阿基米德是如何称出球的体积的？
阿基米德是如何称出球的体积的？作者 | 叶卢庆
各位朋友，大家晚上好。我是来自浙江省永嘉中学的数学教师叶卢庆，同时也是人民邮电出版社最近出版的《微积分溯源：伟大思想的历程》的翻译者之一，负责第一章的翻译。很高兴能参加图灵社区组织的图灵八点半活动。在这里我想分享《微积分溯源》中的一个小故事，就是阿基米德是如何用力学方法发现球的体积公式的。
图 1 .
我们知道数学的历史发展顺序和数学教科书中呈现的逻辑顺序往往是不一致的，对于微积分来说尤其如此。现在的微积分教材往往是先讲极限、再讲微分，然后讲积分和级数。但是在历史上，积分是最先被研究的，而极限的严格定义直到 19 世纪才完成。在学习体系严密的教科书之余，了解微积分发展的真实历史会给我们很大的启发，它让我们了解到各种数学概念产生的自然背景，以及数学家在创造数学的过程中表现出来的真实的激情和困惑。
对积分的研究在古希腊其实就已经开始了，因为当时的数学家提出和解决了一些涉及面积和体积的问题，而这些问题的解决必定会在本质上涉及到积分。阿基米德是其中一个伟大的先驱者。阿基米德是公元前 200 多年以前（注：约公元前 287—公元前 212）的大数学家、力学家、工程师。他有很多故事流传下来，比如他发明了一些武器帮助西西里岛抵御罗马人的侵略，还比如他在被罗马士兵杀死之前还在研究数学。为了纪念他，现在的数学界最高奖项之一菲尔兹奖奖章的正面印着的就是阿基米德像。
图 2 . 菲尔兹奖章正面的阿基米德像。图片来源：维基百科
大家来看这个菲尔兹奖章，上面有一列竖着写的希腊文，意思就是“阿基米德的像”，而奖章边缘绕着写的一行字是拉丁文，意思是“超越自我，掌握世界”。我想这就是数学的一个功能，他能帮助我们突破人类自身感官的局限性，用思维来理解世界的运行规律。
图 3 . 菲尔兹奖章的背面。图片来源：维基百科
在菲尔兹奖章的背面有一行拉丁文，意思是“汇聚全世界数学家，表彰杰出工作”。而菲尔兹奖得主本人的名字，以及得奖年份是刻在奖章的侧边上，是很小的一行字。除此之外，奖章背面还有几束橄榄枝，橄榄枝后面被遮住了一部分图形，这就是我们今天要重点讨论的内容。被遮住的这个东西其实是一个圆柱，圆柱里面内切了一个球。
这个东西是什么呢？它是阿基米德的墓碑。阿基米德最先发现了球的体积公式，他把发现的结果表述为“球的体积是容纳球的最小圆柱体积的 2/3 ”.这是他一生最珍视的结果，所以他把这个结果刻在自己的墓碑上。当然现在这个墓碑已经找不到了，但是它刻在了数学界最高奖的奖章上。
图 4 . 容纳球的最小圆柱。图片来源：文献
我们都在高中学过球的体积公式，知道球的体积 V 等于 4πr^3/3 ，其中 r 是球的半径。那么问题来了，阿基米德为什么不直接写出这个公式作为球的体积公式，而是看似“多此一举”地额外引进一个圆柱呢？这里我稍微解释一下，因为在古希腊的时候，数学约等于图形几何学，我们知道平面几何的逻辑体系就是古希腊数学家整理出来的，可以说它们对几何图形的研究已经炉火纯青，相比之下代数学就没发展得那么好。那时候的数学家习惯用图形之间的关系来表达公式、呈现推理。在 18 世纪早期人们才第一次用 π 来表示圆的周长与直径之比（欧拉推广了这个记号）。阿基米德出生得太早了！
其实稍微想一下就可以知道阿基米德的结果和我们现在已知的球的体积公式是等价的：圆柱的底面半径为 r ，高为 2r ，可得圆柱的体积是 πr^2×2r = 2πr^3 。圆柱体积的 2/3 是 2πr^3×2/3 = 4πr^3/3 。
图 5 .
当然，这些结果都是基于后来数学的发展之上的，比如积分号是莱布尼兹引入的，而微积分基本定理是牛顿和莱布尼兹发现的。阿基米德本人不可能这样做。下面我们来介绍阿基米德的独特方法。
图 6 . 图片来源：文献
如图 6 ，阿基米德将球面看作圆绕其直径 AB 旋转一周所得， 而且设想球体由垂直于直径 AB 的薄片堆积而成，下面这幅将苹果切成片的图是一个形象的展示。
图 7 .
当然，我们实际上切成的薄片要薄得多，以至于每个薄片的厚度是个无穷小量.就像图 8 里这样，我们可以用金黄的颜色标出其中一块薄片的边缘。
图 8 .
图 9 .
图 10 . 图片来源：网站
复习一下，杠杆原理说的是，给一个支点，支点上放一根重量不计的杠杆，杠杆两边放两个重物 A , B 。则杠杆保持平衡的条件是 A 的质量乘以 A 到支点的距离，等于 B 的质量，乘以 B 到支点的距离。
图 11 . 杠杆保持平衡。图片来源：文献
图 12 . 图片来源：文献，稍作了修改
这一切都被阿基米德记载在他的著作《力学定理的方法》中。这是阿基米德差点失传的著作，直到 1906 年才被人从一本羊皮书中发现，书中阿基米德的文字已经被人擦掉，用其它文字覆盖了。后来人们用各种高科技，比如 X 光线照射，重新显现出了阿基米德的文字。
图 13 .《力学定理的方法》。图片来源：网站
正如《微积分溯源》的作者 Bressoud 指出的：
《力学定理的方法》是阿基米德写给同时代的数学家埃拉托斯特尼的书，里面阐述了计算面积、体积和力矩的方法。书中展示了积分学的核心思想，包括对无穷小量的运用，只不过阿基米德在书写形式证明的时候隐藏了这些想法。
只要数学继续存在，阿基米德在求解数学问题中体现出来的创造力将永远流传下去，阿基米德是永恒的数学家。我的分享就到这里。
谢谢大家。
参考文献：
David M.Bressoud 著；陈见柯、林开亮、叶卢庆译. 微积分溯源——伟大思想的历程. 北京：人民邮电出版社， 2022.11
Science Photo Library：https://www.sciencephoto.com/media/1194141/view
https://www.theguardian.com/books/2011/oct/26/archimedes-palimpsest-ahead-of-time
原创 叶卢庆 好玩的数学 2023-02-16 07:00 发表于江西
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