无尽小数与无穷级数的关系
春风晚霞：第一，【π与√2 的无尽小数表达式】算不到底是事实，现行教科书中等式π=3.141526……与√2=1.41421356…… 是造假。应当知道：他们的右端是康托尔基本数列的简写，而且基本数列具有算不到底的事实。 例如1.41421356……是对2进行开方运算 永远开不尽过程中，逐步 得到的1.4，1.41，1.414，……的十进小数尾箱的无穷数列，即以有理数为项的康托尔基本数列，这个数列具有永远算不到底的事实，但可以根据极限理论，指出这个数列的极限是理想实数√2 。第二，春风晚霞说过：马克思《数学手稿》19也 写出了 1/3= 3/10+3/100+3/1000+……的等式，他根据这个等式说 1/3=0.3333……，但是马克思在这个等式之前写了“假如我把它表成级数，那末……”的话，在这个等式之后，立即写出：1/3成为它的无穷级数的极限；马克思没有写出等式1/3=0.3333……。这说明：马克思认为：“无穷级数的和是其前n项和的数列的极限，而且变量性数列的极限具有数列达不到的性质”。春风晚霞 引用恩格斯在《自然辩证法》一书中说道:“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识上来说，这是荒谬的。但是，如果没有无穷级数和二项式定理，我们能走多远呢？”之后说道：级数等式√2=1+1/2-1/8+1/16+……=1.41421356…… 。是数学专家探究的结果，是符合恩格斯的上述叙述的。但是，笔者看了恩格斯这段话之后，不仅认为：应当尊重恩格斯的话；还应当知道：恩格斯这段话具有如下的三个层次的意义：第一层意义是：使用二项式级数，把某个确定的数化为某种不确定的东西；第二个意思是：需要使用：无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限的定义；第三个意义是，由于二项式级数给出了无理数的有理数的足够准表示方法，在近似方法下解决了“无理数与有理数之间不可公度的一次数学危机”，因此二项式级数是必要的。事实上，上述二项式级数表达式1+1/2-1/8+1/16-…… ，具有永远写不到底、算不到底的性质，需要研究它的前n项和的数列Sn，这时可以得到：与√2 相比，它的前2项和大了，前3项和小了，所有前n项和都是有理数，都不等于左端的无理数√2 ，这就是恩格斯说的第一层意思。但前n项和 Sn 与左端差的绝对值满足不等式∣ ∣Sn-√2∣< εn , 这个 εn , 表示使用Sn 表示 时的误差界，当n=2时，误差不大于0.1，当n=3时，误差不大于0.05，当n=4时，误差不大于0.03，……等等，误差界随n的增大，在减小，进一步，根据二项式来源于泰勒级数的性质，可以知道；这个误差界序列是趋向于0的. 于是得到：虽然Sn永远达不到 √2，但这个数列的趋向性极限是√2 ，这就是恩格斯的第二层意思。由于误差界可以趋向于0，所以可以说：Sn 是左端理想实数√2 的针对这个误差界数列的全能近似值数列；虽然Sn 具有算不到底的性质，全能近似也具有达不到的理想性质；但可以在某个足够准近似的误差界下，从Sn中得到 √2的足够准的有理数的表达数字。因此二项式级数是必须的，有用的。这个级数表达式在足够准近似方法下解决了无理数与有理数之间的不可公度问题。这就是恩格斯的第三层意思。春风晚霞提出的 中的第二个等号后写的是无尽不循环小数1.4142…… ，这个表达式是恩格斯之后提出的，恩格斯没有说到这个无尽小数，这个无尽小数是对2进行开方运算开不尽过程中得到的 的针对误差界数列{1/10^n 的不足近似值无穷数列1.4，1.41，1.414，……的简写，这个数列中的数都不等于√2 ，所以它也含有{恩格斯的第一层意义，虽然这个数列也具有永远算不到底性质，但由于误差界数列趋向于0，所以，这个无尽小数的趋向性极限是 √2。这也是恩格斯的第二层意思，这个数列中的数，都是十进小数性质的有理数，所以，也提出了√2 的有尽位十进小数的有理数的近似表达数字，这就是恩格斯的第三层意思。总上所述，恩格斯对数学的辩证唯物方法叙述是值得学习的。， 本帖最后由 春风晚霞 于 2022-5-16 09:57 编辑
Jzkyllcjl，第一、现行教科书中等式π=3.141526……与√2=1.41421356……\(\mathbf{不是造假}\)，而是数π和√2十进制展开的必然结果。这类等式的出现(Taylor Formula提出时间为1712年7月)，比康托尔基本数列的提岀(1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义)要早159年，比“曹托尔基本数列”的提出至少要早270年。因此，无论用康托尔基本数列，还是用“曹托尔基本数列”，解读π和√2的十进制展开表达式都是蓄意造假。只承认基本数列(无论是康托基本数列还是“曹托尔基本数列”)具有算不到底的事实，是不符合人类认知的错误事实!
第二、马克思《数学手稿》19页， 给出等式 1/3= 3/10+3/100+3/1000+……之前说了“1/3本身是它自已的极限.”也就是说马克思对极限的认知与“常数的极限就是它自身”是一致的。由马克思的级数等式到1/3=0.3333……，只是用了欧几里得等量公理。由于你既不能否定欧几里得等量公理，又不能否定马克思级数等式的正确性，所以1/3=0.3333…是正确的。另外，对于1/3=0.333…，恩格斯在研究了用3、6、7、…作除数后，也曾指岀“用3作除数，商有数字横和的规则”。故此，jzkyllcjl的一切解释都是牵强附会的造假。jzkyllcjl说【马克思认为：“无穷级数的和是其前n项和的数列的极限，而且变量性数列的极限具有数列达不到的性质”。】更是无中生有的毁谤，马克思什么地方说了“变量性数列的极限具有数列达不到的性质”？！
第三、恩格斯在《自然辩证法》一书中说的:“数学。把某个确定的数，例如把一个二项式，化为无穷级数，即化为某种不确定的东西，从常识上来说，这是荒谬的。但是，如果没有无穷级数和二项式定理，我们能走多远呢？”恩格斯的话语意明显，不容亵渎。恩格斯认为每个Taylor级数都是某个确定数(或式)的无尽展开，无穷级数中的等号亦是Taylor等数学家早于恩格斯100多年前给出的。因此，把恩格斯的这段话解读成“无穷级数和是其前n项和的数列的趋向性极限的定义”纯属扯蛋。在实无穷(注意恩格斯的无穷观是辩证实无穷观)观念下，无穷级数的右端就是左端绝对准的值。收敛级数的Taylor展开式余项是0。从应用的角度讲，把一个确定的数根据泰勒公式(Taylor Formula)无穷展开，与根据某一个无穷数列求和是两个不同的数学问题。如果对某一确定数的Taylor展开式求和并取趋向性极限，势必造成“这个确定的数不等于这个确定的数”的悖论。如果非要用“写不到底、算不到底”的庸俗思维来理解或解读恩格斯的这段话，那就不止是对恩格斯的亵渎，简直是对恩格斯的玷污了！我们知道数学上涉及无穷的运算，是通过严谨的逻辑推理完成的，而不是靠某一个人通过逐项写出或逐项计算出来完成的。jzkyllcjl非要把Taylor Formula，和无穷数列前n项和生拉活扯地绑在一起，结果必然除现“某个确定的数就等于这个确定的数”(实无穷思想，右边所有项之和就等于左端)；与“某个确定的数不等于这个确定的数”(“曹托尔”思想，右边前n顶和的趋向性极限等于左端)；从逻辑的角度认识:前者是循环论证，有失Taylor Formula本身意思，成为无用之举。后者是jzkyllcjl对Taylor Formula的玷污，造成“左边这个确定的数不等于它自身”的悖论。所以jzkyllcjl对恩格斯这段话一大堆“唯吾”主义解读，其实是对恩格斯的\(\mathbf{最大不尊重!}\) 曹老，我刚吃完饭，再来聊聊，90岁不算老，100岁可期，仁者寿。怎么样？ 春风晚霞：需要说理，不是康氏谁说的 现行教科书中等式π=3.141526……与√2=1.41421356……的右端是永远算不到底的实物，。这是事实。 ， 本帖最后由 春风晚霞 于 2022-5-16 12:23 编辑
jzkyllcjl 发表于 2022-5-16 09:57
春风晚霞：需要说理，不是康氏谁说的 现行教科书中等式π=3.141526……与√2=1.41421356……的右端是永远算 ...
Jzkyllcjl：我与你交流一直都在说理，倒是你蛮不讲理。现行教科书中的等式π=3.141526……与√2=1.41421…都是\(\mathbf{正确的!}\)“无尽小数永远算不到底”，这只是曹氏数学的荒唐认识。π=3.141526…与√2=1.41421356…的右端是左端是Taylor Formula展开的必然结果，把右端计算到底就是左端的π和√2。因你只会\(\mathbf{屈指数数}\)，根本就不知道数学中的\(\mathbf{计算是在逻辑演译下完成的！}\)所以，你糊涂认知的“事实”，是\(\mathbf{不值得尊重}\)的事实！ 二项式级数表达式1+1/2-1/8+1/16-…… ，具有永远写不到底、算不到底的性质，需要研究它的前n项和的数列Sn，这时可以得到：与√2 相比，它的前2项和大了，前3项和小了，所有前n项和都是有理数，都不等于左端的无理数√2 ，这就是恩格斯说的第一层意思。但前n项和 Sn 与左端差的绝对值满足不等式∣ ∣Sn-√2∣< εn , 这个 εn , 表示使用Sn 表示 时的误差界，当n=2时，误差不大于0.1，当n=3时，误差不大于0.05，当n=4时，误差不大于0.03，……等等，误差界随n的增大，在减小，进一步，根据二项式来源于泰勒级数的性质，可以知道；这个误差界序列是趋向于0的. 于是得到：虽然Sn永远达不到 √2，但这个数列的趋向性极限是√2 ，这就是恩格斯的第二层意思。由于误差界可以趋向于0，所以可以说：Sn 是左端理想实数√2 的针对这个误差界数列的全能近似值数列；虽然Sn 具有算不到底的性质，全能近似也具有达不到的理想性质；但可以在某个足够准近似的误差界下，从Sn中得到 √2的足够准的有理数的表达数字。因此二项式级数是必须的，有用的。这个级数表达式在足够准近似方法下解决了无理数与有理数之间的不可公度问题。这就是恩格斯的第三层意思。春风晚霞提出的 中的第二个等号后写的是无尽不循环小数1.4142…… ，这个表达式是恩格斯之后提出的，恩格斯没有说到这个无尽小数，这个无尽小数是对2进行开方运算开不尽过程中得到的 的针对误差界数列{1/10^n 的不足近似值无穷数列1.4，1.41，1.414，……的简写，这个数列中的数都不等于√2 ，所以它也含有{恩格斯的第一层意义，虽然这个数列也具有永远算不到底性质，但由于误差界数列趋向于0，所以，这个无尽小数的趋向性极限是 √2。这也是恩格斯的第二层意思，这个数列中的数，都是十进小数性质的有理数，所以，也提出了√2 的有尽位十进小数的有理数的近似表达数字，这就是恩格斯的第三层意思。总上所述，恩格斯对数学的辩证唯物方法叙述是值得学习的。，
书写的有限性并不影响级数的确定性．jzkyllcjl 的吃屎性脑残也影响不了人类数学． elim 发表于 2022-5-16 13:21
书写的有限性并不影响级数的确定性．jzkyllcjl 的吃屎性脑残也影响不了人类数学．
无尽小数不是定数，而是康托尔基本数列性质的变数。 你的主帖的问题是你解决不了的问题。这个问题是实数理论的问题，已有的实数理论有戴德金、维尔斯特拉斯、康托尔几种，我只用了康托尔基本数列与他的四则运算。前两个的四则运算都不好 本帖最后由 elim 于 2022-5-20 02:00 编辑
四则运算缺除法的jzkyllcjl 对无尽小数定义的篡改具有强烈的jzkyllcjl 吃狗屎特色． elim 发表于 2022-5-20 08:34
四则运算缺除法的jzkyllcjl 对无尽小数定义的篡改具有强烈的jzkyllcjl 吃狗屎特色．
无尽小数是以十进小数为项的康托尔基本数列的简写，否则他就无有实践意义。
页:
[1]
2