数学小白新 发表于 2023-3-26 23:29
\left\{\begin{matrix} x=a + r\text{cos}\theta \\ y=b + r\text{sin}\theta \end{matrix}\right.
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = a + r\cos \theta }\\
{y = b + r\sin \theta }
\end{array}} \right.\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = a + r\cos \theta }\\
{y = b + r\sin \theta }
\end{array}} \right.\)
{:3_46:}很赞
本帖最后由 数学小白新 于 2023-7-22 10:55 编辑
\Rightarrow
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-4-16 14:22 编辑
则当\(a=\begin{cases}
∞时，称A为B的高阶无穷大；&(1)\\0<a<∞时，称A与B为同阶无穷大;&(2)\\0时，称B为A的高阶无穷大；&(3)
\end{cases}\)
\(\small 0.\overbrace{999…99}^{∞个9}+\)\(\small 0.\overbrace{000…00}^{∞个0}1\)
范秀山先生在其《数学唯物论》P37页讲道：“柯西的定义，五年级小学生都能懂。魏尔斯特拉斯的定义，足以让发明了微积分的牛顿大呼饶命。”
柯西的极限趋向说，真的【五年级小学生都能懂】吗？非也。应该说柯西极限趋向说，缺乏必要的数字界定。如抖音有老师用“充分靠垅”、“无限逼近”某一实数来描述极限。然而这个“靠拢”、“逼近”的程度又该如何界定？
为弥补柯面极限定义在定量分析上的不足，魏尔斯特拉斯提出了ε—δ、ε—N定义。对于数列极限威尔斯特拉斯是如下定义的;
【定义:】对于数列\(\{a_n\}\)和常数a，如果对于每一个预先给定的任意小的正数 ε，总存在正数\(N_ε\)，当n>\(N_ε\)时，恒有| \(a_n- a \)|＜ε.则称常a为数列\(\{a_n\}\)的极限记为\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\).
根据定义中ε的任意性，和\(N_ε\)的存在性以及当n>\(N_ε\)时，恒有｜\(a_n-a｜\)<ε，数列\(\{a_n\}\)的通项\(a_n\)可表述为:
\(\qquad\) \(a_n=\begin{cases}
f(n)\quad n∈\{n｜n≤N_ε，n∈N \} &(1)\\a\quad\quad \;\;n∈\{n｜n>N_ε，n∈N \} &(2)
\end{cases}\).
春先生的谬论 \displaystyle\lim_{n\to\infty}\{n+1,n+2,n+3,\ldots\}\ne\varnothing 出于哪门子实践？发表于 2024-4-13 14:28
命题；\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k≠\phi\)
【分析】：根据elim先生对Weierstrass极限ε—N定义的改造，设对预指定\(ε_k=\tfrac{1}{k}\)，存在\(N_{ε_k}=k\)，当n>k时，恒有\(｜a_n-a｜<ε_k\)成立，即当n∈\(\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\)时，有\(｜a_n-a｜<ε_k\)成立，令\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\).
【证明】：\(∵对\forall k∈\mathbb{N}\quad\exists (k+1)∈\mathbb{N}\)（皮亚诺公理）∴\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).
又\(A_j\supset A_{j+1}，j∈\mathbb{N}\)，∴\(\;\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=\)\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).
elim先生在《歪典，否定【人类数成就】者究竟骂了谁？》主题下55楼，帖出了如下帖文：
\(\color{red}{【}\)【\(\implies\)】是陈年老错：ε>0，是先给定的，只有 \(|a_n-a|<ε\)，而不是\(a_n=a\)
若要后者成立，需要对每个\(ε_k=1/k,|a_n-a|<ε_k\)
即要求n∈\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞\)\(\{\;m∈\mathbb{N}:m>N_\tfrac{1}{k}\;\}\)但最后这个集合一般是空集．学分析的人，最初在极限的ε—N定义上栽过跟头的不少，但很少有几十年后还没爬起来的。
chaoshikong, Mathmatical 等网友可不要学楼上先生，数学上关键概念要求甚解。否则不进则退，白混.\(\color{red}{】}\)
命题；\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k≠\phi\)
【分析】：根据elim先生对Weierstrass极限ε—N定义的改造，设对预指定\(ε_k=\tfrac{1}{k}\)，存在\(N_{ε_k}=k\)，当n>k时，恒有\(｜a_n-a｜<ε_k\)成立，即当n∈\(\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\)时，有\(｜a_n-a｜<ε_k\)成立，令\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}\).
【证明】：\(∵对\forall k∈\mathbb{N}\quad\exists (k+1)∈\mathbb{N}\)（皮亚诺公理）∴\(A_k=\{m|m>k\quad m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).
又\(A_j\supset A_{j+1}，j∈\mathbb{N}\)，∴\(\;\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ A_k=\)\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\).【证明】
【注记】
①、\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}≠\phi\)中的那个k是存在的，否则递用皮亚诺公理，则有小于k的一切自然均不存在，显然与事实不符.
②、\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k=\{m|m>k\;\;m,k∈\mathbb{N}\}\)是无限集.因为k∈\(k∈A_k\)，根据皮亚诺公理k+1，k+2，k+3……都属于\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k\). 所以\(\displaystyle\lim_{k \to \infty}A_k\)是无限集.
\(\{m|k<m∈\mathbb{N}^+\}\)
对于elim批判我的帖文【还是看看什么是有限，什么是无限．
有限集被定义为有自然数n个元素的集合，即自然数皆有限数．
包含关系 \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}=(∞,∞)\)表明数系中的数均为有限数．
无穷集被定义为能与其真子集对等的集合．春风先生在这些基本的事情情上
与现行数学对立, 认为\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|k<m∈\mathbb{N}\}\).中有无穷大然数．
但愿各位到老也不痴呆，不致如此不堪.】现回复于后：
答：1、有限集和无限集的概念
①、不能与其真子集对等的集合叫有限集。
②、凡能与其真子集对等的集合叫无限集。
2、自然数集的两种定义方法
①、有限集基数法；
②、皮亚诺公理法；
③、自然数集对加、乘法运算封闭；
④、自然数集是无限集(如\(\overline{\overline N}=\) \(\overline{\overline {\{k|k=2n n∈N\}}}\));
⑤、自然数集N中没有最大，只有更大.
3、\(N\subset Q\subset R\)且\(\overline{\overline N}=\) \(\overline{\overline {Q}}\)=\(\aleph_0\)；\(\overline{\overline R}=\
\aleph\)；
4、elim先生挖空心思，弄出个\(\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|k<m∈\mathbb{N}\}\)究竟有什么意义，多大意义留待elim先生自酌。
春风晚霞虽然年迈，但并不糊涂。就算\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}a_n=a\Longleftrightarrow(n→∞)时，a_n=a\)在教研组内也曾有过交流，虽然因此被视为只白不红，舍此反响并不强列，因为同行都能看懂我对这个式子充分性和必要性的证明。所以，仅就这个问题说我反对现代标准分析，我真不知道这个“现代标准分析”中的“现代”是哪个二十二世纪还是二十三世纪？
最后春风晚霞郑重声明，本人从未在任何时侯，任何地方说过：①、“无穷大属于自然数集”；②、“春氏数学”中没有皮亚诺公理；③“∞是最小无穷自然数且(∞-1)是有限自然数.自声明后，望各网友停止栽脏诬陷。；
你那个\(\;\;\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞ \{m|k<m∈\mathbb{N}\}≠\phi\).
本帖最后由 春风晚霞 于 2024-4-26 16:11 编辑
单调递减集合列\(\{A_k=\{m|k<m\in N\}\)极限集的求法，
【证明】:根据e先生所给单调集合列的通项公式，我们有：\(A_1=\{2，3，4，5……\}\);\(A_2=\{3，4，5，6……\}\);\(A_3=\{4，5，6，7……\}\);……\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\)=\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n，n+1，n+2，n+3，……\}\)；\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\)=\(\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1，n+2，n+3，n+4……\}\)；易证:\(A_1\supset A_2\)\(\supset A_3\)\(\supset ……\)\(\supset\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\)\(\supset\)\(\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\)。所以:
\begin{split}
\displaystyle\bigcap_{k=1}^∞A_k&=A_1\bigcap A_2\bigcap A_3\bigcap A_4\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\\&=(A_1\bigcap A_2)\bigcap A_3\bigcap A_4\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n(求交运算结律)\\&=A_2\bigcap A_3\bigcap A_4\bigcap A_5\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n(吸收律)\\&=(A_3\bigcap A_4)\bigcap……\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n(求交运算结律)\\&=……\\&=\displaystyle\lim_{n→∞}A_{n-1}\bigcap\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\\&=\displaystyle\lim_{n→∞}A_n\\&=\displaystyle\lim_{n→∞}\{n+1，n+2，n+3，……\}≠\phi。
\end{split}
《发现春风晚霞先生老痴情况恶化的经过》
一、历史回顾
elim先生回忆道【老春头是2019年5月加入本论坛的. 那时他还不会 LaTex. 是我给他启的蒙.初来本版块, 他就开始了与 jzkyllcjl, 范副, 谢邪等人的辩论. 给我的感觉,他行文儒雅, 引用伟人古人语录很是娴熟，不过伤不到 jzkyllcjl 等人的要害。我也没太在意。】
二、对春风晚霞三个命题的质疑
1、凡极限存在，则必然可达
即\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n=a\Longleftrightarrow a_n=a(n→∞)\)（*）
现在我们证明(*)式成立：
①、【证明】（充分性）
因为\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)，所以对任意给定的、无论怎样小的正数ε，当n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)有\(a_n=a\).即\(当n→∞时a_n=a\).【充分性证毕】
②、【证明】（必要性）反证法
假设\(当n→∞时a_n≠a\)，即n∈\(\{n｜n>N_ε，n∈N\}\)时\(a_n≠a\)，则必有｜\(a_n-a\)｜=α>0，取\(ε=\frac{α}{2}\)，则｜\(a_n-a\)｜=α>\(ε=\frac{α}{2}\)=ε，这与\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)予盾(即没有\(当n→∞时a_n=a\)这个条件，一定没有\(\displaystyle\lim_{n\to ∞}a_n=a\)这个结论，亦即无之则必不然)。所以假设不成立。【必要性证毕】
综合(1)、(2)知(*)式成立
2、当(n→∞)时\(0.\dot 9\)∈\(\{0.9,0.99,0.999,……\}\)
【证明】因为康托尔基本有理序列\(\{0.9,0.99,0.999,……\}\)的通项为\(a_k\)=\(0.\overbrace{999……99}^{k个9}\),所以\(\displaystyle\lim_{n→∞}a_n\)=\(0.\overbrace{999……99}^{∞个9}\)；所以当(n→∞)时\(0.\dot 9\)∈\(\{0.9,0.99,0.999,……\}\)
3、当(n→∞)\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)
【证明】因为康托尔基本有理序列\(\{1-\tfrac{1}{10^n}\}\)=\(\{0.9,0.99,0.999,…\)};\(\{1+\tfrac{1}{10^n}\}\)=\(\{1.1,1.01,1.001,……\}\)和\(\{1,1,1,……\}\)等价同类;根据康托尔实数定义（参见附图）这三个康托尔基本数列表示同一个实数（注意：在康托尔实数系中有理数和无理数统称实数）；所以当(n→∞)\(1-\tfrac{1}{10^n}=1=1+\tfrac{1}{10^n}\)