\(\large\textbf{标准分析漫谈}\)
本帖最后由 elim 于 2022-2-16 12:48 编辑人们通常使用数学先于考究数学理论。说到数学理论，没办法不提欧氏几何. 谈欧氏几何没办法回避点线面这些基本几何对象元素。
点为什么不加定义，因为一个系统(论域+理论)总有一些本原概念，在系统内定义它们将导致循环定义。
点有没有大小？大小这个概念涉及线段和度量，其中点的参与度远远超过单个点本身。二相异直线至多相交于一点，过相异两点有且仅有一条直线这些公理决定了点没有大小，线没有宽度。而这些几何公理决定了几何命题的陈述是准确无歧义的，几何定理是可以被证明的。有人挑战说点无大小几何作图就不可能。其实全部数学对象都存在于观念世界，具体的作图只是示意，不是几何对象本身。坚持几何点应有大小的人是毫无人类理智，畜生不如的实例。
其实在现实生活中谈到点，也是忽略大小强调其存在和位置的。这给了几何点为什么没有大小及其真正的意义一个不错的注记。
现在人们不怀疑欧氏几何的公理本身的合理性，但这些公理推出的定理表明整数，有理数都不足以刻划长度。可见从几何的观点看，无理数的存在是几何公理决定的，实无穷点集的存在也是一样。长度的十进制理论读数是该长度的十进制值，数的十进制值若不是有限位的，就被叫做无尽小数.十进制小数(有限或无限)是实数的十进制值的自然表现形式。不以人是否能写完算完以及人的好恶篡改为转移。
我们看到，从几何观点可以相当系统地引入数系的概念，而后者又把几何提升到解析和代数的高度。 本帖最后由 elim 于 2022-2-15 23:36 编辑
数的等式始终被解读为等号两边的表达式的数值相等。例如 \(\pi=3.1415926535897932384626433832795028842\ldots\) 表示圆周率的十进制值是一个无尽小数其前 38 位有效数字已给出。
因写不完算不完就否定每个非0实数有唯一的无尽小数值，是严重无知和弱智的表现。这种人肯定学风败坏，智商底下，失道寡助，被人吊打。 elim 发表于 2022-2-15 22:39
数的等式始终被解读为等号两边的表达式的数值相等。例如 \(\pi=3.1415926535897932384626433832795028842\l ...
恩格斯的“数学家的方法常常奇怪的得到正确的结果，但他们……。他们忘掉了：全部所谓纯粹数学都是研究抽象的，它的一切数量严格说来都是想象的数量，一切抽象在推到极端时就变成谬妄或自己的反面。数学的无限是从现实中借来的，……，而只能从现实中来说明，……。而这样一来，问题就说明了”的论述应当被尊重。 恩格斯如果继续学习数学家的方法，就会知道他们的方法是正确的，因此他们得到了正确的结果。
jzkyllcjl 一直得不到正确的结果，他的方法一定是错的。 elim 发表于 2022-2-15 22:39
数的等式始终被解读为等号两边的表达式的数值相等。例如 \(\pi=3.1415926535897932384626433832795028842\l ...
第一，写不完算不完时必须尊重的事实，根据这个事实圆周率的绝对准十进小数表达式是虚假的。你的38位，不如50万位。50万位也是近似的。
第二，无尽不循环小数的确定性导致了布劳威尔反例。 本帖最后由 elim 于 2022-2-16 23:44 编辑
任何有限位都是近似。但无尽小数不是近似，jzkyllcjl 以为他算不到底的东西就不存在, 就虚假，他造不出太阳，太阳就虚假？ 马克思学习数学，主要是通过布沙拉(Jean-Louis Boucharlat)、辛德(John Hind)、拉库阿(Sylvestre Francois Lacroix)、霍尔(G·Hall)等不知名数学家各自编写的微积分教科书，这些教材顶多也就是停留在达朗贝尔和拉格朗日那个时代的水平上，但他毕竟不是职业数学家，所以没有接触过十九世纪以来几位重要数学家，如波尔察诺、柯西、黎曼、外尔斯特拉斯等人在极限与分析理论严格化与标准化方面的工作。当然应该肯定马克思对这些教材进行了深入学习思考，他的几篇手稿有一定的参考意义，只是很遗憾他并不了解他所处时代的前沿数学工作。
相比之下，恩格斯只是通过马克思的读书笔记和来信，零散地学习了一些微积分知识，并没有系统地阅读哪怕是达朗贝尔时代的数学教材，他在《自然辩证法》一文中对“数学家”的批评也完全不像他在其他学科部分那样，能够指出具体学者研究的具体问题，而更像是无的放矢和空谈。
在21世纪的今天，死搬教条式地引用恩格斯即使放在当时来看也很不成熟的看法与言论，是无法对又已经发展了一百多年的现代数学体系产生什么积极影响的。 马克思《数学手稿》、使用的唯物辩证法讨论了导数计算解决了第二次数学危机，它比鲁宾逊《非标准分析》好得多；它讨论了无穷极数与1被3除的运算。这哥研究说出了无穷级数和的本质与无尽小数的性质，这些论述是恩格斯 支持的。这些唯物辩证法的叙述比后来的实数理论符合事实。， 符合 jzkyllcjl 啥都不会算，畜生不如的事实？ 本帖最后由 elim 于 2024-1-18 14:52 编辑
直到中世纪，数学没有突飞猛进的发展。笛卡尔的解析几何思想为数学开拓了极大的视野，微积分思想引发了数学的井喷式的开拓和发展。人们把发生在十七、十八世纪，围绕微积分有关的基础概念展开的一场争论叫作第二次数学危机，这场危机最终完善了微积分的定义和与实数相关的理论系统，现在人们把结束第二次数学危机的基础理论称为标准分析。标准分析的核心是柯西，维尔斯托拉斯，皮亚诺，戴德金，康托等人建立的实数理论和极限理论。说白了就是
1）对有理数系作连续完备性扩张的思路来解读久已广泛使用的实数概念，在理论上将实数系其公理化, 使之成为具有最小上界性，含有理数系的阿基米德有序域。且给出实数域的模型(通过戴德金分割或柯西-康托基本列)。
2）给出严格的数学分析概念(函数，极限等等)，驱除一切意义不明的自在自为的说法遁词(包括既可以是 0，又可以是非零无穷小之类的精灵）
标准分析提供了解决看似涉及无穷操作的问题的有限方法。我们接着聊。