中国古算与实数系统（一）
中国古算与实数系统（一）作者 | 吴文俊
来源 |《科学》（双月刊）2003年3月（55卷2期）
实数概念与实数理论是现代数学的基石。从古希腊发现无理数起，西方（主要是欧洲）直到 19 世纪后期才真正建立起了实数系统理论。但东方的情形则一般人颇为茫然。事实上，早在 1950 年代末，华罗庚与关肇直在中国科技大学讲授微积分时，就都以中国古代数学为基础讲授实数理论。笔者在 1975 年时也曾明确指出：“中国的劳动人民，在长期的实践过程中，创造与发展了从计数、分数、小数、正负数以及无限逼近任一实数的方法，实质上，达到了整个实数系统的完成。”但是直到现在，这一事实似乎仍未为广大数学家（特别是中国的数学家）所认识。
西方实数系统发展回顾
在以欧几里得《几何原本》（以下简称《原本》）为代表的体系中，形与数是割裂的。虽然《原本》中也提到线段的“长度”、多角形或圆的“面积”、锥形或球的“体积”等，但这些“长度”“面积”“体积”并没有赋予一种确定的数量，而只是一种抽象定义的“量”（magnitude），与人们通常理解的数值的“数”并无关系。
《原本》的做法是：用一取定的线段作为单位来量某一甲线段，假定恰有整数 m 倍，又以同一单位线段来量另一乙线段，假定恰有整数 n 倍。则说甲乙两线段是“可公度的”，且其“比”是 m:n 。一个小学里就受过算术训练的现代人，会先入为主地认为这一比就是一个“分数”或“有理数”。但对于形数脱节只有“形”而没有“数”的《原本》来说，则 m:n 只是一个“比”，而不是什么“数”。《原本》从“比”的抽象定义出发，建立了“比例”理论，但诚如克莱因（M.Kline）所说：欧几里得在《原本》中并没有把这些“比”看作分数。
欧几里得生活在公元前 300 年左右，他的传世名著《原本》的内容与方法则应由来已久，例如以整数比表示那种可公度量的比例理论，甚至可追溯到公元前6世纪的毕达哥拉斯学派。
“数同几何截然分开”的做法终于产生了恶果。据传在公元前 5 世纪时，毕达哥拉斯学派的希帕苏斯（Hippasus）发现正方形的对角线与边是不可公度的，由此爆发了数学中的所谓第一次危机，这一危机由于欧多克索斯（Eudoxus）引入比例理论与穷竭法而在逻辑上得以避免，但仍回避了对几何量给予一定的数值，也使无理数的概念无由产生，在《原本》中，关于长度、面积、体积之间的比例关系有大量命题，但这些量本身却没有确定的数量等式，即是古希腊形数脱节的处理方式留下的痕迹。
应该郑重说明：《原本》只是古希腊在数学上辉煌成就的某一方面的总结，但远远不是全部，亚历山大里亚的数学家就“毫不犹豫地使用无理数，而且实际上就把数自由应用于长度、面积和体积”，作为代表人物的阿基米德就曾计算过 π 的值。
按照现代形数合一的观点，直线上的点在取定一点 O 与 0 对应，又取 I 与 1 对应后，直观上绵续无间的直线将与一个同样绵续无间的数系统相对应，特别是 √2 这样的无理数，也将与直线上确定的点相对应。《原本》避免了这种做法，使纯几何的演绎推理与数的计算脱节，实质上使直观上绵续无间的直线留下了无数的“窟窿”，在可公度的概念下，与相当的“点”是不存在的，成为直线上无数“窟窿”之一。
欧多克索斯的方法，掩盖了形数脱节的隐患，但这种掩盖只能弥补于一时，在《原本》问世后两千多年，隐患终于爆发，出现了数学的第二次危机。
欧洲有过一千多年数学上几乎一片空白的黑暗时期，直到 11、12 世纪，由于古希腊与东方数学通过阿拉伯传入而开始兴旺起来，到 17 世纪时，数学上更出现了两项重大发明：坐标几何与微积分。
1637 年，笛卡儿刊行《几何学》一书，奠定了坐标几何的基础。坐标几何的大意是：在平面上取两相交的直线，交点是 O ，在两直线上各取不同于 O 的点 I1 与 I2 ，于是两直线上的点各与数相对应，各称为横坐标与纵坐标，平面上的点则与坐标的数偶相对应，O , I1 , I2 各对应于数偶 （0,0）,（1,0）与（0,1）。
对于一个“良好”的函数如多项式函数，可用一平面上的曲线来表示，在直观上，两个坐标轴都是绵续无间的直线，代表函数的曲线也是绵续无间的。但是，由于《原本》传统遗留下来的形数脱节并未完全消除，数的引入直到 19 世纪还不完全，因此这些坐标轴以及代表函数的曲线实际上到处都是“窟窿”而未被觉察，这种下了以后的祸根。
17 世纪下半叶，牛顿与莱布尼茨发明了微积分，使运动与变化有了定量描述并使数学本身的发展获得强大的推动力，因此该发明被恩格斯誉为“人类精神的最高胜利”，但是，从一开始微积分的基础问题就受到质疑。在它蓬勃发展的过程中，经常出现一些难以理解甚至颇为荒谬的悖论，虽然后来一些伟大数学家如柯西等为此试图对“连续”“极限”等概念给出严格定义，使微积分有一个牢固基础，但隐患仍未消除。
举例来说，微积分有一条基本定理——罗尔定理，为证明它需要知道：若一连续函数在自变量 a,b（a＜b）处取值一正一负，则必在 a,b 间的某处取值为 0 ，在直观上，代表函数的曲线在 a,b 处的点将处在自变量轴的上下两方，因而曲线与数轴相交是显而易见的，而在相交处函数将取值为零，但是由于曲线与数轴倒数都是“窟窿”，因此这样的“交点”是否存在是存问题的。
不仅微积分的某些基本定理的证明有上面所说的严密性问题，就在前微积分时期的某些经典著作，也有类似的问题。试以所谓代数基本定理为例，一般公认是在高斯 1799 年的博士论文中，第一次给出了这一基本定理的严格证明，但在证明中有这样一段话：
“容易明白，第一曲面部分位于平面上方，部分在平面下方……因此固定平面必定与第一曲面相交，”
在几何直观上看，曲面与平面都是绵续无间的，因此这种交点必然存在但是当时实数概念尚未被充分认识，实数系统要到 19 世纪下半叶才真正确立，因此严格说来，所谓第一曲面与固定曲面都到处是“窟窿”。高斯称两者必有交点只是几何直观上理应如此，而在逻辑上并无严格保证，高斯此后的一些其他证明也有类似问题。虽然这近于有意“挑剔”，但是在崇尚逻辑严密性的今天，指出这一点似乎是无可非议的。
微积分与分析学一方面取得巨大成功，另一方面又谬论迭出，形成了所谓数学的第二次危机，到 19 世纪时，数学家愈来愈认识到，危机的出现是源于古希腊的“形数脱节”。在看似绵续无间的数轴上，必须有某种与有理数不同的新颖的“数”来填充处处存在的那些“窟窿”，才能使微积分（实际上也是整个数学）有一个严格的基础。
经过数学家们的顽强拼搏，终于在 19 世纪下半叶，出现了主要是三种不同的“实数”理论，填满了数轴上与有理数相当的那些点之外的所有“窟窿”，使得直线真正变成绵续无间，也使形数得到统一，由此渡过了第二次数学危机。
这三种引进“实数”的不同方式，出自于三位伟大的数学家之手：其一是魏尔斯特拉斯，定义“实数”为一有界单调增或减的有理数序列；其二是戴德金，定义“实数”为一所有有理数集合的某种“分割”；其三是康托尔，定义“实数”为一有理数的“正则”序列。
数学达到了严密性的要求，以后顺利发展并出现了公理化的思想与运动，似乎数学将沿着这一严密的途径无限制地发展下去。
然而事实并不那么顺当，由于过分强调公理化与可能是对公理化处理失当的原因，出现了新的各种悖论，爆发了第三次数学危机。
非负整数十进位位值制
语言、文字与计算可以说是人类进入文明时代的三大标志，人类通过语言、文字学会了互相沟通并将学到的经验知识记录下来传之他人以至后代，随着生产的进步、生活的提高与斗争的需要，计数与计算越来越显得必要，而且计数与计算能力之高下，往往成为衡量一个民族或地区文明程度的一个最重要标志。
文明的进一步发展需要计数越来越大的整数，由此出现了大整数的进位制，古代各民族，如古埃及、古巴比伦、古希腊、古印度与古玛雅，都各有各的进位制，十进制、六十进制、二十进制等等，但是所有这些进位制都是不完整的，在上古时期，唯一完整无缺的进位制，只有出现在中华大地上的十进位制，不仅如此，中国上古还有着举世独一无二具有位值的位值制上进位制，可以说是人类进化史上最伟大最重要的发明之一。
中国古代以竹为筹，以筹表数并进行计算。国内已多处有地下发掘，依据地下文物与传世经典，可以相信至迟在春秋战国时，便已经产生了十进制的算筹记数法，且可以十分熟练地运用算筹来进行计算。
据传世文献所载，位值制的算筹记数法，用筹表示一至九的九个数字的方式有纵式与横式两种。相当于零与 0 的算筹数码，则以空位来表示。
一个任意大的正整数，可按位数的高下，将各位数字的筹式自左至右依次排列，例如《易系辞》中的“万有一千五百二十”，将排成如下形式
其中十位与千位的“二”与“一”都用横式，而百位的“五”与万位的“一”则都用纵式。这种各位数字纵横相间的形式，显然是一种避免计算中出现错误的权宜之计，至于个位数字的“零”则用空位表示，自然在计算中应充分注意其所处的实在位置。所谓位值制，是指如上排列的一个任意大的整数，每个数字除本身具有的数值，还有一个不同位置的“位值”。例如上面的数字自左至右各数字依次有位值“万”“千”“百”“十”与“一”，依现代阿拉伯数码表示即有位值 10^4，10^3，10^2，10^1 和 10^0=1 。同样数值的两个“一”，由于一处“万”位而一处“千”位，因之所具有的“值”分别是“一万”和“一千”。由于采用一定的位置排列，原数中“万”“千”等字眼即可省略，写成现代阿拉伯数字应有：
用这种位值制的十进制表示方法，可以用算筹表示任意大的整数。对于整数间的加、减、乘、除等运算，可以将代表各数的算筹按一定的格式将算筹进行变易或易位，极为方便。
这种位值制计数与计算方法，12、13 世纪后通过阿拉伯传到欧洲，为此后欧洲数学的兴起提供了有效的手段，为欧洲一些大数学家所惊叹与推崇。综合来说，他们所推崇的有以下几点：
（1）这种计数方法使计算变得非常容易。
（2）这在所有有用的发明中是属于第一流的。
（3）这种发明是非常不容易的，因为它逃过了古代伟大人物如阿基米德等的思考。
顺便一提，西方往往把来自东方的发明创新都归于印度，对上述发明也是如此，这自然是不正确的。“（中国）自古就有了完美的十进位位值制的记数法，这是中国的独特创造，是世界其他古代民族都没有的。这一创造对世界文化贡献之大，如果不能与火的发明相比，也是可以与火药、指南针、印刷术一类发明相媲美的。”
在位值制十进位计数法的基础上，不仅完成了简易方便的算术计算，产生了完美的实数系统，还发展了一种具有计算性、构造性、程序性为特色的中国机械化算法体系，而且成为 13、14 世纪以前两千多年数学发展的主流。这种中国式的数学在中世纪以某种方式传至欧洲，成为微积分创造发明的推动力，而且成为欧洲此后发展现代数学的火车头。
从除法、减法到分数与有理数系统
中国保存至今最重要的数学经典著作无疑是前汉的《九章算术》以及三国的刘徽在公元 263 年所作的《九章算术注》（以下分别简称为《九章》和《刘注》）。
在《刘注》的序言中，刘徽说：“记称隶首作数……按周公制礼而有九数，九数之源，则《九章》是矣。”又说：“汉北平侯张苍，大司农中丞耿寿昌……因旧文之遗残，各称删补。”此外又引“《周官大司徒》职”的以表测日高之术。
按张苍历仕秦汉两代，主管经建工作，卒于公元前 152 年，耿寿昌是西汉宣帝时代人，于公元前 48 年封侯，因之据《刘注》序言，现在所见的《九章》成书年代，至迟在公元前 1 世纪。
序言所谓“隶首作数”自然是一种传说，但说《九章》源于“九数”，而“九数”源于“周公制礼”，以及“周官……”以表测日高，应是事实，至于《九草》内容，应远在秦汉之前，在战国年代，甚至春秋或周公时期，即已大致具备并逐步完成，依据地下文物与文献资料，如近年出土的《算数书》等，应该也是可信的。
中国上古就有的位值十进制计数法与算筹，足以表达任意大的正整数并进行四则运算，为数学的繁荣奠定了坚实基础。由于生产力发展、商业活动出现及各种管理与建设上的需要，整数范围内的计算已远远不足以应付形形色色的实际问题，为此自然需要扩大整数的范围，引进新颖的“数”，以解决各种新颖问题。
因之，由于为使“除法”成为可能而引进“分数”，使“减法”成为可能而引进“负数”，使开方成为可能而引进“（根式）无理数”，为了各种复杂计算而引进“十进位小数”，进一步为达到必须的精确度而逐步增加小数的进位数以至无穷，由此引进“极限”概念以及相应的“无穷位小数”，即现代所谓的“实数”。
这种由于完成各种计算的需要而将整数系统逐步扩大到实数系统的原理和方法，在《九章》与《刘注》中都有详细说明。以下将对如何由于除法与减法的完成而引进“分数”与“负数”以至现代所说的“有理数系统”作详细的介绍。
《九章》第一章《方田》考虑田畴界域一类问题，共 36 题，其中 4 至 21 题涉及除法与分数概念的引进与计算方法，第 5、6 题则是问如何将“十八分之十二”与“九十一分之四十九”约分为“三分之二”与“十三分之七”，所用方法为“约分术”。对此《刘注》解释说：“约分者，物之数量，不可悉全，必以分言之。”又说：“分之为数，繁则难用，……虽则异辞，至于为数，亦同归尔。”
这里刘徽明确指出，在进行除法运算时，不能总以整数来表达（“不可悉全”），因此必须引进或定义一种新的概念，叫做分数来表达（“以分言之”），这种分数是一种新颖的数（“分之为数”）由于“繁则难用”，故需加以简化，虽然繁简形式不同（“异辞”），但作为新颖的“数”，则实质上是相同的（“亦同归尔”）。
值得注意的是，为简化分数，引进了分母与分子的“等数”概念（相当于现代的最大公约数）和“以少减多更相减损”的求法（“术”），这相当于《原本》中的辗转相除法，但未用到素数概念与整数的素因子分解方法。
在引进“分数”概念与其简化方法以后，《少广》章在以次诸题中，引进了分数的各种运算法则，详细叙述了如何引进“分数”概念以完成除法运算以及扩充后的数系统如何运算的方式方法。
《九章》第八章名为《方程》，其意为“方阵”，实质上相当于现代的解线性方程组，方法是将原始数据排列成方阵形式，依一定法则在其行列间进行运算简化，最后从简化的方阵直接得出所求答案，其过程类似于现代的高斯消去法。在简化过程中经常需要从较小的数中减去较大的数，因而引进“负数”，并称原来那种数为“正数”，在继续运算中，不可避免地要对“正数”与“负数”进行各种运算，因此又产生“正负数”运算法则。
该章的第 18 题是说，有五种谷物，各自的单价不知，现以五种不同的斗数配合，得五种不同的钱数，求每种谷物每斗的价格。
《刘注》对此题作了一个特别长的评论，提出多种不同的计算方法并论其得失，又对过去已知的一种算法作了详细说明《刘注》说：“以旧术为之，凡应置五行。”书中因而将此问题列了一个方阵，也就是现在的线性方程组的系数矩阵，《刘注》中说明经 77 次运算.得一个新的方阵，它可以直接表示每种粮食的单价。
在此题的整个运算中，以及类似问题的运算中，正负数之间的加、减、乘、除显然是无法避免的，中国古算家自然也是完全掌握并熟悉其运算规律的。
《方程》章第 3 题的正负术给出了正负数的减法法则为：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之”加法法则为：“异名相除，同名相益，正无入止之，负无入负之。”第 2 题的术文还说：“如方程，损之日益，益之日损”从题意可知这相当于方程的移项法则。
《方程》章或《刘注》没有给出正负数的乘除法则，这不足为奇，或者是法则已为算家熟知，不必再列条例，或者因著作失传而未能留之后世试以数的运算遵守交换、分配、合并等定律来说，早为中外算家所知并运用自如，但真正列举出来作为规律，则在欧洲是 19 世纪后期的事，这与正负数乘除法则之未明白列出而数学家运用自如，是不无类似的。
《九章》通过除法与减法运算而定义新型的数“分数”与“负数”，以及相应的各种运算规律，早已完成了“有理数系统”。
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（本文为作者据 2002 年北京国际数学家大上的公众报告整理）
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