永恒的疑惧和伟大的妥协——谈数学建模对数学德育的意义
永恒的疑惧和伟大的妥协——谈数学建模对数学德育的意义原创 朱浩楠 遇见数学 2020-02-11 07:16
数学建模的意义有如下四方面：
● 帮助学生更好地理解世界；
● 帮助学生学习数学(学习动机、概念的形成和理解、学习成果的保持及提升)；
● 帮助学生发展数学能力和数学价值观；
● 帮助学生了解数学全貌。
译自 Blum, W., & Niss, M. (1991). Applied Mathematical Problem Solving, Modelling, Applications, and Links to Other Subjects – State, Trends and Issues in Mathematics Instruction. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 37–68.
本文关注于国内的问题。在国内以往的中学数学教研活动、教育教学实践中，极少涉及德育，让人感觉数学和德育没有关系。这是一个有害的错误认识，它造成的直接后果，就是使得学生认为数学是冰冷的数字、字母和公式的组合，和人的情感没有关系，和社会的伦理没有关系，和普世价值观没有关系。
图 1 任何人都难免讨厌密密麻麻不明确实际意义的公式。（图片取自网络）
如果是智能时代之前，这种认识不会显得那么突出，因为人们在价值判断时可以抛开数学；但是在智能时代，随着人工智能技术的发展，越来越多的生活场景，甚至决策场景，背后都是数学算法。人们怪罪自动驾驶汽车在某些场合下的决策失误造成不可逆伤害，其实并非是在怪罪汽车——那充其量只是一个搭载了很多电子器件的铁疙瘩——人们怪罪的是给汽车设计自动驾驶算法的工程师。任何一个工程师都不希望自己的算法导致车祸，这一点不必怀疑，但是当一个场景下允许多样化决策，同时不同决策又会造成不同后果（类似于著名的电车难题）时，如何选择最终的决策，就不再是像解一道答案唯一的数学习题那样简单了。
在数学建模实验室课程中，我经常对学员讲：你们现在对于每一种方法和知识的掌握程度、理解深度、应用水平，都直接关系到将来成千上万条鲜活的人命。你可以选择不去负担这种道德压力，但相应地，你也不会被委以重任。俗语说“能力越大，责任越大”，其实指的是当你想在某个岗位上发挥你更多的才华、创造更大的价值，你就必然会承担更多的风险，和更多的道德压力。
图 2 电车难题：你会选择让飞驰的列车碾过哪条铁轨？（图片取自网络）
数学有自己的特殊性，尤其是以往中学课内的数学，绝大多数的习题都有固定的套路和答案，并不需要学生做出价值判断。如果一个学生把一道习题做出了两种截然相悖的结果，那他自己就会给自己下一个“做错了”的结论。但是现实世界真的如此吗？
严格地说，这个世界没有正义，只有正义感；没有价值，只有价值观。不同价值观的人们做出的决策很可能截然相反，不同身份的人所认为的正义也不尽相同。
对于菜市场里买菜的商贩，他辛苦劳作了一年，能把自己的劳动成果卖出一个好价钱，以此改善家人生活，就是他的正义；而对于家里上有老下有小、丈夫因病丧失了劳动能力的一位妇女来说，能把菜价砍到最低，以此降低家人的生活负担，就是她的正义。二人都有完全合理的价值观，也都把握着自己的正义，但是如果二人固执己见，不做妥协，那么只能达成最差的后果——商贩没有卖出商品，没有获得收入；妇人没有买到商品，巧妇难为无米之炊。现实生活中，二人一定会进行你来我往的讨价还价，最终确定的价格会低于商贩最初的定价，但也会高于妇人最理想的价格，二人形成了一个避免双输、互相有所盈利的妥协。
图 3 菜市场里的讨价还价是梯度下降法的一个现实实例。（图片取自网络）
粗略地讲，其实菜市场里商贩和妇人之间讨价还价的过程，就是现在深度学习的基本训练算法——梯度下降法——的现实版本。现实的世界并不比听起来玄妙的新技术落后多少，实际上目前还没有一个人工智能算法能成功地实现“讨价还价并依据因人而异的现实情况最终达成最适当的妥协”这个功能。
人们总说“伟大的妥协”，但是其实妥协的伟大需要精妙的艺术，尤其是数学的艺术。这门艺术在智能时代将发挥它前所未有的强大助力，将人类文明代入可能的 Ⅱ 型文明。
图 4 卡尔达舍夫等级是一种用来衡量一个文明的技术的先进等级的方法，以一个文明能用来与通讯交流外行星的能量的多少为基础。
I 型文明 ：该文明可以主宰这颗行星以及周围卫星能源的总和；
II 型文明 ：该文明能够收集整个恒星系统的能源；
III 型文明 ：该文明可以利用银河系系统的能源而为其所用。
目前人类文明的卡尔达舍夫等级约为 0.73 。（图片取自网络）
科技是把双刃剑，任何强大的力量，都需要配合相应的德育。阳光下一定有阴影，我们需要让未来社会的中流砥柱具有分辨阴影和阳光、迎接阳光并容纳阴影的能力。
目前来看，数学建模是数学德育的最好土壤。数学建模强调“一个问题在不同的基本假设下有不同的解答”，这其实和“不同的公理系统才能推导出不同的知识体系”等价。数学建模最重要的一环，并非是求解模型的过程——虽然模型求解不可或缺——但是铆定基本假设，并依据基本假设构建模型的过程更为核心。一个好的数学建模教学课堂应该让学生对于基本假设的选取有充分的讨论甚至辩论，并对模型建立有充分地思考和解读。习惯了传统数学课堂的教师可能不容易理解这样做的价值，也可能想不清楚这背后的难点——其实很多时候，学生选择了他认为正确的基本假设，但是他的数学能力和数学知识储备没有办法帮他建立此基本假设下的数学模型，这时如何添加新的基本假设，在进一步简化问题的同时保留自己对于问题的观点，是一个非常体现学生科学素养，尤其是数学素养和人文素养的成长节点。
图 5 新课标中的数学学科核心素养，数学建模起到枢纽作用。
强调数学的德育作用，最终的目的一定是为了让人们更加幸福。如果一个人在看到问题时首先就凭感觉给出一个结论，然后不断寻找数据来“验证”这个先验结论，即使看到某些数据与自己的结论不符合也不愿做出调整，那么他就陷入了万劫不复的痛苦泥潭。数学建模给了人们一种研究问题的方法，从基本假设出发，而非从假想的结论出发，在基本假设的公理体系下，结合数据挖掘现象背后的数学模式，并用严谨的数学方法去分析，进而得到在相应基本假设下可证明、可应用、可发表的成果。整个过程不是从“我觉得......是对的，我要找证据来说明我是对的”，而是“我在这些基本假设下发现了这些现象，我建立一个模型看一看它的数学模式，看看能推出什么结论”，前者是妄想自己赢过自然，后者是接纳和理解自然。
图 6 评判数学建模成果的 APP 原则：可应用、可证明、可发表。
英国哲学家休谟说：“我们被放在这有如戏院的世界上，每个事件的起源和缘由却完全隐瞒不让我们知道，我们既没有足够的智慧预见未来，也没有能力防止那些使我们不断受伤害的不幸事件发生。我们被悬挂在永恒的疑惧之中。”数学建模的方法指导着人们利用数学解构大自然的构造、窥探大自然的奥秘、挖掘现象背后的真相、想象未来事项的可能。这帮助减少人类的疑惧。
图 7 位于苏格兰高级法院大楼前大卫·休谟的雕像，建于 1995 年。（图片取自网络）
一个真正优秀的学生一定是对于学习充满持续的激情和幸福感的人，他们敬畏自然、尊重历史、相信科学、满怀希望。这种持续的激情和幸福感绝不会来自于和他人比较的沾沾自喜或者焦虑难堪之中，也绝不会来自于短暂的功利性成就之中，而是诞生在站在先贤的肩膀上一同闪耀光芒的探寻真理的美妙时光中。(完)
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