磁力数6174揭秘
本帖最后由 zhangyd2007@soh 于 2020-8-3 10:26 编辑磁力数6174揭秘
张彧典
题目:1955年(一说是1949年),印度数学家卡普耶卡(D.R.Kaprekar)研究了对四位数的一种变换:
任取一个四位数,只要四个数字不全相同,按数字递减顺序排列,构成最大数作为被减数;按数字递增顺序排列,构成最小数作为减数,其差就会得6174;如不是6174,则按上述方法再作减法,至多不过7步就必然得到6174。
如取四位数5462,按以上方法作运算如下:
6542-2456=4086 8640-0468=8172
8721-1278=7443 7443-3447=3996
9963-3699=6264 6642-2466=4176
7641-1467=6174
四位数6174称为“卡普耶卡常数”或“6174黑洞”。美国数学家马丁在20世纪80年代曾研究过此问题 ,因此这项研究在国际数学界又称为“马丁猜想—6174问题”。
那么,出现6174的结果究竟有什么科学依据呢?
解:设一个任意四位数为M,其最大排列数为M1=abcd,则最小排列数为M2=dcba,因此有a≥b≥c>d,
因为M1-M2=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
=999(a-d)+90(b-c),
证明方法一:分析方法。
假设M1-M2=6174,
则 6174=999(a-d)+90(b-c) ---------------------------(1)
即 999(a-d)= 6174-90(b-c)
因为 90(b-c)的个位数字为0,
所以 6174-90(b-c)的个位数字为4,
而 999(a-d)的个位数字为4,
因此, 9(a-d) 的个位数字为4,
即 a-d=6 ----------------------- (2)
把(2)代入(1),
可以得到 6174=999X6+90(b-c)
故 b-c=(6174-5994) / 90
即 b-c=2 ------------------------ (3)
当且仅当(2)、(3)同时成立,4个数字之和为9的倍数,
所以,a=7,b=6,c=4,d=1为最小非0取值时,假设成立。
证明方法二:推导方法。
因为M1-M2=(1000a+100b+10c+d)-(1000d+100c+10b+a)
即M1-M2 =999(a-d)+90(b-c)=9 []111(a-d)+10(b-c)],
由此可知 a+b+c+d=18(9或27) (即9的倍数) ----------(1)
a-d>0 ------------------(2)
b-c>0 ------------------(3)
c-d>0 ------------------- (4)
(1)+(2)得 2a+b+c ≥18 -----------------(5)
(1)+(3)得 a+2b+d ≥18 -----------------(6)
(1)+(4)得 a+b+2c ≥18 ------------------(7)
(4)+(6)得 a+2b+c ≥18 ------------------(8)
由(5)、(7)、(8)组成三元不等式组,可以得到
a 、b ≥4 ------------------(9)
c、d≤4 ---------------(10)
由 (1)、(9)、(10),可以得到
a=7,b=6,c=4,d=1
把它们代入 M1-M2 =999(a-d)+90(b-c)=6174
同样步骤,求解(1)中的8或27,无解。
最后回答: 这样的变换最多几次,就可以得到6174呢?
证明:符 合 a+b+c+d=27或18或9) (即9的倍数)
而且 a≥b≥c≥d (等号不能同时成立) 的四位数从9990到3330,
一共有 和为27的有12个,和为18的有40个,和为9的有12个,
a的取值为3---9,d的取值为0-6,都是7个,
因此,从理论上可以推断:这样的变换最多7次,就可以得到6174 。
那么,印度数学家卡普耶卡(D.R.Kaprekar)“这样的变换至多不过7步就必然得到6174”的判断是正确的。
但是 ,zttmu12320先生在他的《怎么解释6174数学黑洞》指出:最后你总是到达达卡·普拉卡6174的黑洞,到达黑洞需要14步。
敬请大家讨论。
9731 就需要8次不信你试试;P;P 全在这儿了,总计 5040 个数,其中:
操作 1 次的有 288 个
操作 2 次的有 336 个
操作 3 次的有 1440 个
操作 4 次的有 264 个
操作 5 次的有 672 个
操作 6 次的有 456 个
操作 7 次的有 1584 个
列表太长,见附件。
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