零点猜想若搞定，攻克黎曼猜想还远吗？
零点猜想若搞定，攻克黎曼猜想还远吗？好玩的数学 2022-10-24 07:00 发表于江西
10 月 15 日，美籍华裔数学家、美国加州大学圣塔芭芭拉分校数学系教授张益唐在北京大学大纽约地区校友会“与数学家张益唐交流座谈”活动上透露，自己已做完了朗道-西格尔零点猜想的相关工作，即将发表论文。消息一出，瞬间震动了整个数学界。
朗道-西格尔零点猜想到底是什么？对它的证明工作为何会引发数学界的巨大反响？原来，这个零点猜想与另一个鼎鼎大名的猜想有密切关联，它就是黎曼猜想。
虽然在知名度上，黎曼猜想可能不及费马大定理和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题。如今的数学文献中，已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。依赖于素数特性的现代密码编制与破译技术，其根基就是黎曼猜想；甚至量子物理学也以尚未被了解的方式与黎曼猜想扯上了关系。
1859 年 8 月，32 岁的数学家黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann）被选为柏林科学院的通讯院士。作为对这一崇高荣誉的回报，黎曼向科学院提交了一篇题为《论小于一个给定值的素数个数》的论文。在这篇只有短短 8 页的论文的中间部分，黎曼作了一个附带的备注，提出了一个猜想：
黎曼 ζ 函数的所有非平凡零点的实部都是 1/2 。
黎曼 ζ 函数是一个无穷级数：
它可以简写为如下形式：
当 s＝1 时，ζ 函数就是调和级数，它是发散的；当 s＞1 时，ζ 函数总是收敛的。但是，ζ 函数的定义域并不仅仅是 s＞1 ，经过解析开拓，对小于 1 的自变量它也有值。当 s 刚刚小于1时，ζ 函数的值接近 －∞ ；当 s＝0 时，ζ 函数的值是 －0.5 ；当 s＜0 时，ζ 函数的图像如下：
你可以发现，在每个负偶数处，ζ 函数的值都是 0 。这些就是 ζ 函数的平凡零点。想研究 ζ 函数的非平凡零点，就要引入复数的概念。实际上，早在 1900 年，人们就已经知道 ζ 函数的非平凡零点有无穷多个，其实部都在 0 和 1（不含）之间，就是位于下图中的临界带内。而黎曼猜想是一个强得多的结论，即所有非平凡零点全部位于实部是 1/2 的那条直线上。
黎曼在他的论文中提出那个猜想后，并没有证明就把它搁下了。他的原话是：
我当然希望对此有一个严格的证明，但是我在经历了一些徒劳尝试之后，决定把对这样一个证明的探求放在一边，因为它对于我当前研究的对象来说并不是必需的。
这不禁让人联想起费马（Pierre de Fermat）写下的另一段话：
关于此，我确信已发现了一种美妙的证法 ，可惜这里空白的地方太小，写不下。
在随后的年代里，黎曼猜想给无数学者带来了近乎残酷的压力。时至今日，在经历了 160 多年的研究和探索后，这个问题仍然悬而未决。
黎曼猜想研究的是素数分布问题。为了研究等差数列上的素数分布，数学家狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）引入了 L 函数：
由此又产生了广义黎曼猜想：
狄利克雷 L 函数的所有非平凡零点的实部都是 1/2 。
当对所有的 n 都有 χ(n)＝1 时，广义黎曼猜想就退化为普通的黎曼猜想。
同样的，狄利克雷 L 函数也存在非平凡零点，并且人们已经发现，这些非平凡零点基本上都落在以下区域中：
其中 c0＞0 是一个与 q 无关的固定常数。
数学家朗道（Edmund Landau）在研究狄利克雷 L 函数时发现，当 χ 满足某些特殊性质时，其对应的 L 函数可能会出现落在上述公式对应区域之外的异常零点。
数学家西格尔（Carl Ludwig Siegel）则给出了 L 函数的实零点必须满足的条件。由于两位数学家在这个领域里的开创性工作，狄利克雷 L 函数的异常零点常常被称为朗道-西格尔零点。而朗道-西格尔零点猜想就是：
狄利克雷 L 函数不存在异常零点。
可以发现，广义黎曼猜想恰好是朗道-西格尔零点猜想的充分条件。或者说，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼猜想的某种弱形式。
1993 年 6 月，怀尔斯（Andrew Wiles）在其演讲的最后说：“这样，我就证明了谷山-志村-韦依猜想。”虽然自始至终没有提及费马，但是在场的所有人都知道，证明了谷山-志村-韦依猜想，就证明了费马大定理。当然，这个定理的最终证明是基于怀尔斯 1994 年改进后的两篇论文：《模椭圆曲线和费马大定理》，以及《某些赫克代数的环论性质》。
如今，张益唐教授宣称做完了朗道-西格尔零点猜想的相关工作，虽然没有提及黎曼，但是大家都知道这与黎曼猜想有关。
朗道-西格尔零点到底存在不存在？如果它不存在，会不会导致黎曼猜想被最终证明？如果它存在，广义黎曼猜想就不成立，这又会引发怎样的轩然大波？
黎曼猜想如此火热，让许多非数学专业人员也想弄清楚它。介绍黎曼猜想的普及性作品时有问世，这其中，由数学家、作家德比希尔（John Derbyshire）撰写的《素数之恋》堪称翘楚。
《素数之恋》用普通读者能够理解的浅显方式，向世人展示了这个伟大的猜想，以及尝试解决它所需要的几乎全部数学知识。书中奇数章的内容是数学阐述，想搞懂黎曼猜想的读者可以循序渐进地步入其中；偶数章的内容则是各种历史背景、人物经历，不想细究数学的读者可以读读与黎曼猜想有关的各种趣闻轶事。
诺贝尔经济学奖得主、著名数学家纳什（John Nash）称《素数之恋》是“一本非凡之作”。作者自己也毫不谦虚地说：“如果读完这本书，你还不能理解黎曼猜想，那么你可能永远也理解不了它了。”
《素数之恋——黎曼和数学中最大的未解之谜》
作者：［美］约翰·德比希尔
译者：陈为蓬
出版社：上海科技教育出版社
出版时间：2018 年 7 月
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