苏步青：谈谈数学打基础问题
苏步青：谈谈数学打基础问题中国科学院数学与系统科学研究院 2022-11-03 12:52 发表于北京
自古以来，数学测验也好，竞赛也好，总是出那么一些题目考考学生，而题目每次大多是以不同形式出现的，这次的题目同前次的题目不一样，或多或少改头换面，几乎没有重复过去试题的现象。这样就引起应试同学们大做习题的热潮，家长也为此搜罗过去的考题,有的还来信向我索寄以往高考的试题,问我做习题有什么“秘诀”。
我想了一下，认为学数学要打好基础，是一个根本问题。初等数学的基础就是算术、代数、几何、三角，学好这些学科才有可能学高等数学。高等数学的基础应该说是解析几何和微积分，由此可见，算术、代数、几何、三角是数学的基础的基础。
中小学生要想在解数学习题上做到既正确又迅速，必须牢固地学好这四门学科的基础知识，这应该说是唯一的“秘诀”罢。所谓“学好”是指把各学科内容即教科书内容包括其中所有习题学得深透、演得烂熟，真正做到没有一个定理不会证，没有一个习题不会做的程度。
我们为什么要演习题呢？第一，是为了加深对书中的基本概念、定义和定理的理解，这是主要的。第二，也是为了训练我们的运算技巧和逻辑思维。这虽是次要的，但是必不可缺的。习题是不可不做的，多做些习题，对于加深理解和提高运算技巧，逻辑思维都是有利的。但必须指出，光靠演习题而忽视学深学透教科书中的基本概念、定义、定理(包括证明)，肯定是学不好数学，因而也演不出改头换面的习题来的。因为，习题是根据那些基本概念、定义和定理作成的，出题的方式可以有多色多样，变化万千。不抓住根本的东西，只拼命找题目去做，就变为所谓“舍本而求末”，是一辈子学不好数学的，何况题目又是那么多，你怎样能做得完呢？
我在这里举这次上海数学竞赛复试的一个试题为例，来说明学深学透教科书中的基本概念、定义、定理的重要性。参加这回复试的三百九十七名考生中，只有一位做了这一试题，但还做得不完全，其他考生全做不出来。题目是这样：经过一条定二次曲线上的两定点 A 和 B ，任意作圆，使和二次曲线再交于另外两点 C 和 D ,求证连线 CD 常有一定的方向。这个确是什么书上都没见过的试题，乍看起来是有点难，连有的中学数学老师也摇摇头，说“太难啦!”我的看法是这样：大部分考生做不出这个题，不是因为问题太难、太偏,而是因为他们没有学深学透解析几何的基本内容。哪些是解析几何的基本内容？
第一，为了讨论几何图形的方便，我们要恰当地选择坐标系(指的是正交坐标系)，使问题中有关图形的表达式化为简单的形式。在上述的试题里，我们选 A 为坐标原点 O ，直线 AB 为轴，于是 B 的坐标便为 (1,0) ，而且 AB 的方程化为 y=0 。
第二，二次曲线的方程关于 x,y 是二次的，比方说 f(x,y)=0 ，由于它通过 A(0,0) 和 B(1,0) ，所以方程是
f(x,y)=x^2+2hxy+by^2-x+cy=0 ，
式中 h,b,c 都是已知的。至于经过 A(0,0) 和 B(1,0) 的任意圆，它也具有同一形式的方程，不过 x^2 和 y^2 的系数相等而且没有 xy ，这是圆方程的特点，所以圆的方程是
g(x,y)=x^2+y^2-x+my=0 ，
式中 m 是任意的。
第三，两条二次曲线一般有四个交点。就上列的二次曲线和圆看，A，B，C，D 就是这四个交点。现在我们作方程
f(x,y)-g(x,y)=0 ，
并研究这条新的二次曲线。这个方程可以写成
y=0 ，
所以它表示经过四个交点的两条直线。甶于 y=0 表示直线 AB ，所以
2hx+(b-1)y+c-m=0
应该是直线 CD 的方程了。从此看出直线 CD 的斜率 2h/(1-b) 是常数（与 m 无关）。
我恳切地希望广大中学同学在中学数学教师指导下，学好各门数学的基础知识,有计划、有步骤地练好做习题的计算技巧和逻辑思维，适当挑选一些辅助习题而不是盲目贪多地去找习题,在数学竞赛和高考中考出应有的水平来。我也恳切地希望中学数学教师指导青年人更好地学习数学基础知识，使他们更快地成长起来。
来源：算法与数学之美
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