第一张对数表是怎样制作出来的
第一张对数表是怎样制作出来的撰文 | 陈纪修（复旦大学数学科学学院教授）
在 400 多年前，人类还没有发明计算机，还只能做加、减、乘、除等简单运算。但是随着科学技术的发展，特别是随着天文学和力学的迅速发展，科学家要面对许多复杂的计算，这就促使他们去寻找简化复杂计算的方法。对数运算与对数表就是在这样的背景下产生的。
人们应该把造出第一张对数表归功于乔伯斯特-别尔基（Jobst Burgi，1552-1632）和约翰-纳皮尔（John Napier，1550-1617）。他们在制作对数表的过程中所花费的巨大的劳动使人惊讶。法国数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace，1749-1827）说：一个人的寿命如果不拿他在世上的时间长短来计算，而是拿他一生中的工作多少来衡量，那么可以说，对数的发明等于延长了人类的寿命。
恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为十七世纪三个“最重要的数学方法”，而对数的计算又离不开对数表，由此可知对数表的制作成功对科学发展的重要意义。
乔伯斯特-别尔基出生于瑞士，是一个能干的钟表匠和天文仪器技师，他没有受过高等教育，他取得的成就完全是靠他突出的才能与勤奋的工作。他和发现行星运行三大定律的德国著名科学家开普勒（Kepler，1571-1630）一起工作，因为需要进行大量的计算，这就促使他去寻找快速计算的方法。
约翰-纳皮尔是苏格兰人，他也不是职业数学家，但是他受过良好的教育，是一个天文学和数学的爱好者。他完全独立地和别尔基同时开展着类似的研究。他用了 20 年的时间来制作第一张对数表，在这过程中，他始终怀着一个崇高的目标：减轻未来计算人员的劳动。
下面我们来看看他们是怎样制作对数表的。
由于对数运算有换底公式
所以只要选择一个适当的底，关于这个底制作出对数表，则关于其他底的对数表就很容易制作出来了。那么以什么数作为底最合适呢？
首先，对数表需要满足一个基本条件：表中对数的间隔要充分小，而真数的间隔也要充分小（例如为 0.0001 ）。这样当我们从真数求对数时，很容易在表中找到这个真数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的对数值；而当我们从对数求真数时，也很容易在表中找到这个对数的精确值或近似值，从而很快在同一行读出它的真数值。
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因为我们使用的是 10 进制，所以先试一下以 10 作为底是否合适。
这个表的左边对数部分的间隔很小，是 0.0001 ，但右边真数部分的计算非常困难，需要对 10，100，1000，10000 等数求 10000 次根，这简直是无法计算的。
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现在这个表右边真数部分的计算不困难了，但这个表不符合我们的要求，虽然对数的间隔比较小（0.0001），但是真数的间隔太大，而且增加太快。
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底缩小后，真数这一列间隔也缩小了，但是仍然太大，而且增加也很快。
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从以上几张表我们可以发现，我们取的底应该是一个指数形式，指数是一个比较大的数，如 10000 ，而底越接近 1 ，真数这一列的间隔就越小。
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我们发现这张表已经满足我们前面提出的要求了：真数和对数都按照单调增加的序列排列，而且间隔都非常小。
因此，现在用的对数有两种，一种叫自然对数，它以数 e 为底，另一种叫常用对数，它以 10 为底。
本文转载自微信公众号“和乐数学”。
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