luyuanhong 发表于 2022-8-6 12:32

“拉马努金复生才能解决”:E8 格与装球问题

“拉马努金复生才能解决”:E8 格与装球问题

乌克兰数学家维亚佐夫斯卡获得 2022 年菲尔兹奖,获奖理由是“证明 E8 给出 8 维全等球体最密堆积,以及对相关极值问题和傅里叶分析中插值问题的进一步贡献。”她的获奖工作可谓是“菲尔兹奖少有的接地气的成果”——从研究问题本身来说,她所研究的是 8 维装球堆积密度最大的问题,我们很容易理解三维空间中的装球问题;而获奖理由中所叙述的“格”也并不复杂。本文将用基本的数学知识介绍相关概念,特别是 E8 格的特殊意义,它又如何与装球问题联系起来。相关研究源远流长,而现在则是一次直接了解现代数学前沿的绝好机会。

撰文 | 倪忆(加州理工学院数学系教授)

2022 年 7 月 5 日,乌克兰数学家马林娜·维亚佐夫斯卡(Maryna Viazovska)获得菲尔兹奖。她获奖的主要工作是解决了 8 维空间中的装球问题:当 8 维空间中的球按照 E8 格的方式堆积起来时,装球密度最大。她还与人合作解决了 24 维空间中的装球问题,这时最大密度是以利奇格的堆积方式取得。


维亚佐夫斯卡(图源:EPFL)

这一获奖工作可谓是菲尔兹奖里少有的接地气的成果,普通人都能理解她到底证明了什么。从数学上说,她的获奖工作再次向世人展示了 E8 格(以及利奇格)的重要性。那么,什么是 E8 格?它又如何同装球问题联系起来的呢?

什么是格?

格(lattice),是大数学家高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)所定义的一个数学概念。我们拿二维格作为例子来说明格的定义。取一个平行四边形,将它平行移动,可以得到无数个同样形状和大小的平行四边形,使得它们铺满平面。这些平行四边形的顶点构成的集合就叫作一个二维格。


平行四边形的顶点构成一个二维格

最常见的二维格由平面上所有整点组成,也就是说,这些点在直角坐标系里的横纵坐标都是整数。相应于这一格的平行四边形就是边长为1的正方形。我们管这个格叫作正方形格。


正方形格

如果平行四边形由两个边长为 √2 的等边三角形拼成,得到的格称为六边形格。


六边形格

类似于平面格,在三维空间,我们可以用平行六面体平移堆满空间,平行六面体的顶点的集合就是一个三维格。

当这个平行六面体是正方体时,对应的格叫作简单立方格。在简单立方格的基础上,再添加每个立方体各个面的中心,得到的格叫作面心立方格。

在许多晶体中,原子或者分子就是按照格的方式来排列,所以化学家们经常要跟格打交道。例如 α 相的固态钋的晶体结构是简单立方结构,而常见的氯化钠(食盐)晶体里的氯原子是按照面心立方格方式排列。


固态钋的 α 相结构(图源:维基百科)


氯化钠晶体结构,其中绿色大球表示氯原子(图源:维基百科)

不过,晶体学中所说的 lattice 跟我们这里的格不完全一样,例如晶体学中常见的密排六方晶格就不是我们所说的格。我们所说的格,在晶体学中被称为 Bravais lattice 。

高维空间中的格可以类似地定义。不过,为了叙述的简洁,我们采用线性代数的语言。



独一无二的 E8 格



另外一个著名的幺模偶格是 24 维的利奇格(Leech Lattice)。康威(John Horton Conway,1937-2020)曾经在研究利奇格的对称群时发现了3个散在单群。

E8 格是数学里非常重要的一个对象,它频繁出现在群论、李代数、拓扑、模形式、弦理论等数学和物理领域中,编码理论中的汉明码(Hamming code)也跟 E8 格有关。

1962 年,米尔诺(John Milnor)因为发现七维球面上的“怪异”微分结构而获得菲尔兹奖。利用 E8 可以构造出七维球面上的全部 28 个不同的微分结构。

1983 年,弗里德曼(Michael Freedman)因证明四维庞加莱猜想而获得菲尔兹奖。弗里德曼实际上完成了单连通四维闭流形的拓扑分类。他的结果的一个推论就是,存在没有微分结构的四维流形。这个流形的构造就利用了 E8 。

不过,尽管好几位菲尔兹奖得主的获奖工作都与 E8 有关,今年 E8 还是第一次直接出现在菲尔兹奖获奖工作中。这次 E8 大显身手的舞台是装球问题。

开普勒猜想

装球问题(sphere packing problem)是一个来源于日常生活的问题:把同样大小的球堆积起来,怎么样才能使得密度最大?一种自然的堆积方式是,先把球铺排一层,使得每个球周围恰好有六个球与之相切。然后在适当的空隙上方再放置一层球,在适当的空隙下方也可以放置一层球。依此类推,铺至整个空间。容易算出,这种方法得到的堆积密度是

π/√18 = 0.74048…

著名天文学家开普勒(Johannes Kepler,1571-1630)在 1611 年的一篇文章中猜测,这样堆积的密度是最大的。这就是开普勒猜想。


装球问题起源于对堆积加农炮弹的研究,图中所示的堆积方式便达到了最大密度(图源:维基百科)

动手试一下,就会发现,实现这一密度的堆积方法有很多种。在下图里,圆圈表示放好的一层球。接下来的一层球如何放有两种选择:既可以放到红点所在空隙的上方,也可以放到蓝点所在空隙的上方。同样地,放好这一层后,再接下来一层又有两种选择。以此类推,可以看出,能取得最大密度的堆积方式有无穷多种。



可以说,每一个卖橘子的商贩都知道这种堆积能取得最大密度,但这一事实的证明却花了人类四百多年时间。

装球问题的困难在于,在一个小范围里可以有一种装球方式,使得这个小范围里的堆积密度大于 π/√18 。可一旦你想把这种装球方式扩充到整个空间,堆积密度必然会小于 π/√18 。所以装球问题不可能用简单的局部分析来解决。


红色小球周围均匀放置了 12 个蓝色小球与之相切(图源:维基百科)

我们可以看一个例子。在达到最大堆积密度的装球方式里,每个球周围恰好有 12 个球跟它相切。但是,这 12 个球并没有以最均匀的方式分布。上图是另外一种在(红色)小球周围放置 12 个与之相切的(蓝色)小球的方式,蓝球的球心构成正十二面体十二个面的中心。跟达到最大堆积密度的堆积方式相比,这种堆积方式的 12 个球分布得更均匀,局部上有着更高的对称性。可以算出,红球附近的堆积密度是 0.7546… ,比 π/√18 = 0.74048… 略大。但是,你没法把这一堆积方式扩充到整个空间,使得每个小球周围都有这么 12 个均匀分布的小球!所以 0.7546… 这一密度在整个空间中是不能实现的。

有同学会问了:“都是跟 12 个小球相切,为什么分布越均匀局部密度越大?”可以这么想:假设有四条彪形大汉,从东南西北四个方向围着你,是不是压迫感十足?现在如果这四条大汉跟你的距离不变,但改成半包围形势,留出一个方向让你跑路,是不是压迫感没那么强了?这就是为什么分布越均匀,局部密度就越大。当然,局部密度在数学上有严格定义,我们就不在这里给出了。

1831 年,高斯证明了,如果把球按照格的方式堆积起来,那么最大密度是 π/√18 。但这离开普勒猜想的解决还差得很远,因为达成最大密度的堆积完全可以不是格的方式。事实上,在无穷多种密度达到 π/√18 的堆积中,只有一种堆积的球心构成格。这个格就是前面提到的面心立方格。(密排六方晶格同样达到最大密度,但这不是我们所说的格。)

匈牙利数学家拉斯洛·费耶斯·托特(László Fejes Tóth,1915-2005)在 1953 年提出了一个方法,只需要进行有限多次计算就能够验证开普勒猜想。但这个计算量非常大,以当时计算机的能力根本无法完成。1998 年,美国数学家黑尔斯(Thomas Hales)使用费耶斯·托特的方法,在计算机辅助下给出了开普勒猜想的一个证明。他将开普勒猜想划分为大约十万个线性规划问题,每个问题有 200 个左右的变量,1000 个左右的限制条件,可以用计算机解答。他的论文有 270 页,此外还有 3 GB 的数据,以及超过四万行计算机程序。很显然,这样的证明不是人类所能够检验的。

黑尔斯将他的论文投到了《数学年刊》,拉斯洛·费耶斯·托特的儿子加博尔·费耶斯·托特(Gábor Fejes Tóth)率领的一个 12 人团队负责审核论文。经过四年的艰苦工作,加博尔·费耶斯·托特的团队报告说他们有 99% 的把握认为证明是对的,但他们无法确认所有计算的正确性。最终,《数学年刊》发表了黑尔斯原始论文的数学理论部分,有 120 页。其余偏重计算的部分则分成若干篇论文发表在《离散计算几何》杂志上。这种做法对于《数学年刊》这样的顶级杂志来说是相当不寻常的。

尽管黑尔斯的论文已经发表在权威杂志上,数学界仍然有很多人对其证明抱持着怀疑态度。于是黑尔斯又花了十几年时间,率领团队在 2014 年给出了一个“形式化证明”(formal proof)。也就是说,这个证明可以由计算机读取,并用现成的证明辅助软件来自动检验每一步逻辑推理是否正确。介绍这一形式化证明的论文于 2017 年发表在《数学论坛 Pi》上,算是终结了对开普勒猜想证明正确性的质疑。

虽说开普勒猜想已经得到了证明,但这个证明并不是大部分数学家想要的。黑尔斯的证明需要用计算机作海量的计算,检验证明也需要用计算机。雅可比(Carl Gustav Jacob Jacobi,1804-1851)曾说过:“科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀。”如果人类的心智永远不能理解这个证明,又谈何荣耀呢?

8 维和 24 维的突破

开普勒猜想研究的是三维空间里的装球问题。在任意维数的空间中,也可以提出类似的装球问题,即同样大小的球堆积起来何时密度最大。这里一个“球”就是空间中到一个固定点(即“球心”)的距离不超过一个固定长度(即“半径”)的点的集合。例如直线上的一维“球”就是一条线段,平面上的二维“球”就是一个圆盘。

一维的装球问题是平凡的:最大密度是 1 ,我们只需要把线段一个个接起来就能填满直线。

二维的装球问题比较初等,很容易想到,当圆盘的中心组成一个六边形格时,密度最大。这一事实的第一个证明是挪威数学家图厄(Axel Thue,1863-1922)在 1890 年给出的。


平面上的最密堆积

在 2016 年之前,1、2、3 这三个维数是装球问题得到完全解决的仅有的三个维数。

在二维和三维,密度最大的堆积很容易猜出来,尽管证明并不容易。到了高维空间中,密度最大的堆积通常很难猜出来。但是,8 维和 24 维这两个维数比较特殊。在这两个维数存在着 E8 格和利奇格这两个高度对称的格,人们很自然地会猜测,当球心组成 E8 格或者利奇格时,堆积密度最大。



拉马努金(Srinivasa Ramanujan,1887-1920)是一位自学成才的印度数学家。他凭直觉写下了大量复杂而优美的数学公式,却无法解释它们的来历,而将其归结于神启。

维亚佐夫斯卡不是拉马努金,更没有得到神启。她花了两年时间,利用数论里的模形式,为 E8 构造出了正确的辅助函数。她的论证没有用到非常抽象的现代数学知识,而是展示出了高超的数学技巧。毫不夸张地说,十九世纪的那些数学大师们就可以理解并欣赏她的工作。

她的构造,建立在两位跟拉马努金同等级别,但远没有那么出名的数学天才的工作基础之上,并加上了她自己的独特贡献。

这里所说的第一位天才是德国数学家艾森斯坦(Gotthold Eisenstein,1823-1852),他是高斯最钟爱的弟子。高斯曾经在一封给亚历山大·冯·洪堡(Alexander von Humboldt,1769-1859)的信中称赞艾森斯坦是一个世纪中只出现几位的天才。据高斯另外一位学生莫里兹·康托尔(Moritz Cantor,1829-1920)的记载,高斯甚至说过:“只有三位超越时代的数学家,那就是阿基米德、牛顿、和艾森斯坦。”这些言论或许不无夸大之处,但艾森斯坦在他的短暂一生中无疑取得了令人瞩目的成就,这一点很像拉马努金。

艾森斯坦最重要的工作是提出了艾森斯坦级数。这是一种形如



的函数。艾森斯坦级数是数论里模形式的重要例子。

第二位天才同样是一位德国数学家,就是雅可比,前面引用过他的名言。雅可比是历史上计算能力最出色的数学家之一,著名数学史家贝尔(Eric Temple Bell,1883-1960)在《数学精英》一书中把他称为“伟大的算学家”。哈代(Godfrey Harold Hardy,1877-1947)认为,拉马努金对代数公式和无穷级数的直觉,历史上只有欧拉(Leonhard Euler,1707-1783)和雅可比才能与之相比。可见雅可比在这方面的能力是多么的杰出。

雅可比定义了四个雅可比 θ 函数,并且证明了关于它们的一系列恒等式。最基本的一个 θ 函数是



维亚佐夫斯卡本人的重要贡献是定义了一个新的积分变换。所谓积分变换,就是从一个函数出发,通过积分得到一个新的函数。著名的积分变换有傅立叶变换和拉普拉斯变换。维亚佐夫斯卡从最初几个艾森斯坦级数 E2, E4, E6 出发,经过简单的加减乘除,再用上她新定义的积分变换,得到了一个函数 a(x) ,其傅立叶变换就是它本身。用类似方法,从三个雅可比 θ 函数出发,能得到一个函数 b(x) ,其傅立叶变换是它的相反函数 -b(x) 。最终的辅助函数则是 a(x) 和 b(x) 适当的线性组合。

维亚佐夫斯卡解决 8 维装球问题的论文于 2016 年 3 月在网上发表,只有 24 页。在她把论文放上网的当天晚上,科恩就给她发信祝贺,并问能否把这一方法推广到 24 维空间。他们两人与另外三位数学家合作,在 7 天后发布了一篇 12 页的论文,证明了利奇格的堆积在 24 维空间中是密度最大的。这一团队后来又写了一篇 100 页的论文,证明 E8 格和利奇格具有“泛最优性”。也就是说,如果把无穷多个互斥的粒子放到 8 维或 24 维空间中,使得它们之间的斥力满足一定条件,那么 E8 格或利奇格就是能量最低的摆放方式。

迄今为止,装球问题只在 1、2、3、8、24 这五个维数得到解决,而泛最优性只在 1、8、24 这三个维数得到解决。为什么 8 维比 4、5、6、7 维更容易?即便这一领域的专家们也难以给出一个满意的回答。这其中或许有着非常深刻的原因。

有人会问:“我们生活的空间就是三维的。研究二维和三维的装球问题还可以说有现实意义,研究高维的干什么?”事实上,人们研究装球问题并不完全出于数学上的兴趣。三维空间的装球问题跟材料科学密切相关,高维的装球问题则在通信和编码理论中起到重要的作用。

从数学上说,装球问题不是一个孤立的问题,它跟数论、调和分析、线性规划等许多数学分支都有联系。在研究这一问题中发展出来的方法,可以被运用到别的数学领域。从这一意义来说,装球问题就像一只下金蛋的鹅。维亚佐夫斯卡所发展的方法,正是这只鹅下的诸多金蛋之一。菲尔兹奖的表彰,一定程度上是对金蛋成色的肯定吧。
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