若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= 7*17*23*31，
由 7*17*23*31 有 4个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(4-1)组 本原勾股数。
1-----( a=2035, b=82812, c=82837 )
2-----( a=15375, b=69472, c=71153 )
3-----( a=25063, b=59784, c=64825 )
4-----( a=33835, b=51012, c=61213 )
5-----( a=47263, b=37584, c=60385 )
6-----( a=56055, b=28792, c=63017 )
7-----( a=63855, b=20992, c=67217 )
8-----( a=67555, b=17292, c=69733 )
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= 7^2*17^2，
由 7^2*17^2 有 2个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。
1-----( a=5617, b=8544, c=10225 )
2-----( a=9717, b=4444, c=10685 )
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= 89^2*97^2，
由 89^2*97^2 有 2个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(2-1)组 本原勾股数。
1-----( a=5378433, b=69150256, c=69359105 )
2-----( a=38581449, b=35947240, c=52732649 )
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= 7^2*17^2*23^2，
由 7^2*17^2*23^2 有 3个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(3-1)组 本原勾股数。
1-----( a=424993, b=7066176, c=7078945 )
2-----( a=2229649, b=5261520, c=5714449 )
3-----( a=4635529, b=2855640, c=5444521 )
4-----( a=7096749, b=394420, c=7107701 )
若 a^2+b^2= c^2，
且 a+b= 17*23*31*41*47，
由 17*23*31*41*47 有 5个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(5-1)组 本原勾股数。
1-----( a=613795, b=22743372, c=22751653 )
2-----( a=1654843, b=21702324, c=21765325 )
3-----( a=3215335, b=20141832, c=20396857 )
4-----( a=3662043, b=19695124, c=20032685 )
5-----( a=8479843, b=14877324, c=17124325 )
6-----( a=10166643, b=13190524, c=16653845 )
7-----( a=10618815, b=12738352, c=16583873 )
8-----( a=11394495, b=11962672, c=16520897 )
9-----( a=12167415, b=11189752, c=16530473 )
10-----( a=12533035, b=10824132, c=16560157 )
11-----( a=13766935, b=9590232, c=16777993 )
12-----( a=15471975, b=7885192, c=17365433 )
13-----( a=19448143, b=3909024, c=19837105 )
14-----( a=20395855, b=2961312, c=20609713 )
15-----( a=20963275, b=2393892, c=21099517 )
16-----( a=23174235, b=182932, c=23174957 )
研究比较深入，谢谢交流和指导！这回清楚了，没有公因数的是本源勾股数。
蔡氏勾股弦方程
设 a+b= c+2n ,(n为任意正整数，都有本原解）
若 2n 有 t个不同的素因子，
则 a^2+b^2= c^2 有 2^(t-1)组 本原勾股数。
特例：
若 2n=2^k ,
则 a^2+b^2= c^2 有且仅有1组 本原勾股数。
设 a+b= c+2有 3+4=5+2
设 a+b= c+4有 5+12=13+4
设 a+b= c+6有 8+15=17+6 7+24=25+6
设 a+b= c+8有 9+40=41+8
设 a+b= c+10 有 11+60=61+10 12+35=37+10
蔡老师您好:学生祝您莫要大力度的探索数学，注意休息，保持快乐的心态，坚持锻炼身体。
有机会还请您指点:蔡氏三项和三次同幂不定方程的通解公式的推导过程。关于这个公式的推导过程，目前，我的弟弟程中永能够采用数学方法、数列知识、电子表格协助，推导出您的这套公式。可见，蔡老师的知识博大精深，早已定夺。
谢谢老师！
elim 发表于 2021-2-14 18:41
最完整的通项是 \((x,y,z)=k(n^2-m^2,2mn,m^2+n^n)\)
\(\small\;(k,m,n\in\mathbb{N}^+,m< n,\,\gcd(m,n)= ...
我的公式是有遗漏的，a=t*(n^2-m^2),b=t*(2mn),c=t*(n^2+m^2)就已经很全面了，谢谢老师指导！