几何教授的几何趣题
几何教授的几何趣题作者 | 林开亮（西北农林科技大学理学院）
1998 年，当我还是一名初三的学生时，在同学李明的一本中考复习书上，见到一个有趣的练习：
在下述矩形中，已知三个角上的三角形的面积分别 为 3，4，5，求中间的三角形的面积。
我想破脑壳也没想出来，翻了书后的参考答案，才恍然大悟！
读者见谅，记忆所限，此处省略几行文字，含设未知 数、列方程、解方程。也许聪明的读者可以补充完整。
当然，你也可以问一问 ChatGPT 能不能求解？
几年前，我把这个问题作为思考题分享到网上，没想到南开大学陈省身数学所的唐梓洲教授和清华大学的扶磊教授提出了一个优美的几何解法，连小学生都可以明白。
他们的解法如下：
我估计 ChatGPT 很难给出这样的解法，也很难学会两位数学教授的高招。
为方便读者，我翻译成文字表达：
设 F 是 BC 的中点。由于
5 = 3 + 2 ,
这就意味着, 三角形 AEB 的面积等于三角形 EGD 的面积与三角形 GCF 的面积之和。注意
AB = DG + GC ,
于是 AE 大于 ED 不可能，同样 AE 小于 ED 也不 可能。从而必定有
AE = ED .
从而
长方形 ABCD 的面积 = 4倍三角形 BAE 的面积 = 4 × 5 = 20 .
进而
三角形 BEG 的面积 = 20 - (3 + 4 + 5) = 8 .
近日，唐梓洲老师给我分享了上边这个题目的一个变形。借花献佛，我转赠给诸位爱几何、爱数学、爱思考的朋友：
我特别想知道的是：有没有哪位聪明的小学生朋友能够解决这个问题？ 小学生朋友解此类题，用“凑”的方法也是蛮有趣的。
记3=3(水平)×2(垂直)/2,2=1(水平)×4(垂直)/2,验算6=(3-1)(水平)×(2+4)(垂直)/2,
“凑”的数会有很多串，不定成功，马上换，培养的是数感。有规律，但不定是说出来。
记5=5(水平)×2(垂直)/2,3=3(水平)×2(垂直)/2,验算4=(5-3)(水平)×(2+2)(垂直)/2, 好题！谢谢高人！谢谢陆老师！让大家分享！
如果是中学生了，可以这样想。
这就是个正方形(不是长方形，面积一类的题，胆子要足够大)!
\(\big(\frac{2*3}{x}-x\big)\big(\frac{2*6}{x}-x\big)=2*2\)
\(\big(\frac{2*s}{x}-x\big)\big(\frac{2*t}{x}-x\big)=2*u\)
x是正方形边长，可以搞个通项公式，各位网友！动手试试。
本帖最后由 王守恩 于 2022-12-19 05:45 编辑
好题！谢谢高人！谢谢陆老师！让大家分享！如果你是老师，肯定得把题目先准备好。
接 1 楼: 在下述矩形中, 已知三个角上的三角形的面积分别为 3,4,5, 求中间的三角形的面积。
3,4,5 是一组, 把 3,4,5 改成 3 个 >1 的1位不同整数, 且满足矩形的长与宽也是整数(题意不变)，
这样的组合只有 23 组，3,4,5 是一组，2,3,6 是一组，还有 21 组，你能找出来吗？
谢谢 ysr!改一下：1位不同整数 手里的备选题要多，试想：同学的氛围起来了，你可以在黑板上尽量出题，你做得到吗？
接 1 楼: 在下述矩形中, 已知三个角上的三角形的面积分别为 3,4,5, 求中间的三角形的面积。
3,4,5 是一组, 把 3,4,5 改成 3 个 >1 的1位不同整数, 且满足矩形的长与宽也是整数(题意不变)，
这样的组合有 23 组，第1个数表示2边都不在整边的数，
01, 2,3,6,
02, 2,4,9,
03, 2,5,6,
04, 2,6,8,
05, 3,2,4,
06, 3,4,5,
07, 3,7,8,
08, 4,2,5,
09, 4,5,9,
10, 4,6,7,
11, 5,2,6,
12, 5,4,7,
13, 5,6,8,
14, 5,8,9,
15, 6,2,7,
16, 6,3,4,
17, 6,4,8,
18, 7,2,8,
19, 7,4,9,
20, 8,2,9,
21, 8,3,5,
22, 8,7,9
23, 9,5,8, 把楼上的23个答案分配一下(第3个数表示2边都不在完整边的那个三角形)。
04有01组: 2,4,3,
05有03组: 4,5,3, 2,5,4,
06有07组: 3,6,2, 5,6,2, 2,6,5, 3,4,6,
07有10组: 6,7,4, 4,7,5, 2,7,6,
08有16组: 6,8,2, 7,8,3, 6,8,5, 4,8,6, 2,8,7, 3,5,8,
09有23组: 4,9,2, 5,9,4, 8,9,5, 4,9,7, 2,9,8, 7,9,8, 5,8,9,
得到这样一串数: 1, 3, 7, 10, 16, 23, 36, 41, 60, 66, 85, 108, 132, 140, 166, 175, ......
这可是一串在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。 网友们！《整数序列在线百科全书(OEIS)》连这还没有呢。
把 1 个正方形分成 4 个面积都是整数的三角形，周边 3 个面积最大者不超过
04有02组: 4,4,2, 2,4,3,
05有02组:
06有03组: 4,6,1,
07有03组:
08有04组: 6,6,8,
09有05组: 6,9,6,
10有06组: 3,6,10,
11有06组:
12有10组: 12,12,2, 9,12,3, 6,12,4, 3,12,5,
13有10组:
14有10组:
15有13组: 12,15,1, 06,15,02, 8,12,15,
16有17组: 16,16,8, 12,16,10, 8,16,12, 4,16,14,
第3个数表示2边都不在完整边的那个三角形。
得到这样一串数:
2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 10, 10, 10, 13, 17, 17, 18, 18, 21, 23, 23, 23, 30, 32,
32, 33, 37, 37, 44, 44, 46, 46, 46, 50, 58, 58, 58, 58, 67, 67, 73, 73, 75, 81,
81, 81, 90, 93, 96, 96, 97, 97, 102, 105, 115, 115, 115, 115, 127, ...... 接 7 楼：把1个矩形(边长是整数)分成(分点在整数位置上)4个面积都是整数(>1)的三角形，
周边3个面积(不同)最大者不超过
4有01组: 2,4,3,
5有03组: 4,5,3, 2,5,4,
6有07组: 3,6,2, 5,6,2, 2,6,5, 3,4,6,
7有10组: 6,7,4, 4,7,5, 2,7,6,
8有16组: 6,8,2, 7,8,3, 6,8,5, 4,8,6, 2,8,7, 3,5,8,
9有23组: 4,9,2, 5,9,4, 8,9,5, 4,9,7, 2,9,8, 7,9,8, 5,8,9,
《数学研发论坛》网友 northwolves 给出前200项。谢谢 northwolves！
0,0,0, 1, 3, 7, 10, 16, 23, 36, 41, 60, 66, 85, 108, 132, 140, 176, 185, 227, 264, 298,
309, 372, 402, 442, 485, 553, 567, 662, 677, 743, 805, 859, 927, 1050, 1068, 1128,
1202, 1331, 1351, 1494, 1515, 1625, 1760, 1835, 1858, 2034, 2097, 2230, 2330, 2466,
2492, 2669, 2786, 2982, 3096, 3191, 3220, 3512, 3542, 3643, 3834, 4008, 4151, 4393,
4426, 4604, 4742, 5014, 5049, 5392, 5428, 5549, 5784, 5988, 6158, 6448, 6487, 6827,
7024, 7160, 7201, 7630, 7822, 7964, 8139, 8458, 8502, 8975, 9188, 9435, 9624, 9780,
9989, 10450, 10498, 10777, 11101, 11514, 11564, 11949, 12000, 12380, 12860, 13037,
13090, 13626, 13680, 14129, 14354, 14857, 14913, 15345, 15606, 15920, 16309, 16506,
16776, 17577, 17751, 17954, 18204, 18540, 18800, 19501, 19564, 19989, 20253, 20790,
20855, 21568, 21880, 22103, 22692, 23209, 23277, 23804, 23873, 24680, 24970, 25208,
25545, 26419, 26754, 26998, 27496, 27901, 27975, 28812, 28887, 29457, 29973, 30635,
30989, 31853, 31931, 32195, 32520, 33370, 33749, 34481, 34562, 35009, 35792, 36071,
36154, 37312, 37556, 38275, 38861, 39334, 39420, 40089, 40734, 41565, 41930, 42229,
42318, 43690, 43780, 44570, 44946, 45646, 46072, 46793, 47244, 47758, 48618, 49427,
49522, 50634, 50730, 51055, 51989, 52848, 52946, 54095, 54194, 55312, ..........
这可是一串在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。
northwolves 特别指出：a(18)=176,a(19)=185；7楼的a(18)=166,a(19)=175是错误的。
且给出了a(18)=176的176个具体解。谢谢 northwolves！ 把7楼错的地方改过来。
得到这样一串数: 1, 3, 7, 10, 16, 23, 36, 41, 60, 66, 85, 108, 132, 140, 176, 185, ......
这可是一串在《整数序列在线百科全书(OEIS)》找不到的。
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