无理数的定义和实数理论的建立
无理数的定义和实数理论的建立作者：李照
看完本文后你至少会明白如下几个关键问题：
1，无理数最初来源于几何上的发现，那为什么不采用几何的方式来定义无理数呢？是什么原因使得康托（Georg Cantor）和戴德金（Richard Dedekind）的无理数或实数定义都不采用几何的方式？用几何的方式真的不行吗？
2，算术法则或数学是真理吗？
3，什么是数的连续体？实数系为什么是连续的？
4，为什么无理数也有像有理数那样的乘法结合律和分配律等算术法则？如何证明？
5，矩形的面积为什么是两邻边长度的乘积？
无理数在我们的运算使用中常常被认为也满足交换律、结合律、分配律等算术法则，但为什么它们也具备这些性质呢？我们同样需要严谨的证明才能信服，而这首先得从什么是无理数，从无理数的定义谈起。无理数和有理数都被称为实数，所以如果我们有了实数的定义，那么无理数的定义也可以用这个更广泛的实数定义来充当。本文将先带读者领略两种当前盛行但又过于抽象的实数定义方式，对比之下提出一种简单易懂且兼具严谨性的无理数定义，从而与有理数一起组成数的连续体——实数系，然后再严格建立起实数（包括无理数）相关的算术法则和不等关系。文中会有很多英文资料的引证，看不懂没关系，因为对应的主要意思我都在之前用中文表述了。看本文前先看柯朗和罗宾的《什么是数学》2的第二章开头至第二节的第一小节会有更好的效果。
两种定义实数的方式及其成因分析
现在让我们来看两种当今比较盛行且又独具一格3的实数定义——分别由德国数学家康托（Georg Cantor，1845－1918）的和戴德金（Richard Dedekind，1831－1916）提出。
Cantor 对实数的定义4：实数是一个有理数的柯西数列（Cauchy sequence of rational numbers）。其中，是“有理数的柯西数列”的条件是：该数列中的各项都是有理数，并且数列中除有限多项外的其它任意两项的差都小于一个预先任意指定的正有理数。任何一个满足这种条件的数列都是有理数的柯西数列，也是这种定义下的一个实数。
现在大多数教材把 Dedekind 对实数的定义5表述为：实数是一种有理数集的 Dedekind 分割。其中，有理数集的 Dedekind 分割的定义是：把有理数集分成两个非空集合 A1 和 A2 ，对于 a1∈A1 和 a2∈A2 有 a1＜a2 。任何一组这样的 A1 和 A2 都是一种有理数集的 Dedekind 分割，也是这种定义下的一个实数。
当第一次看到这类实数定义时，你也许会像我一样很苦恼地感叹道：这是什么东西？如此怪异，完全看不懂！按照他们这些定义来描述实数，那么实数到底是个什么东西？完全没有了我们一开始对实数认识的样子了。之前我们可以直观地认为实数就是数轴上的第一个点，但现在，实数从我们自认为非常熟悉的东西变成了难以捉摸、令人费解的怪物！在这两种定义下，每个无理数已不再是我们之前可能认为的那样是一个单独的个体、是一个无限不循环小数，而是被定义成了和无限个元素的集合相关的东西，令初学者看了有些不知所言为何物（It is apparent from these various approaches that the logical definition of the irrational number is rather sophisticated. Logically an irrational number is not just a single symbol or a pair of symbols， such as a ratio of two integers， but an infinite collection， such as Cantor's fundamental sequence or Dedekind's cut. The irrational number， logically defined， is an intellectual monster， and we can see why the Greeks and so many later generations of mathematicians found such numbers difficult to grasp6）。无理数最初来源于两直角边为 1 的三角形的斜边长，而在这两种无理数的定义中完全看不到几何的影子，这是让初学者觉得给出的无理数定义比较抽象和怪异、难以理解的主要原因。为有理数提供严谨逻辑理论的数学家 Hermann Hankel 对此评论说：“各种抛弃了几何定义出来的无理数尽管有了严谨的基础，但却是极端晦涩难懂、令人反感畏惧的人造物，我们有足够的权利去怀疑这些定义的科学价值（Every attempt to treat the irrational numbers formally and without the concept of (geometric) magnitude must lead to the most abstruse and troublesome artificialities， which， even if they can be carried through with complete rigor， as we have every right to doubt， do not have a higher scientific value7）。”实际上即便是定义创建者之一的 Dedekind 也说自己看不到这种纯抽象的实数定义会带来什么优势（But what advantage will be gained by even a purely abstract definition of real numbers of a higher type， I am as yet unable to see， conceiving as I do of the domain of real numbers as complete in itself8）。抛弃几何后的实数定义可说已经让初学者不知所云了，如果还要按照这种路子走下去，那么后续的学习很大程度上只是应用这些定义目的不明地、淡然无味地去证明一些结论，对于理解背后的数学思想基本没什么实质性的帮助。德国数学家 Paul du Bois-Reymond 也表达了和我同样的观点：剥离了实数和几何关系后建立的分析学将会使得这门学科沦为折腾符号的玩意儿（A purely formalistic-literal framework of analysis which is what the separation of number from (geometric) magnitude amounts to， would degrade this science to a mere game of symbols9）。
那么是什么原因促使数学家们用抛弃几何的方式去定义无理数或实数呢？这得回到数学史，从为什么要为实数提供严谨的逻辑基础谈起。数学分析的严谨化导致了对严谨的实数理论的需要（The rigorization of analysis forced the realization that the lack of clarity in the number system itself had to be remedied10)。数学分析的一个非常基础的概念是极限，而仅仅在有理数集内谈论极限是有限制的，因为有理数组成的数列其极限可能是无理数，只有在有理数和无理数组成的实数系里面谈论极限才是没有限制的。有理数的定义、算术法则、不等关系（具体是哪些请看下文“实数算术法则和不等关系的建立”的后半部分）早已严格建立，而无理数或实数的严格定义及其对应于有理数的这些性质却迟迟未得到严格建立，一直到十九世纪下半叶数学家们对无理数的使用都是凭直觉进行的11，默认它们也有像有理数那样的算术法则。因此，为实数提供严谨逻辑基础的问题变成了如何严谨化无理数相关的理论（By the latter part of the nineteenth century the question of the logical structure of the real number system was faced squarely. The irrational numbers were considered to be the main difficulty12）。
首当其冲的是要明确什么是无理数，要给无理数下个定义。无理数是通过几何发现的，其定义方式就可以考虑基于几何或不基于几何，当今较为盛行的两种定义（如上）皆选择了不基于几何的方式，是什么原因造成了这种选择呢？查阅资料后我找出了如下原因：（1）从公元前200年左右开始到大约1870年，几乎全部数学都建立在直观经验和实用的基础上13，也就难以避免地出现了轻易相信几何直观而得出错误结论的情况，比如曾经出现过依赖于直观的几何经验一度普遍认为连续曲线在除了一些特殊点之外的其它各点处必有切线，直到 Weierstrass 给出了一个处处连续但又处处不可导的函数才终结了这一错误的直观认识。Weierstrass 的这一发现使得数学家们对相信直觉和借助几何辅助思考的不严谨性起了很大的警醒作用14，由于基于几何直观得到的结论有可能（也仅仅只是“可能”，并非“一定”）是不可靠的，为了严谨化数学分析，Weierstrass 等数学家倾向于用数而不是几何来为微积分或数学分析奠定严谨的逻辑基础，进而就没有用几何的方式去定义无理数15,16,17。同样的原因，上述提到的实数定义的创建者 Dedekind 也说自己在教授“连续增长且有上界的变量必然趋近于一个极限值”时也因为一时没有别的办法而不得不通过几何直观来讲解，但他始终觉得这种做法是不严谨的，直到他为数学分析找到了纯算术化且绝对严谨的基础18。至于 Cantor ，他并没有在他给出实数定义的文章 Ueber die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der Trigonometrischen Reihen 里说明他为什么不选用基于几何的方式定义无理数19，不过 Philip E.B. Jourdain 认为 Cantor 的无理数定义是基于 Weierstrass 的无理数定义修改出来的20，所以我们可以认为其理由和 Weierstrass 的一样，值得一提的是 Cantor 是 Weierstrass 的学生；（2）另外一个 Dedekind 认为无理数的定义应该脱离于几何的理由是：就像负数和分数的定义及其算术法则可以追溯到正整数那样，无理数也应该来源于有理数21；（3）非欧几何的创建和它也能用来像欧几里得几何那样准确地描述物理空间的性质，使得数学家们认识到欧几里得几何并非关于物理空间的绝对真理22，接着数学家们甚至无法确定到底哪种几何或者几何还是不是关于物理空间的绝对真理23（本文未加限定修饰的“几何”均指欧几里得几何或平面几何，但在本观点相关的论述处皆是泛指，下同），而之前创造的数学（包括微积分）却依赖于欧几里得几何，当时的一些数学家（包括高斯24）为了避免数学因此而丧失作为自然界法则方面的真理地位（truth in the sense of laws about the real world25），觉得解决之道在于把数学完全建立在算术（Arithmetic）上，因为他们在某种哲学层面上相信算术才是真理26（Another motivation to erect the foundations of the number system was the desire to secure the truth of mathematics. One consequence of the creation of non-Euclidean geometry was that geometry had lost its status as truth (Chap. 36， sec. 8)， but it still seemed that the mathematics built on the ordinary arithmetic must be unquestionable reality in some philosophical sense27）。而数是算术的基础，这种做法就要求数在本质上不能依赖于几何。
现在让我们简短总结一下上述提到的历史上不用几何方式定义无理数的原因：（1）数学家们担心依赖于几何直观性的方式可能导致错误结论；（2）Dedekind 认为就像负数和分数的定义及其算术法则可以追溯到正整数那样，无理数也应该来源于有理数；（3）倾向于认为算术而非几何是真理，这要求作为算术基础的数在本质上不能依赖于几何。然而，我认为这三条理由均不能否决“用几何方式定义无理数”的可行性。对于理由（1），的确，轻易相信几何直观确实很可能产生错误结论，但这并不意味着几何学的方式不严谨（Despite the fact that geometry too had been rigorized， one consequence of the rigorization movement was that number and analysis took precedence over geometry.28），而是人们应用几何的方式是不严谨的——仅仅通过一些个案的直观性，并没有严格的证明，就草率地得出普遍性的结论。一部分数学家只是因为“相信几何直观可能产生错误结论”，为了避免这种“只是可能但并非一定会有”的风险，所以就不选用几何而是用纯数、纯算术的方式为数学奠基。更何况如果几何学是不严谨的，那么它是不是早已退出数学领域了呢？然而并未如此！对于理由（2），虽然说科学理论的发展可以受一些思想观点的指导，但它们绝非科学理论发展的枷锁或准绳，所以 Dedekind 的这个观点我们也就不必视为绝对要遵从的真理；对于理由（3），当时的一些数学家认为算术是真理，但是这种观点也很快受到了质疑。一方面，这种观点仅仅只是来源于有限的实践经验的认识，其正确性并没有一个严格的论证，况且当时数或算术法则连一个严谨的逻辑基础都还没有29（这是本文要建立的一点）；另一方面，非交换代数（non-commutative algebras）的产生，尤其是四元数（quaternions）和矩阵（matrices）的产生，让数学家们开始反思“数或算术的应用能够在多大程度上反映客观世界的真实”，Hermann von Helmholtz (1821-1894)指出数的应用结果能符合事实的这一特性虽然不是偶然但也不能证明数的算术法则就是真理30，实际上这后面的本质是：数的算术法则来源于现实生活中的一类实践经验——测量，所以再将这些总结出来的算术法则反过来应用于对应的这些场景时显然就能适用，超出这类场景可能就不适用了。比如说把两个有理数的加法 a/b+c/d 的结果定义成 (ad+bc)/(bd) 而不是 (a+c)/(b+d) 就是出于测量的需要，如果定义成后者就会出现 1/2+1/2=(1+1)/(2+2)=1/2 ，从测量的角度来看这是个荒谬的结果31。另外，超出测量场景算术法则可能就不适用了，比如 Henri Lebesgue 举了个滑稽的例子32：如果你把一只狮子和一只兔子放在同一个笼子里，那么最终从动物数量这个角度来看就无法得出 1+1=2 这个结论，类似的现象在化学里还有很多，所以算术法则的应用范围也是有限的。总的来说，数学或其它自然科学在客观世界的有效应用的本质是：它们来源于现实生活中的一类实践经验，而后再将这些总结出来的规律反过来应用于对应的场景时显然就能适用，超出这类场景可能就不适用了。之所以说是来源于生活中的“一类”或“有限”实践经验，其决定性原因是除非是造物者（God）否则谁都不敢保证自己的理论是在考量完生活中的所有相关情况之后提出的，另一方面，理论提出后谁都不敢说自己核实完世间一切相关情形证明理论总是适用，只能保守地说理论适用于与之相应的场景，更别说生活中已发现理论不再适用的情形了（如上面算术法则失效的例子），所以这些提出来的理论只不过是应用范围有限的经验知识，其应用范围取决于实践认识。此外，当有经验或实验显示另外一种新的理论可以提供更好的解读时，那么旧理论很可能就会被这个新理论取而代之（Some areas of experience suggest particular sets of axioms and to these areas the axioms and their logical consequences apply accurately enough to be taken as a useful description. But if any area is enlarged the applicability may be lost. As far as the study of the physical world is concerned， mathematics offers nothing but theories or models. And new mathematical theories may replace older ones when experience or experiment shows that a new theory provides closer correspondence than an older one.33）。所以，就如休谟（David Hume，1711-1776）所说：一切科学理论都是基于（有限）经验建立起来的（Science is purely empirical34）。所谓的自然法则全是人类创造的，是我们人类而不是造物者给出了这些法则，所以每条自然法则只不过是人类的解读，不见得是造物者的意思——绝对真理（Nature's laws are man's creation. We， not God， are the lawgivers of the universe. A law of nature is man's description and not God's prescription.35）。所以，继几何之后认识到算术也不是关于客观世界的绝对真理36我们就会认识到历史上“让数的定义脱离于几何，然后就相信基于数的算术或数学是真理”的做法便不具备什么意义了，相反我们更应该认识到数和几何的紧密联系，比如有理数的加法和乘法定义实际上是源于（几何）度量的需要定义出来的37，一个更迫切的需求是：我们需要每条线段的长度都要能用一个数去代表、去衡量，这也是分析几何（Analytic geometry）的基本要求。实际上即便是上面这两种实数定义的提出者 Cantor 和 Dedekind ——他们用抛弃了几何的方法去定义实数，但是为了在“数（特指实数集）”和“形（特指直线）”之间建立联系也不得不用公理化的方式说明他们所定义的实数和直线上的每个点是一一对应的38（后世称之为 Cantor-Dedekind 公理39）。正是基于“数”和“形”之间无法割舍的紧密关系，也因为并不是非得用抛弃几何的方式去定义实数，更何况这么定义的实数非常抽象和怪异、不易理解，所以本文将基于几何（直线）建立一种简单易懂且兼具严谨性的无理数定义方式，然后再建立起与之相关的算术法则和不等关系。
本文的无理数或实数定义、数的连续体
首先我们来看如何把所有的有理数表示在一条直线上。在一条水平直线上选定代表 0 和 1 的点之后（0 在 1 的左边），把 0 和 1 间的距离叫作单位长度，在 1 的右边每隔一个单位长度就取一个点，一直无止境地进行下去，把这些新标示出来的点从左到右依次用来代表 2，3，4…… 这些正整数，在 0 的左边每隔一个单位长度就取一个点，一直无止境地进行下去，把这些新标示出来的点从右到左依次用来代表 -1，-2，-3，…… 这些负整数，这样我们就在这条直线上找到了代表每个整数（分母为 1 的有理数）的点，可以通过尺规作图来完成这种构造。每个有理数 p/q 都可以用这种形式唯一表示，其中 p 是整数，q 是正整数，并且 p 和 q 没有比 1 大的公因子，为了在这条直线上标出代表分母 q 大于 1 的有理数的点，我们只需把每个单位长度的区间进行 q 等分（尺规作图可以做到这一点40），那么每一个分点就都代表一个分母为 q 的有理数。显然每个有理数都可以用这种方法在理论上于这条直线上找到代表它的那个点，可称这些点为“有理点”、这条直线为数轴。值得注意的是这条直线上的所有点并非都是有理点，比如用圆规以两直角边为 1 的三角形的斜边长为半径，代表 0 的点为圆心画圆的话，那么圆弧与这条直线在 0 的右边的交点就不会与任何有理点重合（如图所示）41。
如果从形式上来看的话，那么有理数只是可以写作 p/q 这种形式的符号。有理数和数轴上的有理点一一对应，并具备一些算术法则和不等关系。根据使用需要，我们有必要引入另外一组符号来与数轴上所有的无理点一一对应，可把这每一个与无理点相对应的符号都称为“无理数”42，为了使用这些符号，我们希望它们也具备像有理数那样的算术法则和不等关系——这是下文的要建立的。如果一个点在另外一点的右边，那么称与这个点对应的数 x 大于与左边那个点对应的数 y ，记为 x＞y ，反之则是“小于”，记为 x＜y 。至此，各位应该掌握到的是：本文定义无理数为数轴上与无理点相对应的一个符号，此外数与数之间有这种大小关系。可把已经有的有理数和这里新引入的无理数统称为实数（把所有的实数称为实数集或实数系），这样实数就和数轴上的点一一对应了。
直线是连续的，其连续性表现出了这样的性质：“如果把一条水平直线上的所有点分成左右两个部分，那么其中有且仅有一个点能造成这种分割，并且这个点是左边这部分的最后一点或右边这部分的起点。”如果假设其中至少有两个不同点可以把直线分成同样的左边和右边两部分，那么这两个点间的那无数多个点既不同时属于这两个点产生的分割的左边部分也不属于右边部分，因此“有且仅有一个点能造成这种分割”，这条性质是由德国数学家戴德金（Richard Dedekind）提出的43，他认为这是一个明显的事实，无需也无法被证明，它能够刻画直线的连续性，它是直线之所以连续的本质体现，应将其看作一条公理44，可称其为直线连续性公理（line continuity axiom）。
实数集里的实数可以和直线上的点一一对应，再加上我们也定义了任意两个实数的大小关系，所以实数集里也同样可以提出与直线连续性公理相应的性质：如果把实数集内的所有数分成两部分 A1 和 A2 ，以至于 A1 内的每个数都小于 A2 内的每个数，那么其中有且仅有一个数能产生这个分割，并且这个数是 A1 这部分的最大数或 A2 这部分的最小数45——这应该看作是实数集连续性的本质表现，因为这条性质是受直线连续性公理启示而提出来的，所以也应将它看成是一条公理。实数集，因为具备连续性，所以也被称为数的连续体，英文 number continuum46，亦译作“数的连续统”，这条描述其连续性的公理可称为数的连续体公理（number continuum axiom）。
实数的加减乘除定义
为实数系建立严谨逻辑基础的核心问题是如何定义无理数及建立起与之相关的算术运算法则和不等关系。行文至此，本文的无理数定义我们已经有了——数轴上与无理点相对应的一个符号，接下来要做的就是建立起与无理数相关的性质。同样地，如果我们能够建立起实数间的算术运算法则和不等关系，那么无理数的这些性质也就无形中被从这个更大的层面建立了。
首先要建立的是实数集的阿基米德性质，为此有必要先建立实数间的加法、减法、任意实数乘以或除以正整数 n 这三种运算的结果，定义的方法同样依赖于几何，我将用尺规作图的方式进行展示。首先来看如何用尺规作图定义两个实数的加减法的结果，此处以两个正实数 a、b 为例：以正数 a 在数轴上所代表的点为圆心，以原点到正数 b 的长度为半径，用圆规画弧与数轴在 a 点右方的交点即为实数 a+b 的结果，在 a 点左方的交点为 a-b 的结果。当 a 或 b 为负数的时候，也能很容易地调整后构造出 a+b 或 a-b 的结果，此处不再敖述。
很显然我们也能构造出任何实数 a 的 n 倍，即 na 。a 的 1/n ，即 a/n 也是可以通过尺规作图在数轴上构造出，上文也提到过，愿闻其详者请看这里。另外我们还需要再引入几条实数系内的公理：（1）若 x≤y ，则 x+z≤y+z ；（2）若 0≤x≤y ，则 nx≤ny 和 x/n≤y/n 。这样我们就有基础建立下面的性质了。
实数集的阿基米德性质（Archimedean Property for Real Numbers）：如果 x 和 y 都是任意正实数，尤其是 x＜y 时，总存在正整数 n 使得 nx＞y 。
可用反证法来证明：假设 nx＞y 对于任何正整数 n 都不成立，那么也就是说集合 A={nx|n∈N} 有上界 y 。根据实数集的最小上界性质可知 A 有最小上界 z ，因为 x 是正数，所以 z-x 就不是 A 的上界，那么也就存在正整数 m 使得在 A 内有 mx＞z-x ，该式两边都加上 x 后有 mx+x＞z ，即 (m+1)x＞z ，也就是 A 中有元素 (m+1)x 大于 A 的最小上界，这与最小上界的定义相悖，所以原结论得证49。
根据实数集的阿基米德性质可得到如下两条性质：
（1）对于任意正实数 x ，总存在正整数 n 使得 1/n＜x 。
将不等式两边都乘以 n 得到 1＜nx ，所以问题变成了：对于任意正实数 x ，是否总存在正整数 n 使得 1＜nx ？ 根据上述实数集得阿基米德性质可知这样的正整数 n 总是存在的，故本条性质得证。
实际上到这里我们便具备给出函数或数列极限的 (ε,N) 定义的基础了，但为了避免增加不必要的复杂性，故此略去，要说明的是本条性质对于在实数系内证明数列 an=1/n 的极限为 0 是极为关键的。因为当 n 变得越来越大的时候，1/n 变得越来越小，从图像上来看 1/n 也是在越来越接近 0 ，但无论 n 有多大，1/n 始终大于 0 ，所以会不会有正数比所有的 1/n 都小但又大于 0 呢？根据本条性质就可以否定这个问题。
通过实数集的阿基米德性质和本条性质可知：（2）实数集内即无最大正数也无最小正数。
实数算术法则和不等关系的建立
综述
乍看之下本文的实数系及其算术法则和不等关系是基于有理数和直线连续性而建立的，但深究有理数的算术法则和不等关系的来源后会发现实际上它们也是基于线段长度的度量和比较而创建的57，所以本文的实数系及其理论是在直线连续性、线段长度度量和比较的基础上建立起来的（The problem was to interpret the geornetric property of the line:‘a continuum of points' to be phrased in terms of arithrnetic rules.58 ）。
至此，本文就基于几何通过一种简单直观且兼具严谨性的方式定义了无理数——和数轴上的“无理点”唯一对应的一个符号，所有这些符号和有理数集组成的实数集有数的连续体公理（或最小上界公理）及其推导出来的阿基米德性质，这些实数也满足有理数所具备的算术法则和不等关系。
注释：
1，What Is Mathematics？ Second Edition， Courant and Robbins， p54
2， What Is Mathematics？ Second Edition， Courant and Robbins
3，Julian Havil， The Irrationals， p241
4，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p984
5，Dedekind 本人并不同意这种表述，详情请看 Morris Kline， Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， p986
6，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， (Chap. 41， sec. 3)
7，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p987
8，Richard Dedekind， Essays on the Theory of Numbers
9，Real Numbers， Generalizations of the Reals， and Theories of Continua， Editors: Ehrlich， P. (Ed.)，page x
10，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p979
11，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p979
12，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p982
13，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p1024
14，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p956
15，The History of the Calculus and Its Conceptual Development， Carl Benjamin Boyer， p284-286
16，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p1025
17，Introduction to Calculus and Analysis， Volume I， Reprint of the 1989 edition， Richard Courant， Fritz John， p88
18，Richard Dedekind， Essays on the Theory of Numbers
19，笔者不懂德语，这是在谷歌翻译的辅助下阅读后的结论
20，Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers， Georg Cantor; Philip E B Jourdain， p26
21，Richard Dedekind， Essays on the Theory of Numbers
22，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p84
23，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p88
24，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p88
25，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p95
26，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p95
27，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p980
28，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p1025-1026
29，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p879-880
30，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p92
31，What Is Mathematics? Second Edition， Courant and Robbins， p54
32，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p92
33，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p97
34，Mathematical Thought from Ancient to Modern Times， Vol. 3， 1990 edition， Morris Kline， p862
35，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p98
36，Mathematics: The Loss of Certainty， Morris Kline， p95
37，What Is Mathematics? Second Edition， Courant and Robbins， p54
38，Hans Niels Jahnke，A History of Analysis，p306
39，S. C. Malik， Principles of Real Analysis，P18; Editors: Ehrlich， p. (Ed.)，Real Numbers， Generalizations of the Reals， and Theories of Continua，page viii
40， https://www.mathsisfun.com/geometry/construct-segment3.html
41， What Is Mathematics? Second Edition， Courant and Robbins， p60
42， 这种定义方法在 Richard C006Furant， Fritz John， Introduction to Calculus and Analysis Volume I， Reprint of the 1989 edition， p7 有提及，但书中并未发展这种方法。
43，Richard Dedekind， Essays on the Theory of Numbers， p5
44，Richard Dedekind， Essays on the Theory of Numbers， p5
45，Richard Dedekind， Essays on the Theory of Numbers， p9
46，Introduction to Calculus and Analysis， Volume I， Reprint of the 1989 edition， Richard Courant， Fritz John， p2
47，Real Mathematical Analysis， Charles Chapman Pugh， 1st Edition， p20
48，Calculus with analytic geometry， 2nd Edition， George F. Simmons， p789
49， David French Belding， Kevin J. Mitchell， Foundations of Analysis， 2nd Edition， p21
50， 严格来讲从这里开始实际上有必要先介绍绝对值这个基本概念，但是通过几何的角度来理解绝对值也很简单，所以就不作介绍了。
51，Introduction to Calculus and Analysis， Volume I， Reprint of the 1989 edition， Richard Courant， Fritz John， p95-96
52，Introduction to Calculus and Analysis， Volume I， Reprint of the 1989 edition， Richard Courant， Fritz John， p97
53，Introduction to Calculus and Analysis， Volume I， Reprint of the 1989 edition， Richard Courant， Fritz John， p120
54，https://www.goteachmaths.co.uk/area-of-a-rectangle/
55，What Is Mathematics? Second Edition， Courant and Robbins， p399-400
56，Classic Set Theory: For Guided Independent Study， D.C. Goldrei， p15-16
57，What Is Mathematics? Second Edition， Courant and Robbins， p54
58，From Numbers To Analysis， Inder K Rana， p180 好文章！
数学要进展，必需好文章！！
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