初学 PDE（偏微分方程）没有头绪？戳这里～
初学 PDE（偏微分方程）没有头绪？戳这里～文章转载自知乎
作者：xyor wz
问题 1 ：能不能用本科生也能听懂的话介绍一下现代 PDE 主要研究哪些内容？
xyor wz：PDE 这个学科说白了就是从各种不同的角度来研究 PDE（这其实是句废话）。PDE 的基本问题就是 Jacques Hadamard 所提的适定性问题（Well-posedness Problem）：对于一个微分方程给定适当的辅助数据（边界条件），去研究这个问题的
● 存在性：是否有解？
● 唯一性：解是否唯一？
● 稳定性：定解条件的扰动对解有多大的影响？
题主问的是现代的 PDE 研究，其实古典与现代的区分并没有那么明显，一个粗略的划分可以是 20 世纪以后的 PDE 研究，在这之中也有几个关键的节点，由此可略窥一二（给感兴趣的人一些指引）。
1.Jules Henri Poincaré 对 Laplace 方程的系统研究（1890,1894）
（原文我没读过，这一段内容基本上都是道听途说）
Poincaré 发现力学中的诸多问题都可以归结为对某些偏微分方程的研究，其中典型的代表就是 Δu=f(x)（也叫 Poisson 方程），Poincaré 对比较一般的区域证明了解的存在性和唯一性。
Poincare 的工作还包括了现在称之为 potential theory 和 continuity method 的理论（基本的研究生 PDE 教材都会有所涉及）。
2. Picard 的逐次逼近方法（1890）
这种方法现在也是教科书的基本内容了，关于 Picard 所考虑的问题 Jeremy Gray 最近的书《Change and Variations》中有一个简短的描述。
3. Hilbert 19 问题和 20 问题
可以参考 Felix E.Browder 主编的《Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems（1976）》中的相关论述。
4. S.Bernstein 对 Hilbert 19 问题的回答
这里面包含了一个非常关键的点即所谓的 a priori（先验）观点。大概就是解的存在实际上意味着解应该满足某种估计，那么先假设解存在然后导出一些"好”的估计，然后利用这些估计结合 continuity method 就可以得到解的存在性。（注意：这里并不存在循环论证，这是初学者的一大误区）。
5. Leray-Schauder 理论
这其实是被许多教科书包含在古典理论中的，但却对现代理论的发展非常重要，也是一般的椭圆 PDE 教材的主要内容之一。这里面一个很关键的点就是泛函分析对 PDE 发展的影响。这是泛函分析工具解决 PDE 问题的一个非常好的实例，当然泛函分析的应用还包括 Hilbert 空间方法，变分法等等，具体可以参考我曾经几个回答里推荐过的相关教材。
6. Hadamard（1923 年的书）关于适定性问题的提法
7. Leray（1934）关于 Navier-Stokes 方程的开创性工作
可以说是“梦开始的地方"。
8. Sobolev 空间，弱解（广义解）的概念进入 PDE 的各个分支
为什么这些工具好用？粗略的讲就是，在更差的（也就意味着更大的）空间中找解更容易。然后在存在性的基础上可以来建立正则性理论从而得到问题的解，对于线性问题这种策略是非常好用的，但对于非线性问题基本上都卡在了正则性问题上了，最著名的就是千禧年问题：NS 方程解的存在性与光滑性。
9. Laurent Schwartz 的分布理论（Distributions），
这是 Schwartz 得 Fields 奖的主要原因，这一工具的出现，很“完美”的解决了线性 PDE 的局部适定性理论，在这一时期有很多著名的工作出现，包括L.Hormander , H.Lewy , A.Calderon , L.Nirenberg , F.Treves 等等。但非线性方程却没有一个统一的处理方法。
10. Calderon-Zygmund 理论
Calderon-Zygmund 理论在 PDE 中的应用（奇异积分算子，拟微分算子，仿微分算子，Fourier 积分算子）到目前为止这依然是一个比较有生命力的主题。
11. 关于发展方程（Evolution equations）的半群方法
开端是泛函分析教材中都会讲到的 Hille-Yosida 理论，就是研究下面这类问题
可以是一般理论，也可以是某个具体的算子（Stokes 算子，Laplace 算子等等）也可以用这种方法来处理 Navier-Stokes 方程，Schrodinger 方程，也确实取的了一些成果。
12. De Giorgi-Nash 迭代
13. 鉴于非线性 PDE 的复杂性，现代 PDE 的研究基本上都集中于具有实际背景的具体问题，而不追求一般理论（当然对于一般的椭圆方程，抛物方程，双曲方程还是有许多没有解决的问题的）。
14. 典型的例子就是物理学中的 PDE 的研究，有很多重要的结果也催生了许多新的理论，内容太过丰富。
15. 几何中的 PDE 以及所谓的几何分析（例如最优输运与 Monge-Ampère 方程，Yamabei 问题等）也是很大的一个方向，不过这方面的进展我是完全不了解的，就不瞎说了。
16. 数值方法与 PDE
很多人有一个误区，认为数值方法不够数学，这是完全错误的。举一个很典型的例子，证明弱解存在性的时候有一个很常用的方法叫做 Galerkir 逼近，这就是典型的数值方法里面的工具，再比如守恒律里面著名的 Glimme 格式。
问题 2 ：怎么学习 PDE ？ Evans 的书在什么阶段看比较合适？
首先说点题外话，我自己在学 PDE 这件事上是走过一些弯路的，现在想来主要原因是最开始的时候自己没当回事，有人曾跟我说过学 PDE 可以看做是高级一点的分析习题，这句话其实是很坑人的，PDE 有自己的模式。根据我个人的经验，请初学者一定注意，PDE 不是某种分析的分支，同样实分析，泛函分析，复分析这样的理论也不只是为了解 PDE 而产生的（虽然在学分析的时候微分方程是一个很好的实例）。
我曾写过几个相关的回答，对一些常见的 PDE 教材有写过一些注记，如果只是想找书的话可以参考下面回答。
● 国外微积分方程有哪些优秀的入门教材？【1】
● 有没有靠谱儿的微分方程书籍推荐？【2】
● 有哪些值得推荐的《偏微分方程》教材或者参考书？【3】
先回答第二个问题，Evans 的书什么时候看合适？说一个比较容易的检测方法，你去翻 Evans 书的附录，如果其中百分之八十的东西对你来说没有太大的障碍的话，直接去看 Evans 的书就好，虽然也可能会遇到一些困难，比如不太容易适应各种 Sobolev 不等式，对弱解这个概念不适应之类的，但多去想想，再辅以相关教材，还是比较容易读下去的。最后，我个人的观点是，Evans 这本书不适合拿来自学，它是很好的教材和参考书，但对于没有人指导的初学者，并不算特别友好。我听过好几个人用这本书作为主要教材来讲研究生的 PDE 课程，他们也都根据自己的喜好跳过以及添加了一些内容，使得课程更成体系。
接下来写一个我自己设想的 PDE 学习思路，中间改过几次，目前算是一个自己觉得还行的入门思路，当然还有待改进（我自己已经没机会按照这个思路来了，欢迎感兴趣的人尝试，最好能给出反馈）。
1. 预备知识
1）与绝大多数的数学系基础课一样，学 PDE 真正需要的预备知识就只有基本的多元微积分和线性代数，最好的话还是有对 Lebesgue 积分有所了解，当然学过实分析和泛函分析可能会轻松一点，但除了线代和多元微积分其他的完全不是必须的！要用到的高级一点的数学都可以在学的过程中慢慢补充。
2）如果想要具备比较充足的准备之后再来学 PDE 的话，建议学过基本的实分析、复分析、泛函分析以及基本的 ODE 之后再开始学 PDE（实际上很多学校的课程安排差不多就是这个顺序），关于这部分教材的选择也比较自由，因为需要用到的基本上也都是这些课程比较核心的基础培部分，如果有条件的话学点基本的变分方法，基本的 Sobolev 空间也可以（这些内容很多讲的多一点的泛函分析教材里都会涉及，也有一些专门的教材，当然更建议在学 PDE 的过程中学这些东西）。
3）我自己接触到的要学 PDE 的人基本上都是学过一些实分析和泛函分析的，所以 1）说明没有实例支持，不过有一点是可以肯定的，很多人是在学 PDE 的过程中才真正的对泛函分析这样的课程比较有感觉的。
2. 我个人认为的比较好的学习安排
1）最好还是要学一些古典的 PDE 理论的，学这些是真的只需要线代和微积分就够了的。我个人目前比较推荐的教材是
A.K.Nandakumaran ＆ P.S.Datti , Partial Differential Equations Classical Theory with a Modern Touch , 2020 。他们还写过 ODE 的书可以配合食用（非必要）。
PDE 这个学科在 20 世纪的时候发生了很大的改变，特别是自 Leray 关于 Navier-Stokes 方程的著名工作之后（也包括同时期泛函分析这一学科的发展，Sobolev 的工作，Schwartz 的分布理论的出现等），绝大多数的本科 PDE 课程都是只会涉及到古典的 PDE 理论的（也就是十九世纪之前），这本书如标题所言，在介绍古典理论的时候，尽可能的为读者描绘一下现代理论的样子，算是一个比较好的尝试。其实古典的理论绝大多数书都是讲的大同小异，就像我上面回答中所说的随便选一本拿来看都没太大问题。我之所以比较推荐这本书一方面是因为作者想尽可能的消除从古典理论过渡到比较现代的理论之间的“Gap”的想法，另一方面是因为个人很喜欢，此书中对一阶 PDE 的处理，除了基本的特征线法之外，你还能接两类非常重要的两类一阶方程：Hamilton-jacobi 和守恒律方程,而这并不需要费太多的功夫！个人觉得这部分写的是要比 Evans 或者 F.John 书中更友好的。
我之所以提关于一阶方程的这部分，还有一个原因，很多国内的 PDE 教材关于这一部分写的都很简略，我记得我在一开始上 PDE 课的时候，直接就没讲过这些东西。最后关于一阶方程的这部分一个更为丰富一点的参考是 Sandro Salsa 的书第四章和第十一章（个人觉得这个书比 Evans 更适合自学的人）也很推荐在这个阶段辅以韩青老师的 GSM120 。
2）再学一些古典理论之后，PDE 这门课基本上就画风大变了，因为你不再学着如何解方程了。一般的研究生阶段 PDE 课程（请忽略掉研究生阶段这个定语），差不多就是选一个切入点来讲基于弱解这个概念的线性方程理论了。首先是要理解所谓的弱导数、弱解以及 Sobolev 空间的概念了。关于这些 Evans 的第五章以及 Salsa 的第四章和第六章算是一个比较短的介绍。关于如何开始真正的学习这些东西，我个人比较推荐的是 Alberto Vallig 的书 A Compact Course on Linear PDEs . 2021 。Evansl 以及 Salsai 的书也是以椭圆方程为切入点的（实际上，Valli 在前言中有写他当时上课所用的主要参考书就是这两本）。这本书只有两百多页，由于细节很丰富，非常适合自学使用，如果用来上课的话或许还能在补充一点内容组成一学期的课程。这本书有一点对自学的人非常好，即便是对于一个完全没怎么接触过 PDE 的人拿着本书来看也不会有太大的困难。比如作者很贴心的在书中直接写了一章来介绍有限维空间和无限维空间的区别，很贴心地手把手教你怎么证 Lax-Milgram 等。
更关键的是书中包含了大量的 motivation 的东西。在最开始引入弱解的概念的时候，用最简单方程对比了古典的方法和基于 weak formulal 的方法的主要区别，让你很容易的感受到，现代分析对于 PDE 这个学科带来的改变。再比如我遇到过很多人搞不清楚一致椭圆条件和系数矩阵正定到底是什么关系的人（虽然这只是基本的线性代数而已），在习题中作者也很好的引导你理解了这个概念。
此书可以说是我见过的最好的现代 PDE 入门书了！（入门也就意味着，有很多东西是没有涉及到的）这本书主要是以线性椭圆方程为主，后面关于抛物方程和双曲方程的处理也是基于前面对于椭圆方程的分析。在读过此书的基础上，接下来个人比较倾向的选择是《椭圆与抛物型方程引论 现代数学基础丛书典藏》。伍卓群先生最开始是做 ODE 研究的，后来吉林大学数学系决定建立偏微分方程这一学科，开始转向 PDE 的研究，为我国 PDE 事业的发展做出了很多重要的贡献，伍先生与其学生合著的这本研究生教材，将椭圆型方程和抛物型方程这两类偏微分方程的重要分支融为一体，系统地介绍了这两类方程的基本理论和基本方法，既突出了两者共性，又揭示了各自的特性，是偏微分方程的优秀的入门书籍之一。在读这本书的过程中辅以 Han-Lin , Gilbbarg-Trudinger , Friedman , Lieberman , Ladyzenskaja ，以及陈亚哲老师、沈尧天老师的书都是不措的选择。
关于双曲型方程，个人认为最好的入门书是 Serge Alinhack 的《Hyperbolic partialdifferential equations》，再学过这个之后可以去看看 Christopher D.Sogget 的《Lectures on Nonlinear Wave equations》，以及 Reinhard Racke 的《Lectures on Nonlinear Evolution Equations》，想学守恒律的话可以参考 Joel Smoller 的书或者 Constantine M.Dafermos 也行。如果对 dispersive equations 感兴趣，可以去翻翻 Felipe Linares , Gustavo Ponce 的《Introduction to Nonlinear Dispersive Equations》以及陶哲轩的《非线性色散方程：局部和整体分析》。
3）学过一些比较基本的 PDE 之后，就会发现 PDE 这个领域是很细分的，现代 PDE 的研究已经催生处理很多细分的方向，接下来就是自由探索的阶段了，最后附上两篇综述以供参考【4,5】。
3. 送给能看到最后的人一个小彩蛋吧，如果学过一段时间 PDE 了，想检验一下自己学的怎么样，不如去读读 Leray 著名的工作，鉴于原文是法语，下面提供一个更易读的版本，作者是 Wojciech S.Ozanski,Benjamin C.Pooley 在此引用一下他们的摘要部分
This article offers a modern perspective which exposes the many contributions of Leray in his celebrated work on the Navier--Stokes equations from 1934.Although the importance of his work is widely acknowledged,the precise contents of his paper are perhaps less well known.The purpose of this article is to fill this gap.
此文收录在 CHARLES L.FEFFERMAN , JAMES C. ROBINSON & JOS'EL.RODRIGO 主编的《Partial Differential Equations in Fluid Mechanics （London Mathematical Society Lecture Note Series:452）》，如果对 Navier-Stokes 方程的定性理论感兴趣的话强烈推荐去读读【6】。
4. 暂且止步于此，以后有空会补充一个更完整的版本，希望对想要学习 PDE 的你有所帮助。
参考
.Leray,J.:Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant I'espace.Acta Math.63,193-248 （1934）
https://link.springer.com/article/10.1007/BF02547354
.伍卓群先生简介
https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JAXK201912001.htm
文中书目链接：
【1】国外微积分方程有哪些优秀的入门教材？
https://www.zhihu.com/question/28492804/answer/1819579376
【2】有没有靠谱儿的微分方程书籍推荐？
https://www.zhihu.com/question/371861282/answer/1768214828
【3】有哪些值得推荐的《偏微分方程》教材或者参考书？
https://www.zhihu.com/question/438150747/answer/1768214828
【4】Brezis, Haïm & Browder, Felix，Partial Differential Equations in the 20th Century，1998
www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870897917138?via%3Dihub
【5】On Current Developments in Partial Differential Equations
www.global-sci.com/intro/article_detail/cmr/15787.html
【6】James C.Robinson,Jose L.Rodrigo,
Witold Sadowski -The Three-Dimensional Navier-Stokes Equations Classical Theory（2016,Cambridge University Press）
推荐一本很不错的《偏微分方程》教材：
Gustafson, K. E., 1999: Introduction to Partial Differential Equations and Hilbert Space Methods. Third Edition. Dover Pub. Inc., New York, 448 pp.
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