行进，你的路径（被称为斜驶线或恒向线）在墨卡托地图上就是一条直线。如果你有地图和量角器，就很容易看出恒向线会让你在什么地方登陆。
不过，墨卡托地图也存在一些错误之处。其一是墨卡托将经线描绘成永远不会相交的平行线。但事实上，经线会相交，而且是两次，分别在南极和北极。所以，如果你朝南或朝北走很远的距离，墨卡托地图必定会出错。的确，墨卡托把他的关注范围缩小到远离两极的平行经线上，以免它们在南极和北极发生显著的弯曲。其二是在墨卡托地图上，靠近两极的纬线之间的距离变得越来越大，而在现实生活中它们的间距是一样大的，这导致两极地区的面积看起来比实际要大。例如，在墨卡托投影中格陵兰岛和非洲一样大，但事实上非洲的面积是格陵兰岛的 14 倍。
难道就没有更好的投影方法了吗？你可能想让大圆显示为直线（球心投影），你可能想让地理对象的相对面积与现实相匹配（等积投影），你可能想让投影获得正确的角度（等角投影，墨卡托投影就是其中之一）。但是，你的这些想法不可能同时实现，卡尔·弗里德里希·高斯对比萨定理的证明可以解释其中的原因。高斯给这个定理取名叫“绝妙定理”，不过，如果在 19 世纪的哥廷根能买到地道的纽约风味比萨，他肯定会叫它“比萨定理”。
图 3
有一个光滑的曲面，如果我把它放大，它看起来就会像图 3 的几何图形中的一个。左边是一个球面的一部分，中间是一个平面和一个柱面的一部分，右边是一片薯片。高斯发明了“曲率”的概念：平面的曲率是 0 ，柱面的曲率是 0 ，球面的曲率是正值，薯片的曲率是负值。对如图 4 所示的复杂曲面而言，它某些地方的曲率是正值，而其他地方的曲率是负值。
图 4
事实证明，如果你将一个曲面投影到另一个曲面上，只要角度和面积保持不变，这两个曲面的几何图形就是相同的。换句话说，一个曲面上两点之间的距离与另一个曲面上对应两点之间的距离相等。
高斯绝妙定理指出，将一个曲面投影到另一个曲面上，只要几何图形保持不变（换句话说，你可以让它弯曲或扭曲，但不能拉伸它），曲率就必定保持不变。橘皮是球面的一部分，它的曲率是正值，所以你不可能把它压平，使它变成曲率为 0 的平面。而一块比萨是从一个扁平的圆饼上切下来的，所以它的曲率为 0 。通过让它的尖端下垂，我们可以把它弯曲成一个曲率为 0 的柱面，如图 5 所示。我们也可以把它的两边都卷起来，如图 6 所示。
图 5
图 6
但这两种操作不能同时进行，否则比萨就会变成薯片。事实上，比萨不是薯片，也无法变成薯片，因为薯片的曲率是负值而不是 0 。当你拿着一块比萨走在纽约阿姆斯特丹大道上时，你可能会把比萨的两边卷起来。原因在于，比萨的曲率为0 ，在它的两边被卷起来后，绝妙定理可以防止它的尖端下垂，以免将热奶酪滴到你的衬衫上。
你无须彻底了解绝妙定理的绝妙之处，就能意识到你不可能拥有一幅可以满足你的所有几何愿望的世界地图。这个问题可以用一个古老的谜题来解释：一天，一个猎人醒来后，爬出帐篷去找熊。他向南走了 10 英里，没找到熊。他向东走了 10 英里，也没找到熊。他向北走了 10 英里，终于看到了一头熊，而且就在他的帐篷前面。
谜题是：这头熊是什么颜色？
如果你不知道这个谜题，这里还有另外一个版本。你从加蓬的首都利伯维尔（位于赤道附近）出发，一直向北走到北极，然后向右转 90 度，一直向南走到赤道，此时你在印度尼西亚的巴塔汗附近。之后，再向右转 90 度，向西绕地球 1/4 圈，你就回到了利伯维尔。
记住，我们想象中的完美投影应该把大圆视为直线。如图 7 所示，你的行走路线是由 3 个大圆的各一部分组成的，所以在我们想象中的完美地图上，它肯定是 3 个直线段，构成一个三角形。而地图上的每个角必定和它在地球上的对应角的度数一样，也就是 90 度，但平面上的三角形不可能有 3 个直角。就这样，完美地图的梦想彻底破灭了。
图 7
哦，那头熊是白色的。因为猎人的帐篷肯定在北极，所以它是一头北极熊！（太好笑了！）
你的埃尔德什数是多少？
从平面地图的几何图形到球面地图的几何图形，已经涉及多种多样的数学知识了。但我们还可以提出更加离经叛道的问题，例如，电影明星的几何图形是什么样子？我想问的不是他们身体上的曲面和平面，而是他们的合作网络。为了构建演员的几何图形，我们选择用“合演距离”作为两位演员之间距离的度量。假设两位演员之间的链环代表他们共同味道，但正如克雷奥拉州的例子所示，其公式通常与比例代表制不相容。
我之所以说“通常不相容”，是因为存在这样一种情况：两个党派分别获得了 50% 的选票，使得效率差距和比例代表制（可能还有你）在什么是公平的问题上达成了一致意见。基于此，你可能会期望任何被判定为“公平”的地图都能满足一种基本的对称性。如果两个党派的支持者恰好各占州人口的 50% ，他们难道不应该均分议会席位吗？
威斯康星州的共和党会给出否定的答案。不管我对他们在 2011 年春采取的选区划分舞弊行为有什么看法，我都必须承认他们说得有道理。克雷奥拉州的选区划分方案 2 将议会中的多数席位给了橙党，尽管橙党的普选得票率落后于紫党。但如果这个州的紫党人集中分布在几个深紫色的都市区，而其周围是支持橙党的乡村，会怎么样？即使地图绘制者不做手脚，你可能也会遇到这种情况。如果紫党人用“格里蝾螈”地图坑害自己，那么这种不对称性的结果是否真的意味着不公平？
在向美国联邦最高法院提交的非当事人意见陈述中，威斯康星州司法部部长、共和党人布拉德·席梅尔指出，这正是威斯康星州实际发生的情况。在我居住的麦迪逊第 AD77 选区，民主党人托尼·埃弗斯获得了 28660 张选票，而共和党人斯科特·沃克仅获得了 3935 张选票。在密尔沃基第 10 选区，埃弗斯的领先优势更大，以 20621∶2428 的票数战胜了沃克。相比之下，共和党人在其所有获胜选区的领先优势都没有这么大。这并不是因为“格里蝾螈”地图让这些选区挤满了民主党选民，而是因为麦迪逊本来就是民主党的地盘。
席梅尔认为，按照表面上看似公平的标准，50∶50 的得票率应该产生接近 50∶50 的席位占比；但这实际上会对共和党人非常不利，不仅在威斯康星州如此，只要是民主党选民在人口密集的城市占多数的州（几乎美国的所有州），就会存在这种情况。但我没有谈及这个问题，原因如下。“格里蝾螈”地图的主要影响之一是，它将民主党选民都划入了高度同质化的选区，共和党人在这些选区毫无获胜的机会。在选民支持民主党热情高涨的年份，共和党候选人甚至不值得花时间参加竞选。例如，在 2018 年，威斯康星州的 99 个选区中有 30 个没有共和党候选人，而没有民主党候选人的选区只有 8 个。
在这 30 场没有竞争的竞选中，如果有任何一位共和党候选人愿意参选，那么每一场他都会获得一些选票。但 53% 这个数字似乎表明，那 30 个选区的选民对共和党毫无感情。
《几何学的力量》内容概要
对大多数人来说，几何学是一门充斥着枯燥刻板习题的课程，高中一毕业，它就和你的牙套、你曾经追过的流行歌曲一起，被扔进了“故纸堆”。当提起几何学时，如果你首先想到的是如何通过一系列步骤证明关于三角形的某个显而易见的性质，那么这并不是几何学，而只是几何学的很小一部分。打个比方，三角形之于几何学，就好比一个动词之于一部精彩的小说。
这本书要讲述的几何学远不是初高中课本呈现的那样，《魔鬼数学》作者、数学家乔丹·艾伦伯格带领我们展开了一场海阔天空的探索之旅，旅程的终极意义是：通过发现几何学的力量，我们能够更好地思考每一个现实问题，重新认识我们身边的世界。
一根吸管有几个洞？尼姆游戏的必胜玩法是什么？数字货币交易中的公钥和私钥是怎么生成的？我们如何做才能阻止一场流行病肆虐世界？人工智能在学下国际象棋方面得心应手，而在学习朗读句子方面却力不从心，这是为什么？古希腊的黄金分割比能用来预测股票市场的走势吗？如果你的孩子真想学会思考的方法，他们应该在学校学些什么？所有这些问题都跟几何学有关，千真万确。
“几何学”一词的最初含义是“丈量世界”，但经过漫长的发展历程，它的含义包罗万象，可以解释世间万物的运行机制。在这本书中，几何学变得更贴近现代世界，它能够解答关于政治、社会、数据、技术、宇宙等领域的重要问题，与生活在“几何城市”中的我们息息相关。
打开这本书，你会在手不释卷的同时连连惊叹于几何学的伟大力量。
数学经纬网 2023-03-28 21:59 发表于北京
页:
[1]