我们能使数学易懂吗？
我们能使数学易懂吗？作者 | R. P. Boas
翻译 | 朱学贤
校正 | 冷生明、潘承彪
来源 |《等周问题与夫妇入座问题》P144-155.
为什么我们数学家会有不被人理解而感到为难的时候？许多人对数学表示反感，并把产生这种反感的原因归咎于自己的老师，其中有些是正确的但有些是错误的。学生们抱怨说读不懂自己的教科书，我当学生时情形就是如此，或许还要早得多。其它学科的专业人员不情愿地去写自己报告中的数学部分，它使他们感到头疼。然而，直到担任了本《月刊》（《美国数学月刊（American Mathematical Monthly）》——译者注）的编辑之后，我才真正体会到，对于一个数学家来说，所写的东西即使要让别的数学家看懂（同专业的人除外），也是十分困难的。许多稿件被退回，不是由于数学上的缺陷，而是因为普遍缺乏易懂性，而且这类稿件数量之大是令人震惊的。我的一位前任 35 年前就有过非常相同的体会。从另一个角度来看，为什么在数学的讲解和著述中，我们所采用的方式往往总是戏剧性地干扰我们明显想要达到的目标呢？我希望自己能弄明白。至少，我能提出几条原则，它们常常被数学教师和数学著作者违背。这些原则之所以被违背，也许是因为，它们与在我的许多同时代人看来是不言而喻的真理相矛盾（这些原则也与关于如何教授数学的美国数学会报告没有什么共同之处）。
抽象定义（Abstract Definitions）假定你要给一个很小的孩子讲“猫”的概念。你是否要解释说，猫是一种比较小的基本上食肉的哺乳动物，有能缩进去的爪子，并能发出一种独特的叫声等等呢？我敢断定你一定不会这样做。你可能会带这孩子去观察许多不同的猫，每次都亲昵地称它们“小猫咪”，直到孩子有了“猫”的概念为止。推广开来看，普遍性最好是由经验抽象得来。它们——这些具体的实物——应该在某个时刻归结为一个（抽象的概念）；否则，具体实物记得太多就会使脑子负担不了。
有一个检验法，可以在早期鉴别出某些人可能是未来的专业数学工作者，他们是这样一些学生，能迅速领会以“设 x 是一个有序的五元组（a，T，π，σ，R），其中······”作为开头的句子。如果有的人加上一句，“先前我从来没有真正读懂它”，则他（她）兴许更有指望。当然，并不是说，所有的专业数学工作者都是这样；但是，如果你连这样的句子都不能理解，那就很难成为一个专业数学家。
然而，除非你特别幸运，否则你的大多数听众将会是这样一些人：他们不是专业数学家，或者不想成为数学家，或者永远不可能成为专业数学家。一开始，他们就将听不懂你以一个抽象的定义（更不用说马上给出一打）出发的任何东西，因为他们还不清楚可以概括出这一抽象定义的任何具体实物。请不要马上给我递条子，气愤地说什么抽象和概括对于数学的发展是何等的重要。我知道这一点，但我确信，Banach 在写下 Banach 空间的公理时，他的脑子里已有许多特殊的空间作为模型。此外，我在这里仅仅是讨论数学的交流，而不是在谈它的创造。
举个例子来说，如果你要给一个中等程度的班级讲解如何求一点到一个平面的距离，那么你应该首先去求，比如说，从点（2，-3，1）到平面 x-2y-4z+7=0 的距离。因为这样一来，一般的做法就几乎是很显然的了。教科书通常都是这样写的。有一条很好的一般原则：如果你的介绍已经具体到你认为应该做到的 2 倍，那么实际上，你最多只是到达了它理应做到的一半（着重点为译者所加）。
要记住的是，你是年复一年地在与数学家打交道。因此，你可能不仅仅是像数学家那样思考，而且认为每一个人也都是像数学家那样思考。但是，任何一个不是数学家的人都会告诉你情况不是这样。
类似（或类比）（Analogy） 在解释一个新概念时，如果你说它类似于大家熟悉的另一个概念，则听众就能比较好地理解。但有时这种做法也会落空，这与听众对那个被类似的概念的理解程度有关。积分是和的极限；因此我们会认为，由于和比较简单（没有极限过程！），根据相似性，学生们就会推断，和具有什么性质，积分也将具有什么性质。难道他们不会这样做吗？但实际情况看来并不如此.对许多人来说，积分比和容易，这里也许有着某些深刻的原因。
词汇（Vocabulary） 决不要毫无必要地引进专业术语。如果你要谈到可数多个开集的交，且只提一次！则没有必要去定义 Fδ 和 Gδ 这类概念。
有人曾要我相信，如果没有现代线性代数的专门术语，则任何人都不能真正理解线性方程组。如果你相信这一点，那你想必是忘记了，在线性代数的现代术语创造出来之前许多年，人们就已经很好地理解了线性方程组。专业术语能使叙述简洁，但简洁并不是清晰表述的全部含意。当然，利用现代专业术语还能使我们所讲述的内容超过用过时的形式所表达的内容。但是，如果这样做的话，那么在一门课开始的时候，学生的主要精力将不得不用于去记住词汇，而这本来可以用来更有效地学习数学。付出较多的注意力于词汇而不是内容本身，将会使内容失色。这就是为什么会使得一些学生认为：Riemann 积分与 Lebesgue 积分之间的实质性差别在于，一种是分割 x 轴而另一种是分割 y 轴的原因所在。
如果你认为你能创造出比现时流行的要好得多的词汇，毫无疑问，你是对的.但遗憾的是，除了你自己的学生以外，你不可能赢得许多人去使用你创造的词汇；更为冷酷的事实是，在读其他任何人的著作时，你的学生将会感到很困难。每个世纪，只要有一个 Bourbaki 就会生产出足够整个数学社会所能吸收的所有新名词。
任何时候，如果你不得不创造一些新名词，那你至少要不怕麻烦地去弄清楚它们没有已经被用于去表示别的不同的意思。“分布”一词现在在概率论和泛函分析中被赋予不同的意义，这无助于交流。另一方面，如果你要用到一些旧的现时已不流行的词汇，那么最好是解释清楚它们的含意，我的一位朋友曾被一个阅历不深的稿人指责为“创造”稀奇古怪的名词，其实那是 Kepler 创造的。
特别危险的是，你假设听众已经理解了你的词汇，或者设想这些词汇对于你和对于其他人所表达的意思是完全一样的。我认识某个人，他认为只要是高中毕业的人就知道有关 Fourier 变换的所有内容，但实际情形并不如此，相反的证据很多，另外一些人以为每一个人都明白他们所说的 Abel 定理的内容，因而从不说明他们引用的究竟是 Abel 许多定理中的哪一条。
更为严重的一个问题来自于我称之为是衰老性（geratolo-gisms）的现象（如果这没有违背我的原则的话），即：有些在通常的讲话和文章中即使没有被实际废弃的词汇和用语，也正逐渐不常使用而变得过时了。现代文章的风格比 19 世纪的更简洁和更直接，但数学教科书要除外。就在写这篇文章时，我还从一本微积分书上受到“教益”。这本书以这样一个问题开始：“梁的强度的改变正比于······”（The strength of a beam varies directly as······）。我不知道变化（variation）这一行话在高级中学中是否还在使用，但我从来没有听说过这样的事：在一个 45 人的班中，只有一个学生（而且还是一个外国人）知道一点儿这段话的意思，如果你要责备学生，那就责备高级中学吧；至于我，却要责备这本教科书的作者，因为他并没有意识到现时学生所用的语言已不同了。另一本流行的微积分书上说，“以百万分率表示的微粒的浓度，理论上按平方反比率减少（Partic-ulate matter concentrations in parts per million theoretically decrease by an inverse square law）”。你要用这种说法在《每周新闻》，甚至在《纽约人》上写文章是一定通不过的，但在教科书中却······。
教科书的作者（讲课人也一样）应该始终记住的是，要设想自己是在给学生，而不是在给教师演讲。什么是一个函数？教科书希望你说类似于这样的话：“它是一个规则，把每一个实数与一个唯一指定的实数相联系。”这段话确实定义了函数，但所用的方式却使学生难以理解。Poincaré 在 1909 年就已指出问题的要害：“只有学生能理解的定义才是令人满意的”，但看来数学教师们并没有十分注意这一点。
符号（Symbolism）是一类特殊的专业术语。没有它，数学就不可能进步。数学上的大量进展依赖于创造合适的符号体系。但是，千万不要让我们变得如此着迷于符号以致忘记了它们所代表的东西。我们的听众（不管他们是在听讲还是在阅读）对符号的熟悉程度比我们差。举一个简单例子。说“设 f 属于 L^2 ”而不是说“设 f 是一个可测函数而且平方可积”，这并不是一个好的做法，除非你已确信听众熟悉这一符号。而且，如果你实际上并不打算将集合 L^2 作为一个 Hilbert 空间来使用，而仅仅用到它的元素，即函数所具有的性质，那么空间的结构与这些性质毫不相干。因此，说得委婉些，提到它无非是有一点炫耀的意思，但它确是一种炫耀。如果听众不知道这一符号，他们就会感到神秘；但如果听众熟悉这一符号，他们就会奇怪你何时才谈及主题。
我的那些关于新专业术语的意见对于新的符号体系更为适用。切忌不必要地去创造新的符号体系或去改变旧的一套；但要允许（如果有必要的话）用法变化，同时要解释新旧用法的同义性。如果在你的文章中，Φ(x) 在其它地方还表示 P(x) 或 P(x)+1/2 或 F(x) ，则必须这样做。记号的不负责任的改动已经造成了足够多的麻烦。我不知道是谁在球坐标系中首先使用 θ 去表示方位角而不是表示余纬角的，以往几乎普遍如此，现在在物理学和高等数学中仍在使用。表面看来，这是一种合理的规定，因为它使得这里的，与平面极坐标系中的相同，但由于两者中的 r 完全不一样，所以好处并不大。可糟糕的却是，在学完了初等微积分之后，学生还得再学一遍所有的这些公式。这种复杂性虽然迷惑不了一些坚定的纯粹数学家（他们能一眼看出 Newton 第二运动定律能表成 v=d(Rq)/dσ ，但确实迷惑住了许多学生，而且还激怒了物理学家。
证明（Proofs） 只有专业数学家才从证明中学习一切。其他人都从阐述中学习。但我不信，即使是数学家，在他们不熟悉的领域里也是从证明中学到许多东西的。大多数工作能够由论述来完成，这些论述还称不上是规范的证明。我听说有一位数学教授（我不愿意说他是“教师”）花了整整一学期时间，在非常一般性的假定条件下，给学生证明 Cauchy 积分定理。其实，讲一些特殊情形并举一些例子能使人更相信结论是正确的，这样还可留出时间去接触更多类型的及更有意思的材料。此外，还能让听众有较好的准备去理解、应用、推广以至讲授 Cauchy 定理。
不记得是谁第一个这样说过：什么是一件毛衣呢？它就是当爸爸（或妈妈）感到冷的时候，他（或她）的孩子所要穿上的；而一个证明就是当老师感到一条定理模模糊糊不大可靠时，学生们所必须听的。有人曾经说过[7］：“有些最重要的结果······刚一看到会使人如此惊奇，以致除了证明之外，没有任何东西能使它们被人相信。”但这类事情远比你想像的要少得多。
有经验的父母都知道，当孩子问“为什么？”时，他并不一定是希望听到解释，或许只是想和你多聊聊。同样的原则也适用于学生对证明的询问。
严格性（Rigor）这是一个经常与普遍性或完全性相混淆的概念。我认为（不管评论家们会说些什么），在讲述一条定理的特殊情形，而不是讲述你所知道的最一般的情形时，或者在讲述一个简单的充分条件而不是最复杂的一个充分条件时，没有什么东西是不严格的。例如，在讲述 Fourier 级数的 Dirichlet 判别法时，我喜欢讲函数“逐段单调且有界”，它比“有界变差”的条件容易被学生理解；而且事实上，在（后来要学的）许多定理中同样有效。
强制对方听你叙述你所知道的一切，是妨碍有效交流的最坏的敌人之一。如果我们，比如说，能使自己承认，虽然物理系的学生需要某些 Fourier 分析的知识用于量子力学，但这并不需要花费整整一个学期——两个星期就差不多的话，我们和物理系的关系就会融洽得多。
对方需要多少就讲多少，过分详尽是和卖弄学问紧密相连的。用我的话来说，这是“过分地强调意义不大的细节”。
这里可以举个例子。假定学生在求一个可微函数f的极小值，他们求得驻点是 x=2 和 x=5 ，除此之外没有别的驻点。再假定他们不想用（或者被告知不要用）二阶导数判别法。有些教科书会告诉他们，对于所有很小的 h 去检查 f(2+h) 和 f(2-h) 。而学生自然喜欢去检查 f(3) 和 f(1) 。卖弄学问的教师就会说“不行”，而诚实的教师就会允许用不越过另一个驻点的任意一点来检查。
热情（Enthusiasm） 教师们经常被鼓励去表现对自己学科不适当的热情。你可曾听过一个真正热情的专门家滔滔不绝地演讲一些你不知道而且也根本不想知道一丁点儿有关信息的事情吗？比如说，12 世纪时波尔达维亚（Poldavia）的青铜货币，或者“关于”附属字 De 的学说”？好吧，那就······
技巧（Skills）许多数学家为养家糊口而讲授的大部分数学，是由诸如初等代数、微积分或数值计算等这样一些学科组成的——简言之，即技巧，判断一个学生是否已经掌握了一种技巧，或者如我们所喜欢说的那样，是否“真正”学会了一门学科，并不总是一件容易的事情。其中的困难非常类似于去判断类人猿能否按一种在语言学中有兴趣的方式使用语言那样；或者去判断当它们按开关和挥手时是否已变得很有心智那样：数学技巧和任何一种别的技巧都是相同的。如果你学弹钢琴，一般总是在别人指导下以实践开始，绝不会以声音振动及钢琴内部结构的理论课开始。数学技巧的学习也是如此。我们经常读到或听到人们在比较讲课和讨论的优点，仿佛它们是指导学生仅有的两种方式。其实，学生在有人指导下自己实践是另一种十分有效的方式。遗憾的是，这既不符合传统，付出的代价又太高。
在相当大的程度上，甚至数学研究也是一种可以教授的技巧。G. H. Hardy 的一个学生有一次向我描述这是如何实现的。如果你是 Hardy 的学生，他会给你提出一个问题，他相信你能解出这个问题。一旦解出来了，他便要你在某种较特殊的情形中推广这个结果。如果你又做到了，他就会提出另一种推广。这样一直做下去。在一定数量的重复之后，你就会自己发现（并解决）问题。这样做的结果，虽然你不一定会学成第二个 Gauss ，但你必定能学会做有益的工作。
讲课（Lectures）这对于激发热情是重要的。作为一种教育手段，当印刷术发明之后，它理应被逐渐废弃。当静电复印机问世后，我们又有了第二次机会，但看来也已经错过了。如果你必须讲课，则至少要能分发你准备讲的（或希望你讲的）材料。我认识一些数学家，他们坚决主张，只有通过讲课才能表达他们对自己学科的个人看法，在高层次上，即对于那些准备成为专门家的学生说来，这或许是对的。但是，我怀疑这些数学家的个人看法是否真正值得去学习，而且即便值得学习的话，难道就不能通过别的途径（比如，在咖啡馆里喝咖啡）让学生更好地了解吗？
一个伟大的秘密是，人怎么能从一堆难以理解的胡说中抽象出有用的信息？事实上，我们不但能而且正是这样做的。例如，读读 Morris Klein 的著作中关于微积分教学历史的章节就可以知道了。我们拥有的这种才能也许能解释讲课的大众性。一次难以理解的演讲是不行的，整个课程或许还会有点效果，但一本难以读懂的书是永远不可能取得效果的。我仍然坚持，一本容易读懂的书要更好些。
结论对于那些刚当教师的人，我常常建议他们：“想想你老师所做的那些你特别不喜欢的事情——并且自己不要去做。”迄今为止，这看来仍是一条好的建议，但还远远不够。对于本文标题中的问题，我的一点不成熟的看法是：“能，但不能由自我完善的办法来做到。”除非而且直到你了解了自己的听众之后，才能指望有效地交流（不管是在课堂上还是在写作中）。这不是一门容易学会的课程。
注：
1. Can we make mathematics intelligible? Amer.Math. Monlhdy, 88(1981), 727731.
2. Ralph Philip Boas 是著名数学家，1978—1981年担任《美国数学月刊》主编，本文从认识论的角度就数学的教育与研究——实质上是对整个数学的发展——发表了他的看法，看完文章后，你不一定会全部同意他的观点，但毫无疑问的是，他所提出的八个方面的问题和意见是值得每个关心数学教育和数学发展的人深思的。——编者注
3. Bourbaki 是一个数学学派，认为整个数学应统一地建立在一套完备的基础上.有关介绍可参看《数学译林》：3(1980)，65-70；3（1984)，274-281；5(1986)，234-237；5(1986)，341-346.——译者注
参考文献
See, for example,Sydney.J. Harris, Column for February 9, 1980,
Chicago Sun-Times and elsewhere.
L.R. Ford,Retrospect,Amer. Math. Munthly,53（1946）,582-585. College Mathematics:Suggestions on How to Teach it, Mathenatical As-sociation of America,1972.
D.R.Stoutemyer, Symbolic computation comes of age, SIAM Nes,
12,no.6（December 1979）1,2,9. ·
The same point has been made by P.R. Halmos in How to Write Math-ematics, L'Enseignement mathe'matique,（2）16（1970）,123—152.154
H.Poincaré,Science et méthode,1909 Book I,Chapter 2.
H.and B.S .Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, 2nd ed., Cambridge University Press，1950,p.v.
Robert Browning, “A Grammarian's Funeral,”in The Complete Poetic and Dramatic Works of Robert Browning, Houghton Mifflin, Boston and New York,1895,pp.279-280.
For example .E.S.Savage-Rumbaugh, D.M.Rumbaugh,and S. Boy- sen,Do apes use language? Amer. Scientist,68（1980）,49-61.
Morris Kline, Mathematics: The Loss of Certainty,Oxford University Press,New York,1980.
R. P. Boas 好玩的数学 2023-02-11 07:00 发表于江西
宇宙结构结构关系，
去伪存真不留抽象，
天圆地方万物皆数，
勾三股四万数皆形！
本帖最后由 波斯猫猫 于 2023-2-13 16:33 编辑
看标题：我们能使数学易懂吗？即使能做到“易懂”，那也是相对的，及为有限的。这是由数学本身的繁杂性，抽象性，严谨性和逻辑性等特性决定了的。越往上走，就会有越来越多的人掉入深渊。
举个简单的例子：在数轴（1）上表示数的点（2）到原点（3）的距离（4）叫做这个数的绝对值（5）。你怎么才能让初中一册班的小朋友真正“易懂”！？
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