张益唐的最新突破，使得人们接近于解决由欧拉和高斯提出的“方便数猜想”
张益唐的最新突破，使得人们接近于解决由欧拉和高斯提出的“方便数猜想”撰文 | 倪忆
传奇数学家张益唐近日公布了他关于朗道-西格尔零点猜想的论文，并在 11 月 5 日山东大学的在线讲座中介绍了这一工作。张益唐还将于 11 月 8 日在北京大学做线上学术报告。
张益唐这一成果的意义十分重大，如果证明无误的话，将是解析数论领域里程碑式的工作。我们在《千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文》一文中，试图从外行的角度解读张益唐的工作。山东大学的解析数论专家在《张益唐教授谈朗道-西格尔零点猜想研究的新突破》一文中也进行了专业解读。
在我们前面发表的文章中，对张益唐工作的解读可以总结如下：朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况，但跟黎曼假设没有直接关系。张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。这一成果在解析数论中的意义，比张益唐之前在孪生素数猜想上的突破还要重大。
许多读者非常关心的一个问题是，如果张益唐的论文正确的话，他到底有没有证明朗道-西格尔零点猜想？对此，笔者的看法是，这不重要。数论是一门研究整数性质的数学分支。朗道-西格尔零点猜想本身并不是数论问题，而是一个复变函数问题，是对狄利克雷L函数可能的零点的大小的估计。数论学家们之所以会关心这个问题，是为了它在数论中的广泛应用。
在研究一类解析数论问题时，如果狄利克雷 L 函数的一个零点非常接近 1 ，对于证明就会有很大影响。朗道-西格尔零点猜想的本质就是说L函数的实零点距离 1 不那么近。具体在量化距离远近的时候，朗道-西格尔采用的标准是
，
猜想和 1 之间的距离小于这个数的实零点（即西格尔零点）不存在。那么现在张益唐就相当于用另外一种方式来量化这个距离，他宣称和 1 之间的距离小于
的实零点不存在。这个结论比原来版本的朗道-西格尔零点猜想要弱，但对于数论中的应用已经足够了。即便以后有人能解决原来版本的朗道-西格尔零点猜想，也不会给数论学家带来更多实质上的帮助。
从这个角度来说，认为张益唐解决了朗道-西格尔零点猜想也未尝不可。我们之所以说张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个“变形”（variant），就是因为这一说法比说他证明了该猜想的“弱版本”更能准确地反映这一成果的意义。
在张益唐新公布的论文第一章中，他宣布了两个定理，分别是对于 L(1,χ) 的估计
以及对西格尔零点的估计：可能存在的西格尔零点不大于
。
其中 c1 和 c2 都是跟 D 无关的，可以计算出来的正实数。
“可以计算出来的”意思就是可以顺着证明过程，一步一步地把这个常数因子具体算出来。有的定理只会告诉你存在这么一个常数，但是你没法根据证明过程算出这个常数到底是多少。对于朗道-西格尔猜想的数论应用来说，知道这个常数的具体数值是非常关键的。
上面的指数 -2022 和 -2024 都是可以改进的数字，就像他的孪生素数猜想论文中的七千万一样，只是为了计算方便而选取出来的。当然选取成目前的数字，明显是在致敬今年的年份。
当年在张益唐的孪生素数猜想论文发表后，数论专家们发起了一个 Polymath 项目，将张益唐文中的七千万最终改进为 246 。如果张益唐现在的工作得到证实，可以想象同样会有很多专家来改进他的估计。这里的改进有两方面，一方面是要具体算出两个常数 c1 和 c2 的值，另一方面是改进其中的指数，争取把 2022 和 2024 缩小。比起孪生素数猜想的情形，这些改进的意义要大得多，因为要想把张益唐的工作应用到数论问题中，肯定是所得到的估计越强越好。
在国外 reddit 、mathoverflow 等网站上，许多网友对张益唐的工作发表了评论。一位网友说：“我确信他为了能在 2023 年之前把论文写出来而争分夺秒地工作。”下面回复：“哦，张益唐和他有趣的常数。如果这篇文章正确，大家会很兴奋地看到另外一个改进常数的狂热 polymath 项目。”
此外还有别的一些犀利吐槽：“如果这篇论文不能在今年底之前发表，我会很不爽。”“如果他工作得更努力，就能在去年写出这篇文章，得到一个更好的指数 -2021 。”“突发新闻：Polymath 项目为了改进张益唐的指数而发明时间机器。”
不过，也有一些网友发表了专业性的评论。其中，最引人注目的一个评论是一位叫 Stopple 的网友发表的。如果读者近期关注张益唐的相关新闻，可能对这个名字不感陌生。此君就是张益唐的同事，解析数论专家 Jeffrey Stopple 。他曾说：“如果张益唐能够证明朗道-西格尔零点猜想，就相当于一个人被闪电击中两次。”这句话最近被新闻广泛引用，以说明张益唐的工作是多么令人震惊。
Stopple 指出，张益唐的成果能够用来研究欧拉和高斯遗留下来的一个关于“方便数”（idoneal number）的问题，把它化为有限次计算。这一问题在文献中并没有公认的名字，我们姑且称之为“方便数猜想”。在张益唐的工作之后，这一猜想或许很快就会成为定理。
那么，这是一个什么样的猜想呢？（以下关于方便数猜想的介绍主要参考了 Günther Frei 和 Ernst Kani 的综述文章。）
要介绍“方便数猜想”，需要追溯到 17 世纪的法国数学家费马。费马考虑过这样一个问题：哪些自然数可以表示成两个平方数的和？例如 1、2、4、5 等数能表示成平方和：
1=0+1 , 2=1+1 , 4=0+4 , 5=1+4 ,……
而 3、6、7 等数就不能表示成平方和。费马完全解决了这个问题。对于素数这种特殊情况，费马的结论是，一个奇素数是平方和当且仅当它是 4k+1 的形式，其中 k 是一个整数。
图卢兹市政厅内的费马雕像
进一步可以问，如果一个数能表示成平方和，那么有多少种方式？例如 25 可以表示成 0+25 ，也可以表示成 9+16 ；65 可以表示成 1+64 ，也可以表示成 16+49 。这个问题也得到了圆满解决，特别地，4k+1 型的素数恰好只有一种方式表示成平方和。
在费马之后一百多年，欧拉进一步研究了这个问题。他证明了，如果一个大于 1 的奇数 m 只有一种方式表示成平方和 x^2+y^2 ，并且在这唯一的一种方式中，x 和 y 互素，那么 m 就是一个素数。（“ x 和 y 互素”即 x 和 y 仅有 1 这一个公约数。这个条件很重要，例如 45 只有一种平方和表示 9+36 ，但它不是素数。）
这一定理可以用来判断一个 4k+1 型的数是不是素数，比直接根据定义来判断更便捷。举个例子，如果要判断 97 是不是素数，我们先写出小于它一半的所有平方数：0, 1, 4, 9, 16, 25, 36 。然后再从 97 中分别减去这些数，得到：97, 96, 93, 88, 81, 72, 61 。这其中恰好只有一个平方数 81 ，所以 97 只有唯一一种平方和表示 4^2+9^2 。我们又能看出 4 和 9 互素，所以 97 是一个素数。
但是 4k-1 型的数就不能使用这个判别法。为了能够判断这些数是否是素数，欧拉考虑了把自然数表示成 x^2+2y^2 或者 x^2+3y^2 的形式，并证明了相应结论。例如他证明了一个奇素数能表示成 x^2+2y^2 的形式当且仅当它是 8k+1 或者 8k+3 的形式。更进一步，如果一个大于 1 的奇数 m 只有一种方式表示成 x2+2y^2 ，并且在这唯一的一种方式中，x 和 y 互素，那么 m 就是一个素数。
欧拉画像丨图源：维基百科
受这些结论的启发，欧拉提出了“方便数”（拉丁语 numeri idonei ，英语 idoneal number 或者 convenient number）这个概念。一个正整数 n 被称为方便数，如果它满足以下性质：如果一个大于 1 并且跟 n 互素的奇数 m 只有一种方式表示成 x^2+ny^2 的形式，并且在这唯一的一种方式中，x 和 y 互素，那么 m 就是一个素数。
欧拉的工作表明，1、2、3 都是方便数。他随后发现了一个简单的方法，可以判断一个给定的正整数是否是方便数。利用这一判别法，他研究了一万以内的所有正整数，发现其中只有 65 个方便数，罗列如下：
可以观察到，在 1848 之后就不再出现新的方便数了。于是欧拉在 1778 年猜测，以上这些就是全部的方便数。这就是我们所说的“方便数猜想”。
1798 年，高斯写出了他的名著《算术研究》。在这本书中，高斯系统地研究了整系数二次型，在这一理论体系下赋予了方便数新的含义。这涉及到代数数论里的一些基本概念，限于篇幅，我们就不作说明了。高斯同样猜测 1848 就是最大的方便数。（欧拉的猜想当时尚未发表。）
高斯画像丨图源：维基百科
在高斯之后，很多数学家都研究过方便数。1973 年，Peter Weinberger 利用日本数学家竜沢周雄在朗道-西格尔零点猜想方面的进展，证明了除去已知的 65 个方便数以外，最多只有两个方便数。如果有两个的话，其中一个一定是另一个的四倍，所以本质上是同一种情况。（Weinberger 后来成为一名计算机科学家，是 AWK 程序设计语言的作者之一。）
根据 Stopple 的评论，由张益唐的工作能够证明，存在一个（很大的）自然数 N ，使得大于 N 的自然数都不是方便数。这样一来，为了证明方便数猜想，只需要对不超过 N 的自然数逐一验证便可。至于 N 究竟是多少，取决于张益唐定理 1 中的具体估计。在忽略常数因子的前提下，Stopple 算出 N 可以取 0.75×10^25734 。这当然是一个天文数字，但毕竟还是一个有限的数，并非无穷大。如果能够大幅改进张益唐的估计，或许可以把 N 缩小到一个适合用计算机加以处理的范围，从而证明方便数猜想。
张益唐本人曾说，在他的突破之后，“一百个猜想都变成定理”。或许这个有 244 年历史的方便数猜想就是其中之一。当然，所有一切都建立在张益唐论文是正确的基础之上。希望解析数论领域的专家们能够早日完成对张益唐论文的检验，使得一切悬念得到破解。
本文转载自微信公众号“普林小虎队”。
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